2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题01整式全章复习攻略与难点强化训练（解析版）

专题01整式全章复习攻略与难点强化训练目录考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升学以致用：真题感知+提升专练，全面突破一、整式的有关概念1、单项式（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．2、多项式（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．3、整式：单项式和多项式统称整式．4、同类项（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项．（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．5、代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．注意： （1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入．二、整式的运算整式的运算规则：1、整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项．2、整式的乘法：（1）同底数幂相乘：．(、都是正整数)；（2）幂的乘方：．(、都是正整数)；（3）积的乘方：．(为正整数)；（4）单项式乘以单项式；（5）单项式乘以多项式；（6）多项式乘以多项式；（7）平方差公式：；（8）完全平方公式：，．3、因式分解：提公因式法；公式法；分组分解法；十字交叉法．4、整式的除法：（1）同底数幂相除：（、是正整数，且，）；（2）单项式除以单项式；（3）多项式除以单项式．题型一：化简求值计算技巧1.（1）如果A是三次多项式，B是四次多项式，那么和各是几次多项式？（2）如果A是m次多项式，B是n次多项式，且，那么和各是几次多项式？（3）如果A是m次多项式，B是n次多项式，m，n为正整数，那么和各是几次多项式？【答案】（1）和都是四次多项式；（2）和都是n次多项式；（3）若，则和的次数是m，n中较大者；若，则和的次数可能是小于或等于m，n的任意次数．【解析】多项式的次数是多项式所有项中次数最高项的次数，由此可得题（1）（2）的答案；对于题（3），当时，有同样的结果，当时，相同次数项系数若互为相反数，可得和的次数可能是小于或等于m，n的任意次数．【总结】本题主要考查有关考查多项式次数的概念．2.已知：，，求．【答案】．【解析】 ．【总结】本题主要考查代入式的化简求值，注意去括号时符号的变化．3.已知：满足：（1）；（2）与是同类项．求代数式：的值．【答案】．【解析】依据题意，由（1）得，，由（2）得，可得， 化简代数式并代值，得：原式=．【总结】本题一方面考查同类项的概念，另一方面考查代数式的化简求值．4.试说明不论取何值时，代数式：的值是不会改变的．【答案】不变．【解析】 ． 代数式值恒为定值2，与无关．【总结】当含有字母的代数式经过化简后，得到的是一个常数，则说明此代数式的值与所含字母的取值无关．5.化简：．【答案】．【解析】原式=．【总结】本题主要考查整式的加减运算，注意去括号法则，括号前面是“”号的，去括号时，括号里面各项都要变号，括号前面有系数的，应先进行乘法分配律运算，再去括号．同时出现小括号，中括号，大括号的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，过程中可以先合并同类项以简化计算．6.已知和是同类项，且，，求的值．【答案】0．【解析】由同类项的定义易得，可知，代数式原式最终可化简为： 由此其计算结果为0．【总结】本题一方面考查同类项的概念，另一方面考查代数式的化简求值．7.有这样一道题：“已知，，当，，时，求的值”．有一个学生指出，题目中给出的， 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？【答案】有道理．【解析】， 该代数式的值与无关，因此该生的说法是有道理的．【总结】本题主要考查多项式的值与所包含的字母的关系．8.已知代数式，当时它的值为；当时它的值为，求时，代数式的值．【答案】18．【解析】由题意有：，可求得：，由此，当时， ．【总结】本题主要考查代数式的化简求值．9.已知、、满足：（1）；（2）是7次单项式；求多项式的值． 【答案】【解析】由（1）可得，由（2）可得，由此，化简代 数式化简得：，代入即得： ．【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查代数式的化简求值．10.对任意实数，试比较下列每组多项式的值的大小：与．【答案】>．【解析】因为恒成立， 因此．【总结】本题主要考查利用作差法比较两个多项式的大小．11.比较大小：与．【答案】当时，；当时，；当时，．【解析】因为， 所以当，即时，； 当，即时，；当，即时，．【总结】本题主要考查利用作差法比较两个多项式的大小，注意分类讨论．12.有这样一道题“当时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．【答案】将式子化简所得出的结果是．【解析】将所求代数式化简可得原式=，因为，所以结果保持不变．【总结】本题一方面考查实数的偶次方的特征，另一方面考查代数式的化简求值．题型二：乘法公式应用技巧1.计算：．【答案】【解析】原式．【总结】通过提取公因数构成平方差公式．2.已知，，求代数式的值．【答案】16【解析】．【总结】整式的乘法以及完全平方公式的运用．3.不论取任何整数值，代数式的值总是整数的平方，求的值．【答案】-15【解析】 ∵无论取任何整数值，∴， ∴．【总结】利用完全平方的特征来判定代数式中字母的具体取值．4.试说明不论取何值，代数式的值总是正数．【解析】原式． ∵∴，∴得证．【总结】完全平方公式在判定代数式正负中的运用．5.已知，、都是有理数，求的值．【答案】-8【解析】∵，，∴可得， 解得：．∴．【总结】考察如何配方及非负性的运用．6.已知是完全平方式，求的值．【答案】±16【解析】解：∵∴可得：，∴．