专题01任意角的三角函数期末复习题型

专题01任意角的三角函数期末复习【四大题型+过关检测卷】目录TOC\o"13"\h\u【题型一扇形弧长和面积的计算及最值问题】 1【题型二三角函数的定义和单位圆、三角函数线】 7【题型三同角三角函数基本关系式的应用】 13【题型四诱导公式的应用】 19【过关检测卷】 24【期末题型】【题型一扇形弧长和面积的计算及最值问题】例题：已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α=π3，R=10cm(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α=π【答案】(1)10π(2)α=2时，面积最大(3)2π3−3【分析】（1）直接利用弧长公式即可；（2）由扇形的周长得2R+l=20，表示出扇形的面积，求最值即可；（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.【详解】（1）由α=π3,R=10（2）由已知得，l+2R=20，则l=20−2R，∴S=当且仅当20−2R=2R，即R=5时扇形的面积最大，此时圆心角α=l（3）设弓形面积为S弓形，由α=π3所以S弓形【变式训练】一、单选题1．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（

A．630cm B．76cm C．7【答案】D【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可.【详解】圆心角210°化为弧度为7π6，则弧长为故选：D2．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（

）A．π B．2π3 C．π3【答案】A【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角α、半径r、弧长l的关系，即可求解.【详解】由已知∠BAC=π3，得AB=则莱洛三角形的周长是π故选：A．3．已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（

）A．28 B．36 C．42 D．50【答案】B【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r=24，然后利用基本不等式可求出扇形面积的最大值.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r=24，所以扇形的面积S=1当且仅当l=2r，即l=12,r=6时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B4．已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（

）A．2sin1 B．4sin21 【答案】D【分析】根据垂径定理可得sin1=【详解】扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，设扇形的半径为r，由垂径定理得sin1=2r故扇形的面积为12故选：D.5．已知有如下命题：①锐角一定小于π2②若扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ③若α是第二象限角，那么2α和α2④若α与β终边共线，则必有α−β=2kπ（k∈Z其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】结合角的概念检验①③；结合扇形面积和弧长公式检验②；结合终边相同角的表示检验④.【详解】对于①，由锐角定义可知，锐角一定小于π2对于②，若扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ的弧度数是4，则12×4r2=2，即半径对于③，若α是第二象限角，则π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z对于④，若α与β终边共线，则必有α−β=2kπ或α−β=故选：D.6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78”．1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为（

A．10−00 B．20−00 C．30−00 D．40−00【答案】B【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，则12α×3由题意可得n6000=2因此该扇形圆心角用密位制表示为20−00．故选：B.7．若扇形的圆心角为π3，半径为6，则扇形的弧长为【答案】2【分析】由扇形弧长公式直接计算即可.【详解】由扇形弧长公式l=αR得扇形的弧长为π3故答案为：2π二、填空题8．已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则该扇形的弧长为【答案】π2/【分析】利用弧长公式计算即得.【详解】依题意，该扇形的弧长为π10故答案为：π9．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度），当θ=43时，x=米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M的最小值为元（【答案】5103/【分析】由题意可得，30=xθ+10θ+2(10−x)，当θ=43时，解得【详解】由题意可得，30=xθ+10θ+2(10−x)，解得θ=10+2x当θ=43时，解得S花装饰费为9θ(x+10)+2(10−x)⋅4=9xθ+90θ+8(10−x)=170+10x故M=170+10x令t=17+x，17<t<27，则M=−10t∵t+324t>2t⋅324t=36，当且仅当∴M的最小值为−10花坛每平方米的装饰费用M最小为103故答案为：5；103【点睛】关键点点睛：题意可得，30=xθ+10θ+2(10−x)，得θ=10+2x10．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若∠AOD=2π3,OA=4，且该扇环的周长为

【答案】4【分析】利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积.【详解】设OB=r，依题意可得，2π3×r+故该扇环的面积为12故答案为：4π三、解答题11．已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l；(1)若α=105∘,r=8(2)若扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径r【答案】(1)14(2)α=2，254cm【分析】（1）利用弧长公式可得答案；（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.【详解】（1）α=105l=αr=7（2）由已知得，l+2r=10，所以S=12lr=12所以当r=52cm时，面积S此时l=5cm,r=512．（1）一条弦AB的长等于它所在圆的半径R，求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积;（2）一扇形的周长为10cm【答案】（1）2π−3312R2；（2）扇形半径【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧AB所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得.（2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得.【详解】（1）如图，在圆O中，弦AB=R，则△AOB是正三角形，∠AOB=π3，AB边上的高为因此S△ABC=12⋅R⋅所以弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积是π6

