西北工大821自动控制原理讲义-003

西北工大821自动控制原理讲义

第三章线性系统的时域分析法

•时域分析法在经典控制理论中的地位和作用

时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过

程的响应形式。

•时域分析法的特点：1).直观、精确。2).比较烦琐。

§3.1概述

1.典型输入

2.性能指标

•稳一基本要求

•准f稳态要求:SS

她匕竺”

•快一过渡过程要求0%=/l（GO）

§3.2一阶系统的时域响应及动态性能

设系统结构图如右所示

]

Ts+1

开环传递函数G（S）=4

S

K1

—K11

闭环传递函数①(S)==—"=7r=-=--

—s+K/[75+1T

sT

r(?)=1(。时：

1T11

C(s)=①(s)R(s)==--------1

s(”$s+4

TT

C(O=1-”c(0)=0,c(oo)=1%%

9.ss

d89

1--t1

c'(t)=-eTc'(0)=了

T2T3T

依h（t）特点及4定义有:

〃9)=1—)#=0.95

£T'=1-0.95=0.05

——ts=In0.05=—3

••4=3T

一阶系统特征根分布与时域响应的关系:

T

例1已知系统结构图如右

其中：G(s)=1°

0.25+1

加上K0,KE环节，使[减小为原

来的0.1倍，且总放大倍数不变，求K0,KH

解：依题意，要使闭环系统/=0.1x0.2=0.02,且闭环增益=10。

10

lOK。

①(s)=Ko.——=K。.。冷胃

°1+KHG(S)。］।10K”0.2s+l+10K〃

0.25+1

10KO/(l+10K")

0.2,

—s+1

l+10Kn〃

02

T=——-——=0.02

K=0.9

令1二°，联立解出,H

K=10g°=10A=10

1+1QKH

例2已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为

丸⑺=1-e-a,

求(1).闭环传递函数①(s);(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。

解：⑴左⑺="⑺=ae~at

(2)①(s)=L[k(t)]=-^―

s+a

⑶“虚...①(s)+①(s)G(s)=G(s)①(s)=[l—①(s)]G(s)

a

①(S)=s+a=a=a

1一①(s)]as+a-as

s+a

一阶系统分析开环传递函数G(5)=-

s

闭环传递函数①(s)=」一

Ts+1

・线性系统重要特性：系统对输入信号的导;数响应，等于系统对该信号响

积分

导数

应的

积分

§3.3二阶系统的时间响应及动态性能

1.二阶系统标准形式及分类

1）二阶系统典型结构及标准形式:

典型结构如右______〃s(s+2a0»)

R"E.|—『IC

K

①⑸s(Ts+l)-

s(7i+1)+K

2g4

22

S+^(Ons+(Dm

标准形式：

12

^>(s)=-------------------=............----------

T-s2+2^75+1$2+2Ms+①：

E：系统的（闭环系统）阻尼比，阻尼系数

闭环系统固有频率，龙1尼自然频率

2）二阶系统分类：=苫母土后T■电i

sinCOntcosG)nt

。＜0:负阻尼系统*

J=0：零阻尼系统12=匚为

O<J<1:欠阻尼系统

X

(-^CDntCOSCDnt

“2=-g±他Ji。"

O'leTdtsinCOnt

X

■

JiI

1=1：临阻尼系统_

eotee

xxo"ie-d号后)t

空1：过阻尼系统

2.欠阻尼二阶系统分析：

⑴二阶欠阻尼系统极点的两种表示：八j

1

直角坐标表示：

IX

512=CT±JX

0-=-4Sn0

=一匆〃±川1一

“极”坐标表示：

模=%

“极”角=£

cos夕夕J

sinQ=Jl—S

⑵二阶欠阻尼系统单位阶跃响应

2

C(s)=①(s)R(s)=^+2^y+^)-^+2^)J_

s-+2Ms+co,；s

_1(s+g)+g

s

左«)=/«)=乙-[(1)(5)]=匚1⑵

（S+我,）2+（'1_&2以）2

h(0)=0

丸⑺响应特征:<"(0)=0

包络线收敛速鹿

阻尼振荡频率口^7。“

⑶指标计算:

由k(t)=0得：sinJl-¥cot=0

即：J1一I?0/=0,万,2万,•一

依乙定义，应有=71

tp代入⑴式：9=1+”玩/丹

。％;她必―3（4）

h(GO)

由(1)依4定义忽略正弦因子影响，以包括线进入5%误差带的时刻为^

有:,<0.05

4

―&①g=lnO.O5+ln71-?