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解．7.甲、乙两家商店在9月份的销售额均为万元，在10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长，乙商店的销售额平均每月减少，11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？【答案】答：11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多万元．【解析】甲销售额；乙销售额，∴．【总结】运用完全平方公式解决实际问题．8.已知，求：（1）；（2）．【答案】（1）7； （2）47．【解析】由可得（1）；（2）．【总结】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它们的平方和．即：或．9.计算：（1）已知，求代数式的值．（2）已知，求代数式的值．【答案】（1）27；（2）7．【解析】 （1）=；（2）=．【总结】本题主要考查完全平方公式的逆用．10.求值：（1）已知：，，求代数式的值：（1）；（2）．（2）已知：，，求的值．【答案】（1）7和47；（2）33．【解析】 （1）；．（2）．【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．11.求值：（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）∵； ∴， ∴． （2）∵，又， ∴，∴．【总结】本题主要考查完全平方公式的变形及其应用．12.已知：，求的值．【答案】7【解析】解：∵， ∴． 即．∴．【总结】利用完全平方公式以及完全平方的特点进行整体求值．13.我们把如下左图的一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形，再按如下右图围成较大的正方形．（1）大正方形的边长是多少？（2）中间正方形（阴影部分）的边长是多少？（3）用两种不同的方法求阴影部分的面积；（4）比较两种方法，你能得到怎样的等量关系？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）由图可得；（2）由图可得；（3）方法1、；方法2、； （4）．【总结】通过利用图形变换得到完全平方公式之间的转换．14.已知三个数满足方程，求．【答案】．【解析】因为． 所以． 所以．【总结】本题主要考查完全平方公式以及整体代入法的运用．15.已知，，为有理数且：求：的值．【答案】1．【解析】因为 所以． 即 ． 所以． 所以． 即． 所以，所以．【总结】本题主要考查如何合理运用整式的乘法公式，进行适当的拆项便于整体计算．16.如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的面积为______________________________；（2）观察图2，请你写出三个代数式、、之间的等量关系式：______________________________；（3）根据（2）中的结论，若，则_______________．（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了：．试画出一个几何图形，使它的面积能表示．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）如解析所示（图形不唯一）．【解析】（1）利用割补法或直接面积公式；（2）； （3）因为，所以； （4）．【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式以及对乘法公式的举一反三题型三：因式分解应用技巧若多项式能分解成，那么=（ ）A、2 B、4 C、6 D、8【答案】B【解析】．【总结】考查整式的乘法以及幂的运算．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A、 B、C、 D、【答案】D【解析】割补法求面积．【总结】直接利用面积公式进行求解，这也是验证平方差公式成立的一种方法．已知为任意整数，且的值总可以被（为自然数，）整除，则的值为__________．【答案】13．【解析】由，可得总可以被13整除．【总结】考查数的整除以及平方差公式的运用．因式分解：=___________________．【答案】．【解析】方法一：原式 ； 方法二：原式 ．【总结】本题综合性较强，主要利用分组分解法以及添项或者双十字相乘进行分解．若是完全平方式，求与b的值．【答案】【解析】设，则，由此可得：， ∴，把代入，求得：．【总结】本题综合性较强，难度较大，主要考查利用完全平方公式以及待定系数法求解，注意符号和分类讨论．根据上述算式所反应出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由．【答案】正确【解析】设为整数，且为最小整数，则四个连续正整数的积可表示为，由此可得 ．【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用一．代数式（共1小题）1．（2023秋•奉贤区期中）下列各式中，符合代数式规范书写要求的是（）A．5a÷3 B． C． D．abc3【分析】根据代数式规范书写的规则，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．【解答】解：对于选项A，当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线，因此选项D中的代数式不符合书写规则，规范的写法是：．对于选项B，数与字母相乘，乘号一般省略不写，但数字一定要写在字母的前面，当数是带分数时一定要化为假分数，因此选项B中的代数式不符合书写规则，规范的写法是：；对于选项C，符合代数式书写规则；对于选项D，数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，因此选项D中的代数式不符合书写规则，规范的写法是：3abc．，故选：C．【点评】此题主要考查了代数式的书写，熟练掌握代数式规范书写的规则是解决问题的关键．