（2）设扇形的半径为r，则扇形弧长l=10−2r，扇形面积S=12lr=−所以扇形半径r=52cm，扇形的圆心角为l【题型二三角函数的定义和单位圆、三角函数线】例题：若α的终边经过点(1,−5)，则（A．α是第四象限角 B．tanC．sinα=306【答案】ABD【分析】A选项，根据点(1,−5【详解】A选项，因为点(1,−5)在第四象限，所以BCD选项，tanα=−51=−C错误，B，D均正确．故选：ABD【变式训练】一、单选题1．“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β=0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】借助α−β的值，直接分别判断充分性和必要性.【详解】由角α,β的终边在同一条直线上，得α=β+kπ即α−β=kπ,k∈Z反之，由sinα−β=0，得当m为偶数时，角α,β的终边在同一条射线上；当m为奇数时，角α,β的终边在同一条直线上.综上，“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β故选：C.2．已知α是第二象限的角，Px,6为其终边上的一点，且sinα=35，则A．−4 B．±4 C．−8 D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.【详解】点Px,6是第二象限的角α终边上的一点，则x<0由sinα=35，得6故选：C3．在△ABC中，“sinA=sin(π2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义A判断得解.【详解】在△ABC中，由sinA=sin(π2当A为锐角时，A=π2−B，即A+B=当A为钝角时，π−A=π2−B，即因此命题“若sinA=sin(当∠C=π2时，A+B=π2，有所以“sinA=sin(故选：B4．已知角θ满足sinθ<0，tanθ<0，且sinθ2=A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.【详解】由sinθ<0，tanθ<0，得出所以3π则θ2为第二象限角或第四象限角，又因为sin所以sinθ2>0故选：B.5．已知α为第三象限角，则（

）A．sinα2>0 B．cosα2>0【答案】C【分析】根据α为第三象限角，可以得到α2，2α【详解】∵α为第三象限角，即π+2kπ<α<3∴12π+kπ<α∴sinα2>0或sinα2∵2π+4kπ<2α<3π+4kπ∴sin2α>0，−1<故选：C.6．若a=sin2，b=cos2，则a，A．a<b B．b<a C．a=b D．不能确定【答案】B【分析】作出2的正弦线、余弦线，即可判断.【详解】因为π2<2<π，作出2的正弦线MP所以a=sin2>0，b=cos2<0，所以故选：B二、多选题7．(多选)已知sinα=32，则角A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】AB【分析】根据sinα=32可得【详解】因为sinα=32，所以则α在第一或第二象限，故选：AB.8．下列选项中，结果为正数的有（

）A．sin1 B．cos2 C．sin3【答案】AC【分析】先算出1,2,3,4的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解.【详解】因为0<1<π2<2<3<故选：AC.9．下列选项中，结果为正数的有（

）A．sin1+cos1C．sin3+cos3【答案】AB【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由0<1<π2，可得sin1>0,由π2<2<且sin2>cos2,所以B正确，C错误；由π<4<3π2，可得故选：AB.10．下列函数值中，符号为负的为（

