2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第九节　函数的图象

第九节函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.1.利用描点法作函数图象的步骤2.函数图象的变换1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（×）（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（×）（3）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（×）2.函数y＝21－x的大致图象为（）解析：Ay＝21－x＝（12）x－1，故函数为减函数，可排除C、D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选3.将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝log2x.解析：将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2（2x＋2）－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2（x－1）＋2]－1＝log2（2x）－1的图象，所以g（x）＝log2（2x）－1＝log2x.4.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是（0，＋∞）.解析：由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝2x，x≥0，0，x<0，其图象如图所示，故要使1.函数图象自身的轴对称函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）.2.函数图象自身的中心对称（1）f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称；（2）函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）；（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.3.两个函数图象之间的对称关系（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x（2）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称；（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称.1.下列说法正确的是（）A.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称B.若函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x－1），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同D.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到解析：A由结论1知A正确，B错误；令f（x）＝－x，则当x∈（0，＋∞）时，f（｜x｜）＝f（x）＝－x，｜f（x）｜＝x，f（｜x｜）≠｜f（x）｜，故C错误；y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到y＝f（－x－1）的图象，故D错误.2.若对于函数y＝f（x）定义域内的任意x都有f（2＋x）＋f（2－x）＝6，则y＝f（x）的图象关于点（2，3）对称.解析：由结论2知，a＝2，b＝3，图象关于点（2，3）成中心对称.3.函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝－2对称.解析：由结论3知－2－x＝x＋2，则x＝－2，所以函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝－2对称.作函数图象【例1】作出下列函数的图象：（1）y＝2x＋1－1；（2）y＝｜lg（x－1）｜.解：（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示.（2）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图②所示（实线部分）.解题技法作函数图象的两种常用方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.提醒（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.作出下列函数的图象：（1）y＝2x（2）y＝2｜x｜.解：（1）y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1（2）y＝2｜x｜的图象是由y＝2x在y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的，如图②所示.函数图象的识别【例2】（1）（2022·全国甲卷5题）函数y＝（3x－3－x）cosx在区间－π2，π2的（2）函数f（x）＝ax＋b（x＋c）2A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0答案：（1）A（2）B解析：（1）法一（特值法）取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos1＞0；取x＝－1，则y＝13－3cos（－1）＝－法二令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cosx＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）·cosx是奇函数，排除B、D；取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos1＞0，（2）函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝bc2＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－ba，根据题图得，－ba＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c（变条件）若本例（1）中的函数变为y＝（2x－2－x）sinx，则其在区间[－π，π]的图象大致为（）解析：A记f（x）＝（2x－2－x）sinx，则f（－x）＝（2－x－2x）sin（－x）＝－（2－x－2x）sinx＝（2x－2－x）sinx＝f（x），则函数f（x）＝（2x－2－x）sinx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、C；又f（π）＝0，排除D，故选A.解题技法函数图象的辨识可从以下方面入手（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复；（6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.1.已知函数f（x）＝xlnx的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（）解析：D易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln2＞0，故排除B.故选D.2.（2024·沈阳一模）如图是函数H（x）图象的一部分，设函数f（x）＝cosx，g（x）＝｜x｜＋1，则H（x）可以表示为（）A.f（x）＋g（x） B.f（x）－g（x）C.f（x）·g（x） D.f解析：D因为f（0）＝g（0）＝1，H（0）＝1，所以H（x）不可能表示为f（x）＋g（x）或f（x）－g（x），故排除选项A、B；因为f（2π）g（2π）＝2π＋1＞1，所以排除选项C.故选D.函数图象的应用考向1研究函数的性质【例3】（多选）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝121－x，A.2是函数f（x）的周期B.函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增C.函数f（x）的最大值是1，最小值是0D.当x∈（3，4）时，f（x）＝1解析：ABD由已知条件得f（x＋2）＝f（x），则f（x）是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y＝f（x）的部分图象如图所示.