二．列代数式（共3小题）2．（2023秋•奉贤区期中）用代数式表示“x与y的平方的差的一半”，下列正确的是（）A．（x2﹣y2） B．x﹣y2 C．（x﹣y）2 D．（x﹣y2）【分析】根据题中语句所表达的意义列式即可解决问题．【解答】解：“x与y的平方的差的一半”列式为：（x﹣y2），故选：D．【点评】本题主要考查列代数式，深入理解题意是解决问题的关键．3．（2023秋•闵行区校级月考）一个长方形的长为a，周长是b，则这个长方形的宽是（b﹣a）．【分析】根据长方形周长变形公式：长方形宽＝周长÷2﹣长，可得这个长方形的宽．【解答】解：b÷2﹣a＝b﹣a．故这个长方形的宽是（b﹣a）．故答案为：（b﹣a）．【点评】考查了列代数式，关键是熟练掌握长方形的周长公式．4．（2023秋•奉贤区期中）如图，点P是线段AB的中点，Q为线段PB上一点，分别以AQ、AP、PQ、QB为一边作正方形，其面积对应地记作SACDQ，SAEEP，SPGHQ，SQIGB，设AP＝m，QB＝n．（1）用含有m，n的代数式表示正方形ACDQ的面积SACDQ．（2）SACDQ+SQIGB与SAEFP+SPGHQ具有怎样的数量关系？并说明理由．（3）用含有m，n的代数式表示多边形CDHGFE的面积S多边形CDHGFE．【分析】（1）根据正方形面积公式即可用含有m，n的代数式表示正方形ACDQ的面积SACDQ；（2）根据正方形的面积即可得SACDQ+SQIJB与SAEFP+SPGHQ的数量关系；（3）根据S多边形CDHGFE＝SACDQ﹣SAEFP﹣SPGHQ，然后代入计算即可．【解答】解：（1）∵点P是线段AB的中点，∴AP＝BP，分别以AQ、AP、PQ、QB为一边作正方形，设AP＝m，QB＝n，∴PQ＝GH＝CE＝m﹣n，∴AC＝DC＝m+m﹣n＝2m﹣n，∴正方形ACDQ的面积SACDQ＝（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn+n2．（2）SACDQ+SQIJB＝2（SAEFP+SPGHQ），理由如下：∵SACDQ+SQIJB＝（2m﹣n）2+n2＝4m2﹣4mn+2n2＝2（2m2﹣2mn+n2），SAEFP+SPGHQ＝m2+（m﹣n）2＝2m2﹣2mn+n2∴SACDQ+SQIJB＝2（SAEFP+SPGHQ）．（3）∵S多边形CDHGFE＝SACDQ﹣SAEFP﹣SPGHQ，∵S＝2m22mn+n2．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意后根据正方形的面积列代数式．三．代数式求值（共3小题）5．（2023秋•浦东新区期中）当时，代数式3x（x+1）的值是﹣．【分析】直接把已知数据代入计算得出答案【解答】解：当时，3x（x+1）＝3×（﹣）×（﹣+1）＝﹣1×＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023秋•青浦区校级期中）已知代数式x﹣2y＝5，那么代数式9﹣2x+4y＝﹣1．【分析】首先把9﹣2x+4y化成9﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y＝5代入，求出代数式9﹣2x+4y的值是多少即可．【解答】解：当x﹣2y＝5时，9﹣2x+4y＝9﹣2（x﹣2y）＝9﹣2×5＝9﹣10＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．7．（2023秋•浦东新区校级期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例＝，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为﹣36．【分析】根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．【解答】解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．四．同类项（共2小题）8．（2023秋•奉贤区期中）下列各组式中，不是同类项的是（）A．和﹣7x2y3 B．5和﹣π C．3ab和﹣5ba D．3x2y和2x2y【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，逐项分析判断即可．【解答】解：A．与﹣7x2y3，字母相同，相同字母的次数不同，不是同类项，故该选项符合题意；B．5与﹣π，是同类项，故该选项不符合题意；C．3ab与﹣5ba，是同类项，故该选项不符合题意；D．3x2y与2x2y，是同类项，故该选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同类项的定义，理解同类项的定义是解题的关键．9．（2023秋•闵行区校级期中）若单项式﹣2amb3与是同类项，则m﹣n＝6．【分析】根据同类型的概念求解即可．【解答】解：由题意，得m＝5，2﹣n＝3，即n＝﹣1，∴m﹣n＝5﹣（﹣1）＝6，故答案为：6．【点评】本题考查同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项．五．合并同类项（共2小题）10．（2023秋•静安区校级月考）2xkyk+2与3x2yn的和是5x2yn，则k+n＝6．【分析】根据同类项的定义确定k与n的值，再代入计算即可．【解答】解：由题意知2xkyk+2+3x2yn＝5x2yn，∴2xkyk+2与3x2yn是同类项，∴k＝2，k+2＝n，∴n＝2+2＝4，∴k+n＝2+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同．11．（2022秋•浦东新区校级期末）如果2xmy3与的和是单项式，那么m+n的值等于5．【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由题意，得m＝2，n＝3．m+n＝2+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出m、n的值是解题关键．六．去括号与添括号（共2小题）12．（2023秋•静安区校级月考）下列去括号中，正确的是（）A．