江苏省苏州市姑苏区八年级下学期期末数学模拟试题

江苏省苏州市姑苏区2023~2024学年第二学期初二期末调研试卷数学模拟试卷本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上．2．答题必须用0.5mm黑色墨水字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答一律无效，不得用其他笔答题．3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.若分式的值为0，则x的值为（）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】根据分式有意义的条件以及分式为零的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，，，当时，∴即．故选：B．【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零，本题属于基础题型．2.下列说法中，正确的是（）A.不可能事件的概率为0 B.随机事件的概率为0.5C.概率很小的事件不可能发生 D.概率很大的事件一定发生【答案】A【解析】【分析】根据不可能事件、随机事件、必然事件的概念进行逐一判断即可．【详解】解：∵不可能事件的概率为0，故A符合题意；∵随机事件的概率在0和1之间，故B不符合题意；∵概率很小的事件有可能发生，故C不符合题意；∵概率很大的事件不一定发生，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查可能性大小的比较，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立，若包含的情况相同，那么它们的可能性就相同．3.如图，在中，，则的度数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用平行四边形的性质得出答案．【详解】解：∵在中，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.4.已知四边形中，，，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得四边形是矩形，再由正方形的判定可求解．【详解】如图，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴添加条件可得四边形是正方形，

故选：C．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，掌握一组邻边相等的矩形是正方形是解题的关键．5.如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。【详解】解：因为AD垂直BC，则△ABD和△ACD都是直角三角形，又因所以AD=，因为sin∠C=，所以AC=2，因为EF为△ABC的中位线，所以EF==1，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．6.对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A.图象关于对称 B.当时，y随x的增大而增大C.图象位于第一、三象限 D.当时，则【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的对称性即可判断A；根据反比例函数图象与系数的关系即可判断B、C、D．【详解】解：由反比例函数的对称性可知，反比例函数的图象关于对称，故A不符合题意；∵，∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B符合题意，C不符合题意；当时，，∴当时，，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，反比例函数图象的对称性，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．7.在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（）A.或 B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据规则可得：，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解为x=1，故选：D．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．8.如图，在中，，，为上任意一点，为AB的中点，连接在BD上且，连接，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据三点共线的时，的值最小即可解答．【详解】解：取的中点，∵为AB的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，当三点共线的时，的值最小∴，故选．【点睛】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.若，则的立方根是_____．【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的非负性求得的值，进而得出的值，进而求得，即可求解．【详解】解：根据算术平方根的非负性得：，∴，∴，∴，∴的立方根为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了求一个数的立方根，二次根式的非负性，求得的值是解题的关键．10.某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元，如果设每年降价的百分率均为x（x>0），则由题意可列方程：______．【答案】【解析】【分析】由“在两年内价格从25万元降至16万元”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】依题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出答案．【详解】解：∵一元二次方程，∴，∵关于的一元二次方程的一个根是，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两个解分别为，，则，，是解本题的关键．12.两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____．【答案】####【解析】【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：∵，∴，∵点O到的距离为，点O到的距离为，∴由相似三角形对应高之比是相似比可得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．13.某汽车测评机构对A款电动汽车与B款燃油汽车进行对比调查，发现A款电动汽车平均每公里充电费用比B款燃油车平均每公里燃油费用少0.6元．当充电费和燃油费用均为200元时，A款电动汽车的行驶里程是B款燃油车的4倍．则A款电动汽车平均每公里充电费用为_______元．【答案】0.2##【解析】【分析】设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，再结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验，即可求出A款电动汽车平均每公里充电费用．【详解】解：设B款燃油车平均每公里燃油费用为x元，则A款电动汽车平均每公里充电费用为元，根据题意有：，解得：，经检验该解是原方程的解，∴A款电动汽车平均每公里充电费用为（元）．故答案为：0.2．【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．14.如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________．【答案】【解析】【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标【详解】如图，过点D，作于点E∵、，四边形是菱形∴,∴∵在和中∴∵∴,∴∵点D在第二象限∴点D的坐标为【点睛】本题考查坐标系内点的坐标的求法，菱形的性质，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理求出对应线段的长是关键15.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是_____．【答案】2或12或【解析】【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形对应边成比例，列方程计算即可．【详解】解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，当△ABP∽△PDC时，，即，解得，x1＝2，x2＝12，经检验x1＝2，x2＝12是原方程的解；当△ABP∽△CDP时，，即，解得，x＝，经检验x＝是原方程的解；综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，故答案为：2或12或．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和分类讨论思想，掌握相似三角形的对应边成比例、根据对应关系不同进行分类讨论是解题的关键．16.如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于___________．