九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”（解析版）

重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】ABABCDEFGHT常用结论：．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的边长．AABCDEFGHP【答案】24．【解析】设正方形的边长为，，．，，正方形的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在 AC、AB上，BC=15，BC边上的高AD=10，求正方形EFGH的面积．AABCHGFED【答案】．【解析】设正方形的边长为，易知： ． ，． ， ，， 正方形的面积为．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积．AABCDEFGHK【答案】．【解析】解：设， 矩形，，,又是高，，, ，, ，，，，．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角中，矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上， 顶点G在AC边上，如果矩形DEFG的长为6，宽为4，设底边BC上的高为， 的面积为，求与的函数关系式．【答案】．【解析】解：如图，矩形，，．又AH是高，．，，，，，，又，．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．AABCEFGDHP【答案】．【解析】解：矩形，， ，又是高，，,, ，， ，又，，， ，．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．AABCDEFABCDEFGH【解析】解：,又，在中，．按甲的设计：设，正方形，， ,，，， ，； ②按乙的设计：过点作交于点，得，, 设，则，正方形，， ，，，，，，；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．【详解】解：如图，过点A作于H，交于M，∵的面积是32，，∴，∴，设正方形的边长为x，则，∵，∴，∴，，解得∶，即这个正方形的边长是4．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．2．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（

）A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米【答案】C【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为x．∵正方形得，∴，即，∵，∴．∵∴∴．∵∴，即，∵，∴，解得．故正方形的边长是6cm．故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，正方形的边在边上，顶点D、E分别在、上，，若的面积为36，则的长为______．【答案】4【分析】过点C作于点H，交于点M，设正方形的边长为x，利用的面积求出，证明，则，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C作于点H，交于点M，设正方形的边长为x，∵的面积为36，，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，即的长为4，故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关键．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】2.4/【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵BC边上的高是6，即设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为______．【答案】24【分析】通过证明，则，即可得到答案．【详解】，正方形的四个顶点在三角形的边上，，，，．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形为的内接矩形，点G，F分别在上，是边上的高，，则矩形的面积为___________．【答案】【分析】设，可得，根据，可得，可求出x，即可求解．【详解】解：∵，∴可设，∵矩形为的内接矩形，是边上的高，∴，，∴，，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴矩形的面积为．故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利用相似三角形对应边成比例得到比例式．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是______【答案】/6厘米【分析】过点A作于点，交于点，先根据矩形的性质可得，，再证，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解．【详解】解：如图，过点A作于点，交于点，矩形中，，，，，，，，，，，设，则，，解得，即，则边上的高的长是，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键．8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在中，边，高，正方形的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，那么这个正方形的面积等于________．【答案】/【分析】利用正方形的性质可知，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长，进而获得答案．【详解】解：如下图所示，设与交于点，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，，∵，∴，即，设，则，∴，解得，∴，即这个正方形的边长为，∴这个正方形的面积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形的边在边上，顶点D、G分别在边、上，于H，交于P，已知，，那么正方形的边长为___________．【答案】【分析】根据得出，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形的边长为x．由正方形得，，∵，∴．∵，∴，∴，∵，，∴，，即，由，，，得，解得．∴正方形的边长是，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知长为40厘米，若正方形的边长为25厘米，则的高为________厘米．【答案】/【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设的高AH为x厘米．由正方形得，，即，∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，，∵BC长为40厘米，若正方形的边长为25厘米，∴，解得．即厘米．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形的顶点、分别在的边、上，顶点、在的边上，若，，那么这个正方形的边长是________．【答案】【分析】作高交于，设正方形的边长为，则，所以，再证明，即可得到然后根据比例的性质求出的值即可．【详解】解：作高交于，如图，∵，，∴，设正方形的边长为，则，正方形的边长为，故答案为∶．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在中，，，，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在斜边上，那么正方形的边长是______．【答案】/【分析】过点C作于点M，交于点N，首先由勾股定理得出的长，由面积法即可求出的长，可证得，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C作于点M，交于点N，中，，，，，，∴，∵正方形内接于，，，，，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边BC上的高的长是___cm．【答案】4【分析】由题意过A作AH⊥BC于H，交GF于M，由矩形的性质得GF∥BC，DG=EF=2cm，GF=DE=3cm，再证△AGF∽△ABC，求出AM=2（cm），则AH=AM+MH=4（cm），即可求解．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，交GF于M，如图所示：∵AH⊥BC，四边形DEFG是矩形，∴四边形HEFM是矩形，则MH=EF=2cm，∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥BC，DG=EF=2cm，GF=DE=3cm，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：AM=2（cm），∴AH=AM+MH=4（cm），即边BC上的高的长是4cm.故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AGF∽△ABC是解题的关键．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．【答案】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根据DG∥BC得出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF的边长为x．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，即，由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，得，解得x＝12．∴正方形DEFG的边长是12，∴S正方形DGEF＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在中，矩形的一边在边上，顶点G、F分别在上，是边上的高，与交与点K，若，矩形周长为76，则_________．【答案】20【分析】设为x，根据矩形的性质得出为，再由相似三角形的判定和性质得出，然后将各线段代入求解即可．【详解】解：设为x，∵矩形的周长为76，∴为，∵四边形是矩形，∴，∴，∴是边上的高，与交于点K，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案为：20．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是___________．【答案】4【分析】易证，可得：，再由两平行线间的距离相等，即可得出，结合，即可得出，可求解的长．【详解】解：如图所示：过作于，交于,∵的面积是，,∴,∴，∴，正方形内接于，，设，，，，∴，∴,∵，∴,，又∵，，，，∴∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明是解题的关键．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形是正方形，，，，，，，又，，，，，即，设，则，，解得：，，这个正方形的边长为2，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知，，，那么的面积是________．【答案】12【分析】过A作于H，交于M，由矩形的性质得，，，再证，求出，则，即可求解．【详解】解：过A作于H，交于M，如图，则，∵四边形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴的面积，故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明是解题的关键．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在中，，上的高，矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在边、上，，则该矩形的面积为________．【答案】/【分析】如图，证明，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．【详解】解：∵，∴设，则；由题意得：，；∴，而，，∴，即，解得：，∴，．∴该矩形的面积为．故答案为：．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料，它的边长厘米，高厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a，在正方形中，，，∵是的高，即，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴为的高，∵，∴，∴，即，解得：，∴加工成的零件边长为厘米．【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．22．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，连结DE，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）因为BD=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四边形ADFE是平行四边形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四边形ADFE是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE∽△ACB，再用比例式求出DE的长．【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=2EC，∴，

∵DF//AC，∴，∴，∴EF//AB，

∴四边形ADFE是平行四边形．

∴EF=AD=，DF=AE=．∵AB=2AC，∴EF=，

∴EF=DF，∴四边形ADFE是菱形．（2）如图：∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=，AE=，∴，∵，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴DE=．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·