a2﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a﹣1 B．a2+（﹣2a﹣3）＝a2﹣2a+3 C．3a﹣[5b﹣（2c﹣1）]＝3a﹣5b+2c﹣1 D．﹣（a+b）+（c﹣d）＝﹣a﹣b﹣c+d【分析】根据去括号的法则：括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．逐一检验即可．注意合并同类项．【解答】解：A，a2﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1，故此选项错误；B，a2+（﹣2a﹣3）＝a2﹣2a﹣3，故此选项错误；C，3a﹣[5b﹣（2c﹣1）]＝3a﹣5b+2c﹣1，故此选项正确；D，﹣（a+b）+（c﹣d）＝﹣a﹣b+c﹣d，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了去括号的方法，关键是正确把握去括号法则，注意符号的变化．13．（2023秋•闵行区校级期中）计算：．【分析】先去括号，再合并同类项即可．【解答】解：＝＝﹣a3+2a2﹣6a．【点评】本题考查整式混合运算法则，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．七．整式（共1小题）14．（2023秋•浦东新区校级期中）代数式，2x+y，，，，中整式的个数（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】运用整式的概念进行逐一辨别、求解．【解答】解：由题意得，2x+y，，，是整式，，是分式，故选：B．【点评】此题考查了整式的辨别能力，关键是能准确理解并运用整式的概念．八．单项式（共2小题）15．（2023秋•闵行区期中）代数式0，3﹣a，，（a﹣b）7，±4，2a中，单项式个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据单项式的概念即可求出答案．【解答】解：0，，±4，2a是单项式，故选：D．【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．16．（2023秋•浦东新区校级期中）单项式72x2y3的次数是（）A．4 B．5 C．6 D．7．【分析】根据单项式的次数是所有字母指数的和进行求解．【解答】解：由题意得，2+3＝5，∴单项式72x2y3的次数是5，故选：B．【点评】此题考查了单项式次数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．九．多项式（共3小题）17．（2023秋•闵行区期中）下列说法错误的是（）A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．﹣x+1是多项式 C．﹣a的系数是﹣1，次数是1 D．是单项式【分析】根据多项式的相关概念和单项式的相关概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，正确，故本选项错误；B、﹣x+1是多项式，正确，故本选项错误；C、﹣a的系数是﹣1，次数是1，正确，故本选项错误；D、字母在分母上，不是单项式，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了多项式，单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．18．（2023秋•普陀区校级期中）在多项式2x3﹣4x5+6y3﹣8中，最高次项的系数和常数项分别为（）A．2和﹣8 B．﹣4和﹣8 C．6和﹣8 D．﹣4和8【分析】根据多项式的意义，即可解答．【解答】解：在多项式2x3﹣4x5+6y3﹣8中，最高次项的系数和常数项分别为﹣4和﹣8，故选：B．【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．19．（2023秋•青浦区校级期中）将多项式2xy﹣4x4y2﹣3x2y+7x3y﹣5按字母x降幂排列是﹣4x4y2+7x3y﹣3x2y+2xy﹣5．【分析】根据多项式的意义，即可解答．【解答】解：将多项式2xy﹣4x4y2﹣3x2y+7x3y﹣5按字母x降幂排列是﹣4x4y2+7x3y﹣3x2y+2xy﹣5，故答案为：﹣4x4y2+7x3y﹣3x2y+2xy﹣5．【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．一十．整式的加减（共2小题）20．（2023秋•闵行区期中）计算：．【分析】去括号合并同类项即可．【解答】解：＝＝．【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．21．（2023秋•闵行区校级月考）已知A＝﹣a2+3b﹣2，B＝2a2﹣b，求多项式C，使2A+2C＝B．【分析】把A，B代入2A+2C＝B中，去括号合并确定出C即可；【解答】解：∵2A+2C＝B，∴C＝（B﹣2A）＝B﹣A＝（2a2﹣b）﹣（﹣a2+3b﹣2）＝a2﹣b+a2﹣3b+2＝2a2﹣+2．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．一十一．整式的加减—化简求值（共1小题）22．（2023秋•闵行区校级期中）已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．（1）计算：A﹣3B；（2）当x＝2，y＝﹣1时，求A﹣3B的值．【分析】（1）直接代入，去括号再合并同类项即可；（2）把两个值代入化简后的式子中求值即可．【解答】解：（1）A﹣3B＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3（x2﹣xy）＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy＝5xy+3y﹣1；（2）当x＝2，y＝﹣1时，A﹣3B＝5×2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣1＝﹣14．【点评】本题考查了整式的加减，进行运算时注意符号与数字不要出错．