）A．sin−2022° B．C．sin2π3cos【答案】CD【分析】先判断象限，再确定符号.【详解】∵−2022°=−6×360°+138°，∴−2022°是第二象限角，则sin−2022°∵−π4是第四象限角，∴∵2π3是第二象限角，∴sin2π3∵π2<2<π故选：CD．三、填空题11．角α的终边上有一点P(3,−2)，则sinα=【答案】−2【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角α终边上有一点P(3,−2)，所以sinα=故答案为：−2四、解答题12．利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合．(1)cosα=−(2)sinα<(3)tanα≥1.【答案】(1){α|α＝－2π3＋2kπ或α＝2π3＋2kπ，k∈(2){α|－4π3＋2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈(3){α|π4＋kπ≤α＜π2＋kπ，k∈【题型三同角三角函数基本关系式的应用】例题：已知sinα−cosα=−15【答案】4【分析】由已知及同角三角函数的平方关系列出方程组，结合π<α<3π2确定【详解】由已知条件和同角三角函数的平方关系，有sinα−消去cosα，得25sin2α+5sin因为π<α<3π2，所以代入已知条件，得cosα=−所以tanα=【变式训练】一、单选题1．已知sinα=−35，且π<α<3A．−45 B．−34 C．【答案】C【分析】根据给定条件，利用平方关系求出cosα【详解】由sinα=−35，π所以tanα=故选：C2．已知α为第四象限角，且tanα=−12，则cosA．55 B．−55 C．2【答案】C【分析】根据同角三角函数的关系求解．【详解】由题意，sinα=−12cosα又α为第四象限角，则cosα=故选：C．3．已知θ∈0,π，A．θ∈π2,C．tanθ=−34【答案】B【分析】根据给定条件，求得sinθ【详解】由θ∈0,π，sinθ+对于A，sinθ>0，则cosθ<0，对于D，sinθ−对于B，由sinθ+cosθ=−15对于C，tanθ=故选：B4．已知2sinθ=cosθ，则A．−15 B．15 C．4【答案】B【分析】先由2sinθ=cosθ得出【详解】由2sinθ=cos所以3sin故选：B.5．已知tanα=2，则5sinα+A．13 B．113 C．5【答案】B【分析】根据切弦互化法计算即可求解.【详解】因为tanα=2所以5sin故选：B．6．已知tanα=12，则1A．−1 B．34 C．3 【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为tanα=所以1=1故选：C二、填空题7．已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝（12，1＋sinθ）.若a//b，则锐角θ＝【答案】45°【详解】由a//b，得（1－sinθ）（1＋sinθ）＝12，所以cos2θ＝12，所以cosθ＝22或cosθ又θ为锐角，所以θ＝45°.8．若sinα及cosα是关于x的方程2x2+4kx+3k=0【答案】−14【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果.【详解】利用方程的根与系数关系可得sinα+又sin2α+cos解得k=1或k=−1当k=1时，sinα当k=−14时，原方程的根为1±17故答案为：−9．设sinθ−cosθ=【答案】7【分析】将sinθ−【详解】因为sinθ−所以(sin所以sinθ故答案为：7三、解答题10．已知关于x的方程25x2−ax+12=0的两根为sinθ(1)求a的值；(2)求sinθ(3)求sin3【答案】(1)35(2)7(3)37【分析】（1）由条件利用韦达定理求出sinθ+cosθ,（2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得sinθ+cosθ（3）由立方差化简sin3θ−cos3θ【详解】（1）由θ∈π4,∵方程25x2−ax+12=0的两根为sin∴于是cosθ>0，进而a25>0由sin2θ+cos得a252−（2）原式==∵sinθ+（3）由θ∈π4,由sinθcosθ=因此sin3另解：原方程即25x2−35x+12=0由θ∈π4,3π因此sin311．已知sinα和cosα是关于x方程(1)求实数k的值；(2)若α∈(0,π)，求【答案】(1)k=−(2)−【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可；（2）由已知可得cosα−【详解】（1）∵sinα、cosα是关于x∴sinα+cosα=−2k,∴(sinα+cosα)∵由Δ=16k2−24k≥0，得∴k=−1（2）∵α∈(0,π又由（1）可得sinα+cosα=∴α∈(π∴cos12．已知sinθ+2(1)求cosθ−(2)求3sin【答案】(1)−1(2)16【分析】（1）先求出tanθ的值，在分式的分子分母中同时除以cosθ，实现弦化切，再将（2）首先将原式变形为3sin2θ−2【详解】（1）由sinθ+2所以cos（2）313．求证：1−2sin【答案】证明见解析【分析】利用同角的正弦余弦的平方和等于1，可证左边=cosθ−sin【详解】因为左边==sin右边=cos所以1−2sin【题型四诱导公式的应用】例题：已知α∈π2(1)求tanα(2)求sin2【答案】(1)tan(2)5【分析】（1）解关于tanα的一元二次方程，可得两个根，因为α∈π2（2）先利用诱导公式化简得到式子sin2α−2cosαsinα+1，然后等价变形为齐次式：【详解】（1）由tan2α−tanα−2=0，得tanα=−1或tanα=2，又因为（2）由第（1）题知，tanα=−1sin===2×【变式训练】一、单选题1．给出下列各函数值：①sin1100°；②cos−2500°；③tan9；④sinA．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】结合诱导公式和三角函数的定义检验各式即可判断.【详解】对于①，sin1100°=对于②，cos−2500°对于③，tan9=tan9−2π，对于④，sin7综上所述，符号为负的有③.故选C.2．sin−1050°=（A．12 B．32 C．−1【答案】A【分析】利用诱导公式化简后即可求值.【详解】sin−1050°故选：A3．已知a=tan4πA．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．a>c>b【答案】B【分析】根据三角函数诱导公式化简计算后即可判断大小.【详解】因为a=tanb=c=cos所有a>b>c.故选：B.4．已知角α的终边上有一点Psin2,−cos2，则角A．π2−2+2kπ（k∈Z） B．C．−2+2kπ（k∈Z） D．π−2+2k【答案】B【分析】根据题意，利用三角函数的定义，得到cosα=sin2,【详解】由题意知，角α的终边上有一点Psin根据三角函数的定义，可得cosα=又由三角函数诱导公式，可得sin2=即cosα=cos(故选：B.二、填空题5．tan315°+2【答案】0【分析】根据题意结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：tan=−tan故答案为：0.6．计算cos300°【答案】−1【分析】利用诱导公式计算可得.【详解】cos===1故答案为：−17．若角α满足tanα=2，则sin【答案】2【分析】利用诱导公式及tanα=【详解】sin===2故答案为：2三、解答题8．化简求值：(1)sin(2(2)tan【答案】(1)1(2)−1【分析】（1）利用诱导公式化简即可求得；（2）利用诱导公式化简即可求得.【详解】（1）sin(2（2）tan79．计算求值：(1)sin(2)sin【答案】(1)0(2)1【分析】（1）（2）根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，化简计算，即可得出答案.【详解】（1）sin==（2）sin==310．化简求值.(1)化简:1−2sin(2)已知:tanα=−34【答案】(1)−1；(2)−34【分析】（1）由正弦、余弦的诱导公式化简，然后由平方关系变形可得．（2）根据给定条件，利用正余弦的齐次式法计算即得．【详解】（1）1−2=(（2）由tanα=−3=211．已知α角的始边与x轴非负半轴重合，P(−2,3)是α角终边上一点.(1)求sinα,(2)若f(α)=tan(−π【答案】(1)sin(2)−【分析】（1）利用三角函数定义得到正弦和正切值；（2）利用三角函数定义得到cosα=−【详解】（1）由题意得sinα=3−2（2）cosα=f(α)==−1【过关检测卷】一、单选题1．240°是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根据240°所在区域及象限角的定义判断得解.【详解】显然180°<240°<270°，所以240°是第三象限角.故选：C2．与sin(θ−π2A．sin(π2−θ) B．cos(θ+π【答案】D【分析】先利用诱导公式对sin(θ−【详解】解：sin(θ−对于A，sin(对于B，cos(θ+对于C，sin(θ+对于D，cos(故选：D．3．若α∈(−π2,0)，则点(A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置.【详解】因为α∈(−π2,0)，所以cos所以点(cos故选：D．4．若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是（