由图象知B正确，C不正确；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f（x）＝f（x－4）＝12x－3，因此D正确.故选A解题技法利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.考向2探究不等式问题【例4】设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减，且图象过点（1，0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为{x｜x≤0或1＜x≤2}.解析：画出f（x）的大致图象如图所示.不等式（x－1）f（x）≤0，可化为x>1，f（x）≤0或x<1，f（x）≥解题技法利用函数图象研究不等式问题的方法当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.考向3求参数的范围【例5】若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为（0，12］解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜34x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝34x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤34×2－1，解得a≤12，所以a的取值范围是解题技法利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围.1.（多选）关于函数f（x）＝xx－1，下列结论正确的是A.f（x）的图象过原点B.f（x）是奇函数C.f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减D.f（x）是定义域上的增函数解析：ACf（x）＝xx－1＝x－1+1x－1＝1＋1x－1，将y＝1x的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，即可得到f（x）＝xx－12.若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，＋∞）.解析：函数f（x）的零点的个数就是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a＞1时，两函数图象有两个交点；当0＜a＜1时，两函数图象有一个交点.故a＞1.1.下列函数中，其图象与函数f（x）＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）解析：B法一设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数f（x）＝lnx的图象上，所以y＝ln（2－x）.法二由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A、C、D，故选B.2.（2024·广州一模）函数f（x）＝x－sinxx3在[－π，π]上的图象大致为解析：B函数f（x）＝x－sinxx3的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝－x－sin(-x）(-x）3＝－x－sinxx3≠f（x），且f（－x）≠－f（x），所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项C、D；当x＝π时，f（3.（2024·沈阳质检）若函数f（x）＝ax＋b，x＜－1，ln（x＋aA.－12 B.－C.－1 D.－2解析：C∵f（－1）＝0，∴ln（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.4.把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（）A.1 B.2C.3 D.4解析：B把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.5.（2024·信阳一模）函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（）A.y＝f（｜x｜） B.y＝｜f（x）｜C.y＝f（－｜x｜） D.y＝－f（｜x｜）解析：C对于A，将y＝f（x）的图象在y轴左侧的部分“去除”，将y轴右侧的部分关于y轴作对称，y轴右侧的部分保持不变，可得y＝f（｜x｜）的图象，A错误；对于B，将y＝f（x）的图象在x轴以上的部分保留，x轴以下部分翻折到x轴上方，可得y＝｜f（x）｜的图象，B错误；对于C，将y＝f（x）的图象在y轴右侧的部分“去除”，将y轴左侧的部分关于y轴作对称，y轴左侧的部分保持不变，可得y＝f（－｜x｜）的图象，C正确；对于D，将y＝f（｜x｜）的图象关于x轴作对称，即可得y＝－f（｜x｜）的图象，D错误.故选C.6.（多选）对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（）A.f（x＋2）是偶函数B.f（x＋2）是奇函数C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增D.f（x）没有最小值解析：ACf（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，B错误；作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，C正确；由图象可知函数存在最小值0，D错误.7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log2f（x）的定义域是（2，8]解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝log2f（x）有意义，由函数f（x）的图象知满足f（x）＞0时，x∈（2，8]8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋f（－a），则实数a的取值范围是（－∞，2）.解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可转化为f（a）＜2，作出f（x）的图象，如图.由图易知a＜2.9.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（解析：法一在同一坐标系中，作出函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）的图象为如图所示的实线部分.易知点A（2，1）为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2）＝1.法二依题意，h（x）＝log2x，0<x≤2，－x+3，x>2.当0＜x≤2时，h（x）＝log2x单调递增，当x＞2时，h（x）＝3－x10.已知f（x）＝x2+2x，（1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点；（2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解：（1）根据题意，列表如下，x－2－1012f（x）0－1010f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点.（2）由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3].11.若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”.点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝x2+2x（x<0),2ex（x≥A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析：C根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y＝x2＋2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝2ex（x≥0）的图象的交点个数即可.如图所示，当x＝1时，0＜2ex＜1，观察图象可得，它们有212.（多选）某同学在研究函数f（x）＝x1+｜x｜（x∈R）时，给出了下面几个结论，A.f（x）的图象关于点（－1，1）对称B.f（x）是单调函数C.f（x）的值域为（－1，1）D.函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点解析：BCD作出y＝f（x）的图象，如图所示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（