一十二．同底数幂的乘法（共2小题）23．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：（x﹣y）3•（y﹣x）2＝（x﹣y）5．（结果用幂的形式表示）【分析】将（x﹣y）3和（y﹣x）2化为相同的底数，根据同底数的幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（x﹣y）3•（y﹣x）2＝（x﹣y）3•（x﹣y）2＝（x﹣y）3+2＝（x﹣y）5．故答案为：（x﹣y）5．【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．24．（2023秋•闵行区校级期中）若am＝2，an＝8，则am+n＝16．【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵am＝2，an＝8，∴am+n＝am•an＝16，故答案为：16【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．一十三．幂的乘方与积的乘方（共2小题）25．（2023秋•普陀区校级期中）的计算结果是（）A．﹣1 B． C．1 D．【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：＝＝（）2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝1×（﹣）＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．26．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：＝．故答案为：．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．一十四．同底数幂的除法（共2小题）27．（2023秋•浦东新区校级期中）若3x＝2，3y＝5，则32x﹣y＝．【分析】把32x﹣y化为（3x）2÷3y，再把3x＝2，3y＝5代入进行计算即可．【解答】解：∵3x＝2，3y＝5，∴32x﹣y＝（3x）2÷3y＝22÷5＝4÷5＝．故答案为：．【点评】本题考查的是同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．28．（2023秋•闵行区校级期中）已知2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，求x﹣y的值．【分析】先都转化为同底数的幂，根据指数相等列出方程，解方程组求出x、y的值，然后代入x﹣y计算即可．【解答】解：∵2x＝4y+1，∴2x＝22y+2，∴x＝2y+2．①又∵27y＝3x﹣1，∴33y＝3x﹣1，∴3y＝x﹣1．②把①代入②，得y＝1，∴x＝4，∴x﹣y＝3．【点评】本题主要考查幂的乘方的性质的逆用：amn＝（am）n（a≠0，m，n为正整数），根据指数相等列出方程是解题的关键．一十五．单项式乘单项式（共4小题）29．（2023秋•闵行区期中）计算：．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝2x7﹣4x7＝﹣2x7．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．30．（2023秋•奉贤区期中）计算：（﹣a）4•（﹣a2）﹣（3a3）2﹣2a2•a3•a．【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式＝a4•（﹣a2）﹣9a6﹣2a6＝﹣a6﹣9a6﹣2a6＝﹣12a6．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．31．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：2a2b•（﹣3ab2）+（2ab）3．【分析】利用单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：2a2b•（﹣3ab2）+（2ab）3＝﹣6a3b3+8a3b3＝2a3b3．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．32．（2023秋•宝山区校级月考）．【分析】先进行幂的乘方运算，然后合并同类项即可得出答案．【解答】解：原式＝x6+x6﹣x6＝x6．【点评】本题考查了幂的乘方运算，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则及合并同类项的法则．一十六．单项式乘多项式（共3小题）33．（2023秋•青浦区校级期中）计算：．【分析】根据单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．【解答】解：原式＝x2﹣2x2+x2y﹣3xy2+5xy2＝﹣x2+x2y+2xy2．【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的前提．34．（2023秋•浦东新区期中）计算：3x﹣[2x（x+2y）﹣2y（2x﹣y）]+2x2．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，进而得出答案．【解答】解：原式＝3x﹣（2x2+4xy﹣4xy+2y2）+2x2＝3x﹣2x2﹣4xy+4xy﹣2y2+2x2＝3x﹣2y2．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．35．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：【分析】首先进行积的乘方运算，再利用单项式乘以多项式得出答案．【解答】解：原式＝a2b2（﹣a2b﹣12ab+b2）＝a2b2•（﹣a2b）﹣a2b2•12ab+a2b2•b2＝﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．一十七．多项式乘多项式（共4小题）36．