浙教版九年级下册第一章解直角三角形单元测试数学试卷

浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.在正方形网格中，如图所示放置，则等于()A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用网格求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义式是解题的关系．先确定直角三角形，再根据余弦的定义式求解即可．【详解】解：在网格中确定格点直角三角形，如图所示：观察图形可得：，，∴∴，故选：D．2.直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是()A.2000米 B.20003米 C.4000米 D.40003米【答案】C【解析】【分析】由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．【详解】根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是==4000米．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．3.已知为锐角，且，那么的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵sin=，sin2+cos2=1，∴cos2=，又∵为锐角，∴cos>0，∴cos=.故选D.4.在中，，，，且，则的度数为()A.53.48° B.53.13° C.53.13' D.53.48'【答案】B【解析】【详解】解：由锐角三角函数的定义可知：tanA=，∴∠A≈53.13°．故选B．5.在中，，，，则cosA等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，,，∴c=，cosA=．故选：D．考点:锐角三角函数的定义．6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果．【详解】∵，，∴∠A=30°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．7.已知为锐角，下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么；④，正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角函数定义、互余角的三角函数的关系、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值及绝对值的定义求解．【详解】①如果α=30°，那么sinα=，cosα=，sinα+cosα=≠1，错误；②∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°α），∴sinα＞cosα，正确；③∵cos60°=，锐角余弦函数随角增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；④∵sinα≤1，∴sinα1≤0，∴=|sinα1|=1sinα，正确．故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、互余角的三角函数的关系、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值及绝对值的定义，综合性较强，涉及知识点较多，须认真仔细．8.下列式子正确的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先把余弦函数化为正弦函数得到cos36°=sin54°，而根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），所以sin55°＞sin54°，于是得到sin55°＞cos36°．【详解】∵cos36°=cos（90°54°）=sin54°，而sin55°＞sin54°，∴sin55°＞cos36°．故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：锐角三角函数值都是正值，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余公式．9.一段斜坡公路的坡度为，这段公路长为，则从坡底到坡顶这段公路升高()A.75m B.50m C.752m D.502m【答案】B【解析】【分析】利用坡度设出垂直高度与水平宽度，利用勾股定理可求得垂直距离．详解】设公路升高了x米，则水平前进了22x米，根据勾股定理可得x2+（22x）2=1502，解得x=50．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．10.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A.9米 B.28米 C.米 D.（14+2）米【答案】D【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点，根据三角函数进行求解即可；【详解】解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．DE=8sin30°=4（米）；CE=8cos30°=4（米）；∵测得1米杆的影长为2米．∴EF=2DE=8（米），∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4（米），∴电线杆AB的长度是（28+4）=14+2米．故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.在中，，当已知和时，求，则________．【答案】【解析】【分析】作出图形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边解答．【详解】如图，∵已知∠A和a，求c，∴sinA=，∴c=．故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，作出图形更形象直观．12.在中，，，，则的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据正切的定义得到，根据勾股定理计算即可．【详解】解：在ΔABC中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，故答案为：8．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．13.如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________．【答案】海里【解析】【分析】此题易得∠BAC＝30°，在Rt△ABC中运用三角函数求得渔船与灯塔C的距离BC．【详解】解：由已知得：∠BAC＝90°−60°＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan30°＝12×＝4（海里）．故答案为4海里．【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC＝30°，再解直角三角形ABC即可．14.如图，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点在电线杆的上三分之一处，所以知道的高度就可以知道电线杆的高度了．要想得到的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出．请你设计出要测量的对象：________；请你写出计算高度的思路：________．【答案】①.和线段②.见解析．【解析】【分析】根据解直角三角形方法即可得到结论．【详解】要测量的对象：∠BCE和线段BC；①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC•tan∠BCE，②由AE=AB，可求BE=AB，求得AB=BE=BC•tan∠BCE．故答案为∠BCE和线段BC，①在中，由，求出，②由，可求，求得．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则等于________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，OA=3，OB=4．根据勾股定理得AB=5．运用三角函数的定义求解．【详解】∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA=3，OB=4，根据勾股定理得AB=5，∴cos∠OAB=．故答案为.【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．16.已知一斜坡的坡度，坡角为，那么________．【答案】【解析】【分析】坡度即为坡角的正切值．【详解】有坡度角定义可得：tanα=i=．故答案为【点睛】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．17.若，为锐角，则的值是________．【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1进行适当的变形转换来求解．【详解】∵sinA+cosA=，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，即1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=.故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识是考查．18.小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部米处测得顶端的仰角是，小芳的身高不计，则旗杆高________米．【答案】【解析】【分析】利用所给角的正切函数即可求得旗杆高．【详解】根据题意可得：旗杆高为6×tan60°=63（米）．故答案为【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19.如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为________米（用三角函数表示）【答案】【解析】【分析】根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．【详解】在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故答案为30tanα．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．20.在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东方向的处，他先沿正东方向走到地，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地，已知，两地相距，由此可知，，两地相距________．【答案】【解析】【分析】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，从而得到∠BAC=∠C，然后根据等角对等边可得BC=AB，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】如图：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东

60°方向，∴∠BAC=90°60°=30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°∠BAC∠ABC=180°30°120°=30°，∴∠BAC=∠ACB，∴∠CBD=60°，∵BC=AB=150km，∴CD=BC=75，∴AC=150km，故答案为150．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，方向角的定义，根据角的度数求出∠BAC=∠C是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.计算：．【答案】2．【解析】【详解】试题分析：原式==2．考点：实数的运算．22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝求cosA，sinB，tanB的值．【答案】cosA==，sinB=cosA=，tanB==．【解析】【分析】根据sinA==设AB=13x，BC=12x，根据勾股定理求出AC=5x，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】∵，∴设，，由勾股定理得：，∴，，．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．23.如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程AB的值（结果保留根号）．【答案】海里【解析】【详解】试题分析：过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可．试题解析：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中,PA=海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cos∠APC=，∴AC=AP⋅sin45°=×=40(海里),PC=AP⋅cos45°=×=40(海里)，在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=，∴BC=PC⋅tan60°=(海里)，则AB=AC+BC=(40+)海里．24.一艘轮船自西向东航行，在处测得北偏东方向有一座小岛，继续向东航行海里到达处，测得小岛此时在轮船的北偏东方向上，而小岛方圆海里的范围内有暗礁，轮船继续向东航行有无触礁的危险呢？请说明理由．（参考数据：，，，）【答案】轮船继续向东航行无触礁的危险，理由见解析.【解析】【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：AB=22海里，∠CAB=21.3°，∠CBD=63.5°，然后在Rt△CBD中，tan∠CBD=，可得BD=CD，又由在Rt△ACD中，tan∠CAB=，可得，继而求得CD的长，则可知轮船继续向东航行有无触礁的危险．【详解】轮船继续向东航行无触礁的危险．理由：过点作于点，由题意得：，，，在中，，即，∴，在中，，即，解得：，∴轮