九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第02讲 比例线段（原卷版）

第02讲比例线段【知识梳理】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．【考点剖析】一．比例的性质（共15小题）1．（2018秋•浦东新区期中）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2．（2023•青浦区一模）已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023•普陀区一模）已知，x+y＝10，那么x﹣y＝．4．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．5．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A． B． C． D．6．（2022秋•浦东新区期中）已知＝，那么的值为（）A． B． C． D．﹣7．（2022秋•嘉定区校级期末）如果2a＝3b（a、b都不等于零），那么＝．8．（2022秋•奉贤区期中）已知，且2a﹣3b+c＝28，求代数式a+b﹣c的值．9．（2022秋•上海月考）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．10．（2022秋•虹口区期中）已知：＝＝≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值．11．（2021秋•徐汇区校级月考）已知，求的值．12．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．13．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．14．（2021秋•奉贤区校级期中）已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．15．（2022秋•嘉定区期中）已知＝＝≠0，且5x+y﹣2z＝10，求x、y、z值二．比例线段（共10小题）16．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，17．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．118．（2023•宝山区一模）已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5 C． D．19．（2022秋•嘉定区期中）如果mn＝pq，那么下列比例式正确的是（）A． B． C． D．20．（2021秋•金山区期末）在比例尺是1：200000的地图上，两地的距离是6cm，那么这两地的实际距离为（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km21．（2020秋•静安区期末）已知线段x，y满足＝，求的值．22．（2023•金山区一模）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm23．（2021秋•黄浦区期末）4和9的比例中项是（）A．6 B．±6 C． D．24．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．25．（2021秋•宝山区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．三．黄金分割（共7小题）26．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A． B． C． D．27．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）28．（2021秋•金山区期末）如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（）A．+1 B．﹣1 C． D．29．（2022秋•嘉定区期中）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝1，且AC2＝BC•AB，求AC的长．30．（2022秋•宝山区校级月考）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝AB•BC．（1）若AB＝1，求AC的长；（2）若AC比BC大2，求AB的长．31．（2020秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm32．（2019秋•嘉定区校级月考）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．

【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海崇明·九年级校考期中）已知三个数1，2，，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数不可以的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么线段的长为（

）A． B．6 C． D．364．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段a、b、c、d，如果，那么下列式子中一定正确的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知点C是线段上的一个点，且是和的比例中项，则下列式子成立的是（）A． B． C． D．6．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（）A． B． C． D．二、填空题7．（2022秋·上海普陀·九年级统考期中）若，则的值为___________．8．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离是______．9．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）已知，则的值为______．10．（2023·上海嘉定·校考一模）如果（、都不等于零），那么=_____．11．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）已知线段厘米、厘米，如果线段a是线段c和b的比例中项，那么线段______厘米．12．（2023·上海金山·统考一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在一直线），且，那么底部B到球体P之间的距离是_________米（结果保留根号）13．（2023·上海杨浦·统考一模）已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段___________．14．（2023·上海崇明·统考一模）点是线段的黄金分割点，如果，那么较长线段的长是__________．15．（2021秋·上海普陀·九年级校考期中）已知，那么（a﹣b）：a＝___．16．（2022秋·九年级单元测试）已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm17．（2022·上海·九年级专题练习）我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于________．18．（2020秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________

三、解答题19．（2020秋·九年级校考课时练习）已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？20．（2021秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，求的值．21．（2022秋·上海·九年级校联考阶段练习）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．22．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）已知：，且，求的值．23．（2021·上海·九年级专题练习）梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心．（1）求证：G1G2