（2023秋•青浦区校级期中）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x3和x2项．（1）求m与n的值；（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）将多项式展开后合并同类项，令x3和x2项的系数等于0即可解决；（2）先化简（m+n）（m2﹣mn+n2）后代入m、n的值即可．【解答】解：（1）由于（x3+mx+n）（x2﹣3x+2）＝x5﹣3x4+2x3+mx3﹣3mx2+2mx+nx2﹣3nx+2n＝x5﹣3x4+（2+m）x3+（n﹣3m）x2+（2m﹣3n）x+2n∵展开式中不含x3和x2项，∴2+m＝0，n﹣3m＝0，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，∴m＝﹣2，n＝﹣6；（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+nm2﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣2，n＝6时，原式＝（﹣2）3+（﹣6）3＝﹣8﹣216＝﹣224．【点评】本题考查多项式乘多项式以及化简求值，属于基础题，细心就好．37．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：（x﹣2y+z）•（x+2y﹣z）．【分析】将原式变形后运用平方差公式和完全平方公式进行求解．【解答】解：（x﹣2y+z）•（x+2y﹣z）＝[x﹣（2y﹣z）]•[x+（2y﹣z）]＝x2﹣（2y﹣z）2＝x2﹣4x2+4yz﹣z2．【点评】此题考查了多项式乘多项式的运算能力，关键是能将原式准确变形后运用平方差公式和完全平方公式进行求解．38．（2023秋•宝山区校级月考）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m＝，答：当m＝时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y＝；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．39．（2023秋•静安区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣5x﹣6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+7x+6．（1）求正确的a、b的值．（2）计算这道乘法题的正确结果．【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可；【解答】解：（1）∵（2x﹣a）•（3x+b）＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab，∴2b﹣3a＝﹣5①，∵（2x+a）•（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab，∴2b+a＝7②，由①和②组成方程组：，解得：；（2）（2x+3）•（3x+2）＝6x2+13x+6．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．一十八．完全平方公式（共3小题）40．（2023秋•奉贤区期中）已知（a﹣2016）2+（2018﹣a）2＝24，则（a﹣2017）2的值是11．【分析】利用完全平方公式将原式变形后计算即可．【解答】解：∵（a﹣2016）2+（2018﹣a）2＝24，∴[（a﹣2017）+1]2+[（a﹣2017）﹣1]2＝24，整理得：（a﹣2017）2+2（a﹣2017）+1+（a﹣2017）2﹣2（a﹣2017）+1＝24，则2（a﹣2017）2＝22，那么（a﹣2017）2＝11，故答案为：11．【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．41．（2023秋•奉贤区期中）已知（a+b）2＝50，（a﹣b）2＝60，求a2+b2及ab的值．【分析】将两个完全平方展开，相加，求出a2+b2的值，进而求出ab的值即可．【解答】解：∵（a+b）2＝50，（a﹣b）2＝60，∴a2+b2+2ab＝50①，a2+b2﹣2ab＝60②，由①+②得：2（a2+b2）＝110，得：a2+b2＝55，∴55+2ab＝50，∴．【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题关键．42．（2023秋•浦东新区期中）计算：（x+3y）2﹣2（x+3y）（x﹣3y）+（x﹣3y）2．【分析】首先把x+3y和x﹣3y分别看作一个整体，则原式符合完全平方公式，即得：[（x+3y）﹣（x﹣3y）]2，去掉括号，合并同类项，即可推出结论．【解答】解：原式＝[（x+3y）﹣（x﹣3y）]2，＝（x+3y﹣x+3y）2，＝36y2．【点评】本题主要考查对完全平方公式的运用，关键在于首先把x+3y和x﹣3y分别看作一个整体，正确的运用完全平方公式，认真的去括号，合并同类项．一十九．完全平方公式的几何背景（共2小题）43．（2023秋•青浦区校级期中）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．44．（2023秋•闵行区校级月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为S1；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为S3．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求S3的值．【分析】（1）根据大正方形减小正方形面积求出阴影部分面积即可；（2）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可；（3）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可；【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，∴S3＝（S1+S2）＝×30＝15．