,_-In0.05-In7i孑?!竺3.5

⑸

'她她

峰值时间%71

得」超调量6%=广后

X100%与q无关£=0.707最佳

调节时间4=-0=5%)自＜0.8,£〉37。偏于保守

（3）极点分布与1。）响应间关系

3)当k=1.6时系统的动态性能。

2

10100①〃

解：1）当左=10时：①（s）=

22

O.l^+s+10s+10^+100+2(^cDns+CD^

=Vwo=io

JP_=JP_=

2a)n2x10-

K=10'=60。"0.5a%=ie>.3%

K=5(3=45°=0.707a%=5%

(3=30。^=~cr%=0.43%

K=1.6("1.25>1)

t7i_3.14

=0.363

「叫71-0.52X10

9%=/g=i6.3%

3.53.5.

t=—=-------=0A.7

s'窕“0.5x10

K10K

2)①(s)=

O.h2+s+Ks2+105+10^

,_J2_

’23”

la)n=/LOK

10令1

=0.707=

2y/10K

10V2=2VIO¥

100x2=4xl0K->K=5(?=VlO^=V10x5=7.07)

1.6161616

3)①(s)

O.I52+5+1.6s2+105+16(s+2)(s+8)(s+；)(s+；)

‘1/2

T=-

'x2T查「86图3-17

」=4f工=3.3

T=-4

28

33

4=3.3x(=三=1.65

例2某典型欠阻尼二阶系统

，5%<b%<16.3%

要求

2<。“<5

试确定系统极点的允许范围

解：

b%=5"=0.707.尸=45°

b%=16.3"=0.5-分=60°

要求等价为:>。<£<60。

2<a)n<5

例3

系统如下图示

=时的响应为公。

求号,&，。

解：依题可知

/z(oo)=2

"p=0・75”

b%=2.8-2=9%

2

①⑸=,&&=_Kg：=[a=①；

22

s+as+K2S+2自①ns+①；a—2J①葭

/z(oo)=lims.①(s).E(s)=lims."宿----j_=K、=2(2)

s-oz。s+as+K2S

(4)

In0.09=

---------=0.7665

71

⑸

n7AAs2

,=0.60833(〃=52.55°)

1+0.76652

⑸一(4)：

a)n=-------/=5.236弧/秒(6)

0.75V1-0.6082

(5).(6)^(1)

2

K2=CD^=5.236=27.4

<a—240yti—2x0.608x5.236=6.37

K[=2

系统极点分布：

p=arcco/=52.5°

con—5.236

3.过阻尼二阶系统性能估算：

"[S]

iF02

♦①⑶=-----------=-----吆------0>1)(1).」一

T2s?+2步+152+2^5+(y„2

11

-2g土渥2。；

§1,24°"=3①“士①N42T

2

2-8：

s+q(J—+0"C+T)(s+2)(s+[)

------.......—T>T⑵

.号与12

♦找出，包与4,（之间的关系:

〜2/1.,1、7z11、1

•••S-+2物,5+0“=(5+-)(5+—)=5-+(—+—)5+—

12，2

比较：1

1+11+11+二

/72JL⑶

2①"221

师2册/与

♦求阶跃响应:

11

「=1⑺1(O21

CG)====①(s)—=——p—=-+

r1

sS(s+-；\s+-)S

，2

1亍1

/7(?)=1+—----e1+-----eT1

e-De-D

6A

求（表达式：依《定义:

11

0.95=1+———e+^fe

e-De-D

12

fT(3)

解：^=/e)=/*(^)

♦过阻尼二阶系统求才思路:

35791113151719

TJT\

K(O；_______\(On_4=1/L-7?工)0].[4/(P86B3-17yts

s2+2gs+0：停/=1/[c+卜—1)°J上(缺例

题:

例:

①(s)=---------------------=--------.........=..........--------

0.1S2+2^,5+®„252+105+16(5+2)(5+8)

r1—1

con=V16=47^=-=0.5

A>-4>!=3.3告4=33.7=1.65〃

『2x45〉1/=w=0.125^=1.251

♦注：

1）当今〉5（J〉1.4）时，欠阻尼二阶系统，户37；——近似用一阶系统代替

12

2）过阻尼二阶系统零极点分布与动态性能之间的关系

i.5=-工极点对4影响较大---主导极点

（△>6时）冈

i匚4与十值、!值有关（!~冷）一苓一丁F

’2‘2

3）系统相当于两个惯性环节串联时的特性

欠阻尼

二阶系

统动态

性能计

算复

习：

⑴极点的表示方法:

举例：系统如右图示,5KaC

S(S+34.5)

求K”分别取值为1500,200,13.5时的动态性能:

5K.

解：开环传递函数G(s)=

s(s+34.5)

开环增益K=5K,,/34.5

5K.

