2025版一轮高考总复习数学第一章　集合、常用逻辑用语与不等式第三节　等式性质与不等式性质

第三节等式性质与不等式性质1.回顾等式的性质.2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.3.会比较两个数（式）的大小.1.比较实数的大小（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也成立；（2）符号表示：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.2.等式的基本性质（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么ac＝b3.不等式的基本性质（1）对称性：a＞b⇔b＜a；（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）；（6）可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，n≥21.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（√）（2）若a＞b，则ac2＞bc2.（×）（3）若ab＞1，则a＞b.（×（4）a＝b⇔ac＝bc.（×）2.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（）A.M＞N B.M≥NC.M＜N D.M≤N解析：A因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故选A.3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A.ac＞bc B.1a＜C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c解析：D对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式1a＜1b不成立，故B不正确.对于选项C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正确，4.比较两数的大小：7＋10＞3＋14.解析：因为（7＋10）2＝17＋270，（3＋14）2＝17＋242，所以（7＋10）2＞（3＋14）2，所以7＋10＞3＋14.5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为（－6，5）.解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；（2）a＜0＜b⇒1a＜1b；（3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m（b－m＞0）；（2）假分数性质：ab＞（多选）下列命题中正确的是（）A.若a＜b，则ac2＜bc2B.若b＞a＞0，则a+2bC.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－dD.若ab＜0，a＞b，则1a＞解析：BDA中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a＞b，（－c）＜（－d），不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab＜0，所以a，b异号，所以当a＞b时a＞0且b＜0，1a＞1b，故D正确.综上可知B、D比较两个数（式）的大小【例1】（1）已知0＜a＜1b，且M＝11+a＋11+b，N＝a1+a＋b1+b，则A.M＞N B.M＜NC.M＝N D.不能确定（2）若a＝ln22，b＝ln33，则a＜b（填“＞”或解析：（1）∵0＜a＜1b，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝1－a1+a＋1－b1+b＝2（（2）易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b＞解题技法比较大小的常用方法（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋bA.p＜q B.p≤qC.p＞q D.p≥q解析：Bp－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝（b2－a2）·（1a－1b）＝（b2－a2)(b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝不等式的基本性质【例2】（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（）A.ad＞bc B.ad＋bcC.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）解析：BCD因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c解题技法利用不等式的性质判断不等式的方法（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使1a＜1b成立的是（A.b＞a＞0 B.a＞b＞0C.b＜0＜a D.b＜a＜0解析：BD对于A，由b＞a＞0可得1a＞1b＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得1b＞1a＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得1a＞0＞1b，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞1b＞1a不等式性质的应用【例3】（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是（0，13），ab的取值范围是（－3，15）.解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15.（变条件）若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是（12，92）解析：设a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），则a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即x＋y=1，x－y=2，解得x＝32，y＝－12.即a＋2b＝32（a＋b）－12（a－b），由1＜a＋b＜3，则32＜32（a＋b）＜92，由0＜a－b＜2，则－2＜－（a－b）＜0，－1＜－12（a解题技法利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是（－3，－1）解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得ca＜－1，所以－3＜c1.（2024·韶关模拟）已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（）A.m≥n B.m＞nC.m≤n D.m＜n解析：A由题意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选A.2.若a，b∈R，且a＞｜b｜，则（）A.a＜－b B.a＞bC.a2＜b2 D.1a＞解析：B由a＞｜b｜得，当b≥0时，a＞b，当b＜0时，a＞－b，综上可知，当a＞｜b｜时，则a＞b成立，故选B.3.已知a＋b＜0，且a＞0，则（）A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2解析：A法一由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.法二令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.4.（2024·襄阳一模）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）A.4×x0.5＜150 B.4×C.4×x0.5≤150 D.4×解析：B由题意知导火索燃烧的时间为x0.5秒，人在此时间内跑的路程为（4×x0.5）米，由题意可得4×5.（多选）下列命题为真命题的是（）A.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋dB.若a＞b，c＞d，则ac＞bdC.若a＞b，则ac＞D.若a＜b＜0，c＜0，则ca＜解析：AD对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等号方向不变，故正确.对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，ac＝bd，故错误.对于C，当c＜0时，ac＜bc，故错误.对于D，ca－cb＝c（b－a）ab，因为b－a＞0，c＜0，ab＞0，所以ca－cb＜06.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（）A.ca＞B.ac＜bcC.a（b－c）＞b（a－c）D.ac＞解析：ABC对于A，∵a＞b＞1，c＜0，∴ca－cb＝c（b－a）ab＞0，∴ca＞cb，故A正确；对于B，∵a＞b＞1，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；对于C，∵a＞b＞1，∴a（b－c）－b（a－c）＝ab－ac－ab＋bc＝－c（a－b）＞0，∴a（b－c）＞b（a－c），故C正确；对于D，∵1c＜0，a＞b＞7.15－2＜16－5（填解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2＜6＋58.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a＜2b－b2a（填“＞”“＜”或“＝解析：因为a≠b，a＜0，所以a－（2b－b2a）＝（a－b）2a＜0，9.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b（答案不解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b，证明：1a－1b＝b－aab，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，则1a－1b＝10.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，a＋b解：因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45.又118＜1b＜115，则618＜即13＜ab因为a＋bb＝ab＋1，所以411.（2024·渭南模拟）若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abbaA.p≥q B.p≤qC.p＞q D.p＜q解析：Apq＝（ab）a＋b2abba＝aa－b2bb－a2＝（ab）a－b2，若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜12.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b≤c B.b≤c＜aC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析：A∵c－b＝4－4a＋a2＝（a－2）2≥0，∴c≥b，又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝（a－12）2＋34＞0，∴b＞a，∴a＜b≤13.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为（92，192）解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜1214.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb解：（1）ab2＋ba2－（1a＋＝（a－b）·（1b2－1a∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴（a＋∴ab2＋ba2≥（2）证明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥∴cd＋1≥ab＋1，∴a＋15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.（1）求证：b＋c＞0；（2）求