2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）专题10 矩形的性质（原卷版）

第10讲矩形的性质1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可．【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等；②矩形的对角相等且四个角都是直角；③矩形的对角线互相平分且相等；④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴．（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．矩形性质1：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形，且∠A=90°，求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠A=90°，∠D=∠B，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠D=∠B=180°-∠A=180°-90°=90°，即矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等．已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.证明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，又∵AB=DC，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC=BD.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线，求证：BO=AC.证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴BO=BD=AC.考点剖析考点一、矩形性质的理解【例1】下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（

）A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边平行【变式1】下列性质中，矩形不一定具有的是（

）A． B． C． D．考点二、利用矩形的性质求角度【例2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（

）A． B． C． D．考点三、利用矩形的性质求线段的长【例3】如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O．点，分别是，的中点，连接，则的周长为（

）A．12 B．18 C．20 D．16【变式3】如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点，则的长为．考点四、利用矩形的性质求面积【例4】如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为．【变式4】如图，若过矩形对角线的交点O，且分别交、于点E、F，则阴影部分的面积是矩形面积的（

）

A． B． C． D．考点五、矩形的性质与坐标【例5】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为．

【变式5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为．考点六、矩形的性质与翻折问题【例6】如图，在矩形中，，，E、F分别是边上一点，，将沿翻折得，连接，当时，是以为腰的等腰三角形．

【变式6】如图，在矩形中，，，点E为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为．考点七、直角三角形斜边中线的性质【例7】如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为．【变式7-1】如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为．【变式7-2】如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：．考点八、矩形性质的综合问题【例8】如图1，在矩形中，过矩形对角线的中点O作，分别交、于、点．(1)求证：；(2)如图2，若为的中点，且，求证：．【变式8】在矩形中，点E在上，，垂足为F．(1)求证：；(2)若，且，求的值．过关检测一、单选题1．如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（

）

A． B． C． D．2．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．3．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（）A．12 B．24 C．27 D．544．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，．若，则的长度为（）

A．10 B．12 C．14 D．165．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则的长是（

）A． B． C． D．二、填空题6．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为．7．在矩形中，E、F分别在和上，，若，，则．8．如图，矩形中，对角线相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为．9．如图，在矩形中，、相交于点，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，则=．10．在矩形中，对角线、相交于点O，平分交于点E，，连接，①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④．则结论中正确的有．

三、解答题11．如图，矩形中，与相交于点．若，，求矩形的面积．

12．如图，在矩形中，，，边上有一点E，连接，，．

(1)求的长；(2)求的度数．13．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处，已知，．(1)求的长；(2)求的长．14．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，．(1)求矩形对角线的长；(2)过点作于点，连接．求的长．15．如图，点是内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点、、、