①(s)=

1+34.5s+5K„

-32.4一2.08

E1

①L麻丫_71__J

K34.5值'3.5e——

a"2%b%=e'，=7-"K

PMT0“劭”

0.2;/=78.5

150086.20.03752%0.20.004

6

0.545;/二57O

20031.60.1213%0.20.034

5

卜…GO

13.58.22良=-32.401.450.511

1

力⑺响应曲线见右下图。

3单位斜坡响应与气讨论:

误差传递函数:

①对=正热

s(s+34.5)

『+34.5s+5Kti

E(s)=①/s).R(s)

「(£)=，1

=①eG"

s

s(s+34.5)134.51

%=e«)|一8=lims.E(s)=lims.

5—>05->052+34.55+5^V元=/

（/计算列表见上页表）

结论：

1.系统的动态性能，稳态性能均与系统结构参数（K.,K）有关

2.性能之间对参数的要求有时是有矛盾的

从6要求K。尽量大

必须折中，使各方面要求满足，若兼顾不到,

从tr%要求K。尽量小.

则需校正

三改善二阶系统动态性能的方法

系统（如火炮系统）存在超调的原因

一内部原因：系统内部有贯性，有储能元件

〔外部原因：结构参数渗不合理

1.比例加微分控制一一提前控制

改善系统性能的原理（定性分析）见下页图以说明之。

2.测速反馈控制一一增加阻尼

二解轴船㈱标-棘

分类

琳性能计就式

1.螂都图

（国（3-23）1+0.6）0.2『.图（3—24）1+。"

打，.---------------------------，：--------------

—延迟时间3

4（她）九二也

2,闭环传递函枷上刑跳小丝2冉

0<^<1X

+2如$+。；(3-29)3.5

Sf=CO$-1明节时间3,

3.参数：Q"

峰值即叼册（3-26）^^^

4.阶厢应：

-MR

。义＜1

泌5’

项=]--——=sin（%解量(7%:1

f?胤叫沸

CI

1"

1延嬲M〃㈣幽殴

项=1+^-+7；-之s)=

-1-1L-1郎+D&+1)

4%&>Q■(3-31)1+1.5^+^

1

上升帆:

恒戈%）/=也

阳节时阚:S*■/=（尹

飞

/?=a)；(7%=0

（6）二阶系统性能的改善

带闭环零点的欠阻尼二阶系统动态性能计算:

如右系统:

•①⑸=Ws+l)。：

s(s+2g)+(7；s+l)Q"2

(力+1)以2,

s2+Q&+Td(O")a)"S+a)：

2

_o)(5+a)

n络

*22(3—42)

as~+2^dcons+a＞；

式中：a^—

Td

芍7+弩(3-43)

•1（0响应：

(3-44)

其中：〃=

-7i+arctg①"J-+arctg———「92(3-46)

”却①“屐

•指标计算:

(3-47)

(3-49)

22-

3+-ln(tz-2&①“+a)n)-Intz-

(3-50)

RKc

-0^s(s+i)

开环增益K对系统性能的影响

如右系统:

开环传函:G(s)=—

s(s+l)

开环增益：K

闭环传函：0(5)=----------=-~%--------3

s+s+Ks~+2^Pa>ns+atn

-1+Ji-4Ki--------------

特征未艮：儿2=—-:----------------=一弧土人/1一¥①.

=4K

特征参数：L11

}-........=......――

2。“14K

动态指标：

小,、E(S)15(5+1)

误差传函:①(S)=------=--------------=-------------

2

eR(s)]1KS+S+K

s(s+l)

稳态误差：e=e(oo)=lims.①(s).—=lim—；----------=一

ss20e522°S2+S+KK

*注r=1⑺时ess=0(讲原理)

不同K时系统的性能指标比较

K0.160.510

0.160.510

6⑶

S?+s+0.16j2+s+0.5s?+s+10

4.24=0.2,4=0.84”-0.5±j0.54=-0.5土川.12

'1.255=50.7070.158

%[10.4T2.=1.250.7073.16

动1.006.2831.01

态

性<7%05%60.4%

能和K

77

4t5=3,3x5=16.5

6.2520.1

改善二阶系统动态性能的方法举例

原系统(a)测速反馈(b)比例加微分(c)

〜、10〜、1010(1+10^,5)

G(s)=G(s)==电)=s(s+l)

s(s+l)s(s+l)+10K,s

10/(1+10K,)

——s(s+l)

1+10K,

不，、io

①(s)=^--------不，、io10(110^)

52++10①(s)=+

529+(1+10^)5+10$2+(1+10K,)s+10

=V10=3.16=V10=3.16(on=V10=3.16

1+10x0216_j_

:---=0.158^=-

2x3.16--2x3.16-22

夕=81°〃=60。£=60°

1

-a=z=-----=-4.63

%0.216

n71

一=1.01”=1.15"P92兀一tg-g

n=1.05"

①”p(3-47)

7

。%=产/必=60.4%=16.3%

a<^a>n=2.93户92

3.535CT%：<'n-23%

4=h=7"上=2.215”J=0.50-49)

弧

122

P92353+—ln((2-2g+0")-lna--

2

「(3-5SJ?