【答案】【解析】【分析】先证明是等边三角形，得到，从而由折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：根据题意，画图如下：在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，∴，垂直平分，，∴，∴是等边三角形，∴，由折叠的性质可得：，设，则，在中，，即，解得：，即：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，根据题意画出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17.计算：．【答案】．【解析】【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．【详解】．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．18.解方程：【答案】【解析】【分析】去分母将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：，方程两边同乘得：，整理，得：，解得：，经检验，是原方程的解，故原方程的解为．【点睛】本题考查解分式方程．能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，最后注意要验算．19.先化简，再求值：，其中满足．【答案】1【解析】【分析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．【详解】解：原式∵，∴，则原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，利用整体代入的思想方法是解答的关键．20.如图，在四边形中，对角线与交于点，．（1）求证：；（2）过点作交于点，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明，再证明，即可求证；（2）先证明，再证明，即可求证．【小问1详解】证明：∵，∴∴，即，∵，∴，∴．【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴∴即．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．21.某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）扇形统计图中∠α的度数是，并把条形统计图补充完整；（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为人；（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？【答案】（1）40人；（2）54°；见解析；（3）300；（4）0.3【解析】【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C及抽测的人数；（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D及所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D及所占抽测人数的百分比，可得答案；（4）根据B级抽测的人数除以抽测的人数，可得答案．【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中∠α的度数是×360°＝54°，C级的人数为：406128=14，条形统计图为：故答案为：54°；（3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为1500×＝300（人），故答案为：300（4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是＝0.3，【点睛】本题考查了条形统计图，利用样本估计总体观察统计图获得有效信息是解题关键．22.已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，，且，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后利用，得到，进一步证明出四边形是菱形；（2）延长交于点M，首先证明出，得到，，，然后得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．【小问1详解】如图所示，连接∵E、F、G、H分别是的中点，∴是的中位线，是的中位线，∴，，，∴，∴四边形是平行四边形∵梯形中，，，∴四边形是等腰梯形∴∵同理可得，是的中位线∴∴∴四边形是菱形；【小问2详解】如图所示，延长交于点M，∵，，∴，，∵∴，又∵∴∴，∴，∵四边形是菱形，∴四边形正方形∴，∴，∴是等腰直角三角形∴，即∴．∴四边形的面积为8．【点睛】此题考查了梯形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定与性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及性质，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键．23.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图中，以点为位似中心，作格点，使它与的位似比为；（2）在图中，作格点，使它与相似，且为公共边，为公共角．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接并延长到使得，连接并延长到使得，连接并延长到使得，然后顺次连接即可；（2）如图取格点D，连接，则即为所求．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24.我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示．（1）a=___________，b=___________．（2）直接写出图中y关于x的函数关系式．（3）饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？（4）若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由．【答案】（1），（2）（3）饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上（4）不能，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求得，再求得反比例函数解析式，将代入求得；（2）根据题意得出点的坐标为（0，20）和（8，100），然后利用待定系数法求出两个函数解析式；（3）先求出到第一节课下课时的时间为100分钟，是2个40分钟多20分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解．【小问1详解】（1）开机加热时每分钟上升，，∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．设关系为，将点代入得，∴反比例函数解析式为，令，解得：，∴；故答案为：，；【小问2详解】∵设一次函数关系式为：，将（代入，解得．∴，由（1）可得反比例函数解析式为：；∴【小问3详解】在中，令，解得；在反比例函数中，令，解得：，，∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上．【小问4详解】上午到上午第一节下课时（）的时间是分钟，是2个40分钟多20分钟，在中，当时，，∵，∴学生上午第一节下课时不能喝到超过以上的水．【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键．25.在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连结．（1）如图，求证：四边形是菱形；（2）当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）如果是等腰三角形，直接写出的长度．【答案】（1）证明见解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可证，四边形是平行四边形，再根据，菱形的判定方法即可求解；（2）设，则，根据勾股定理可求出的值，再根据菱形的面积计算方法即可求解；（3）分类讨论：①如图所示，点在上，；②如图所示，点在线段的延长线上时；根据矩形的性质，等边三角形的性质，图形结合分析即可求解．小问1详解】解：∵矩形，∴与互相平分，且，∴，在中，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形．【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵菱形，∴，设，则，在中，，∴，得，即，∵四边形是矩形，∴，，∴，即，∵，且，∴，∴，∴关于的函数关系式为：．小问3详解】解：①如图所示，点在上，，则，∴，在中，；②如图所示，点在线段的延长线上时，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵垂直平分线段，∴，∴，∴是等边三角形，∴是的垂直平分线，，∴在中，；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形结合分析是解题的关键．26.如图，在中，直线与边AB相交于点D，与边相交于点E，与线段延长线相交于点F．（1）若，，求的值．（2）若，，其中，求的值．（3）请根据上述（1）（2）的结论，猜想=(直接写出答案，不需要证明)．【答案】（1）2（2）（3）1【解析】【分析】（1）过点D作交于点M，利用得出，，结合得出，从而得到，，继而得到，；（2）过点D作交于点M，利用，得出，，结合得出，从而得到，，继而得到，；（3）根据（1）（2）的情况，分别计