）A．sinα2>0C．tanα2>0【答案】C【分析】根据α的范围求得α2【详解】因为α在第一象限，所以2kπ<α<π所以kπ<α2<当α2是第一象限角时，sinα2>0，cosα当α2是第三象限角时，sinα2<0，cosα综上，tanα故选：C5．化简1−2sin4cosA．sin4+cos4 B．sin4−cos4【答案】C【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得正确的选项.【详解】1−2sin而5π4<4<3π2故选：C6．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A．5−1sin1C．5sin11+【答案】B【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到r5【详解】设扇形的半径为R，圆心角为θθ>0，则弧长l=θR故2R+θR=10，则R=10故扇形面积为S=1由基本不等式得θ+4θ≥2θ⋅4故S=50此时R=10由对称性可知∠BOD=1，设内切圆的圆心为P，因为DO=52，故过点P作PE⊥OB于点E，则PE=r，在Rt△OEP中，sin∠BOD=PE解得r=5故选：B二、多选题7．下列结论正确的是（）A．−7B．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C．若角α的终边过点P(−3,4)，则cosD．若tanα=2，则【答案】BCD【分析】根据题意，解得终边相同角的表示，扇形的弧长、面积公式，以及三角函数的定义和三角函数的基本关系式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由−7π6=5π对于B中，设扇形的所在圆的半径为r，因为圆心角为π3的扇形的弧长为π可得π3r=π，解得r=3对于C中，由角α的终边过点P(−3,4)，可得r=OP根据三