K=10=」K=10

K—=3.16

1+10K,3.16

ess=1/K=0.1(r(?)=t)ess=0.1(r(0=0

ess=1/1^=0.316(r(?)=0

问题讨论:

1开环增益会影响系统的性能指标

＞改变指标的原因:

G(s)=%

开环增益K0

s(Ts+l)

KK

不/、BO

①(s)=------———闭环增益KB

s(Ts+V)+KT1,

0——S2+——5+1

K°Ko

K0变化一特征多项式系数变化一特征根变化一以。变化一性能变化

＞开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对K0的要求往往是矛盾

的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。

妙'b%T“快”与“准”两项指标相矛盾

2.闭环增益K"不改变系统性能指标，KB只改变输出的比例尺度

KB

7(。

.s2+A+4)s+i

3.系统的性能不仅取决于闭环极点，而且与闭零点有关。前者决定响应的

模态，后者决定模态的加权系数。

4.不同输入下稳态误差分析

5.比例一微分控制的原理一一提前控制（图示）

e=­h

e=e+Tde=e-Tdh

6.测速反馈改善性能的原理一一增加阻尼（从结构图解释）

7.两种方案

比例一微分测速反馈

1）对噪声敏感；信号弱，需放大;有滤波作用，信号强，不需放

大；

2）较简单，成本低；复杂，成本高；

3）不改变开环增益，，不改变；改变开环增益，

4）引入一个闭零点J,b%T）。不引入闭零点。

8.附加开环零点的作用:原系统与测速反馈系统相比较

原系统测速反馈系统

G(s)=^—

G(s)=-------------

s(s+1)s(s+V)+10Kts

D(5)=52+5+10D(s)=s2+(i+i0KJs+lO

你不变缶T

=^^=0.158.1+10x0.216”n

J=-----；=——=0.5〈

2V102V10

附加开环零点，改变了闭环极点的位置（前左）增加了阻尼，改善了指标。

9.附加闭环零点的作用一一测速反馈系统与比例一微分控制系统相比较

10.附加闭环极点的作用

§3.4高阶系统的时域响应

1.高阶系统的阶跃响应

高阶系统闭环传递函数一般可表示为

①(s)=竺2=Ke(s—Z])(s—Z2)…(s-Z"J

“R(s)(s—4)(s—4)•••(§—4)

r(0=1时C(s)=①(s)」=除(6-zj(s-Z2)…(s-zQ

Ss(s-4)(s-4)…(s-4,)

CCc

=£1+1+2+.•.+»

ss_4s_4s-4

h(t)—CQ+qe'"++,,,+

2.闭环主导极点，偶极子

主导极点：距虚轴较近，对过渡过程影响较大的闭环极点。(三倍距离

偶极子：靠得很近，作用可以相互抵消的闭环零极点对。(,距离)

10

3.高阶系统性能估算一一零点、极点法

估算思路：略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估

算高阶系统性能指标。

步骤：

1)由①(S)---闭环零极点图；

2)略去非主导零、极点(3倍于主导极点距虚轴的距离)；

3)略去不非常靠近原点的偶极子；

4)利用教材几。.⑹表，用相应的公式进行动态性能估算。

例：系统主导零、极点分布如右图示，计算其性

能指标

解：按《第二行对应公式：

fp=(万，J/。

仄a3万13»

72cl~-~r~1__4T

=--e4“=—=e=0.095>0.05

2aJ2

3+ln(A/D.E/E)

0

3+ln(®(1)3245

aa

附加零、极点对二阶欠阻尼系统的影响：（定性分析）

附加零点:

附加极点：

2

（以+D卜+2初,,s+①：

结论

tJ,cr%T

(1).附加点：使

极ta%

IpT,'J

（2）.附加的零（极）点越靠近原点，对系统的影响越大。

欠阻尼二阶系统附加零极点后动态特性的计算（例）

极

点

分

布

图

原振荡二阶附加一个零点附加一个极点附加一个零点，一个极

系统点

f-乃+一e

n71-67i+rlp-D

t=-------

tp=~D~n

PDPDq=-令a-m

a%=e~a,tp

xl°°"%=10()£产％a=-(-)2

AF，2=令哈哈

3+In(方)ApAC

3+ln(1)Q)-------

DFBD

a%=(—•—”叫+)x1(%

性6a%=（一或砒+qe”<100%BF

B

ts=3+InJ(c〉巧,cr%w0时)

=3+爪2(,

能tT%丰0时）

百

t=3+3匕％<巧,。％=0臣

指t=3+In|q|s

(o-%=0时),°

c

标

计

算

公

式

3兀

5%

37r

5乃

兀

3兀

=

tp

t——