【点评】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．二十．平方差公式（共2小题）45．（2023秋•闵行区期中）用乘法公式计算：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）【分析】根据添括号法则把原式变形，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可．【解答】解：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[a﹣（2b﹣3c）][（a+（2b﹣3c）]＝a2﹣（2b﹣3c）2＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．46．（2023秋•闵行区期中）简便计算：20112﹣2007×2015．【分析】将原式变形为20112﹣（2011﹣4）（2011+4），然后按平方差公式计算可得答案．【解答】解：原式＝20112﹣（2011﹣4）（2011+4）＝20112﹣（20112﹣16）＝16．【点评】此题考查的是平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．二十一．平方差公式的几何背景（共1小题）47．（2023秋•松江区月考）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（用字母表示）【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．【解答】解：在图1中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以阴影部分的面积为a2﹣b2，在图2中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a﹣b，则面积为（a+b）（a﹣b），由于两个阴影部分面积相等，所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）成立．故本题答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【点评】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．二十二．整式的除法（共1小题）48．（2023秋•普陀区校级期中）计算：（2x2y﹣4xy2）÷2xy＝x﹣2y．【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．【解答】解：（2x2y﹣4xy2）÷2xy＝2x2y÷2xy﹣4xy2÷2xy＝x﹣2y，故答案为：x﹣2y．【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．二十三．整式的混合运算（共1小题）49．（2023秋•普陀区校级期中）计算：．【分析】先算乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．【解答】解：＝＝﹣3x8÷＝﹣12x4．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二十四．整式的混合运算—化简求值（共2小题）50．（2023秋•闵行区期中）先化简，再求值：，其中x＝2．【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，最后把x＝2代入化简后的式子，进行混合运算即可．【解答】解：原式＝＝＝9x6﹣1﹣x6+4x3﹣4﹣8x6＝9x6﹣x6﹣8x6+4x3﹣5＝4x3﹣5，当x＝2时，原式＝4×23﹣5＝4×8﹣5＝32﹣5＝27．【点评】本题主要考查了整式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．51．（2023秋•青浦区校级期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面的问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可；（2）由题意得正方形GFDH的边长为x﹣3，正方形MFRN的边长为x﹣1，（x﹣3）（x﹣1）＝48，设p＝x﹣1，q＝x﹣3，则p﹣q＝x﹣1﹣x+3＝2，pq＝（x﹣1）（x﹣3）＝48，根据（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq求出p+q，再利用平方差公式求出p2﹣q2的值即可．【解答】解：（1）设a＝5﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝5﹣x+x﹣2＝3，ab＝2，所以（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9+4＝5；（2）由题意得，正方形GFDH的边长为x﹣3，正方形MFRN的边长为x﹣1，由于长方形EMFD的面积是48，即（x﹣3）（x﹣1）＝48，设p＝x﹣1，q＝x﹣3，则p﹣q＝x﹣1﹣x+3＝2，pq＝（x﹣1）（x﹣3）＝48，所以（p+q）2＝（p﹣q）2+4pq＝4+4×48＝196，即p+q＝14，所以阴影部分的面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝p2﹣q2＝（p+q）（p﹣q）＝14×2＝28，即阴影部分的面积为28．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．二十五．因式分解的意义（共1小题）52．（2023秋•青浦区校级期中）下列从左到右变形，是因式分解的是（）A．a（2a2+5ab﹣b2）＝2a3+5a2b﹣ab2 B．（x+5y）（x﹣5y）＝x2﹣25y2 C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D