2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题12 三角函数中的最值模型之胡不归模型（解析版）

专题12三角函数中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是【答案】【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，GF+FB=GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短，又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．【详解】延长AC到点P，使CP=AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4∴AC=CP=2，BP=AB=4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH=30°∴Rt△FHB中，FH=FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB=GF+FH=GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC=90°∵O为AC中点∴OA=OC=OG=∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=3，sin∠P=∴∴GH最小值为故答案为：【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．例3．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图：过点E作，过点B作，连接,由菱形的性质结合题意可得结合可得，则,即；再根据三角形的三边关系可得,则当时，即F与重合时，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴当时，即F与重合时，有最小值∴的最小值．故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到有最小值的位置是解答本题的关键．例4．（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为。解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）连接AC交BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF=PB.显然A、P、F共线时PA+PB最小。此时

PA+PB=AF∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=利用等面积法:×AF×BE=×AE×BO解得：AF=注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。例5．（2023上·福建福州·九年级校联考期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】作交于，交于，连接、、，令交于，由可得，由圆周角定理可得，由等边三角形的判定及性质可得是的垂直平分线，从而得到，由含角直角三角形的性质可得，从而得到，当时，此时最小为，最后根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作交于，交于，连接、、，令交于，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，是的垂直平分线，，在中，，，，，当时，此时最小为，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是．

【答案】【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可．【详解】解：连接，过作，过作，

令，即，解得或1，，，，，，．，根据垂线段最短可知，的最小值为，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题．例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则，根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线．（2）如图，连接，，垂直平分AB，当点与重合时，,此时最小，，设，则解得：PA+PC=当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，，由（2）知，平分点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为∠QAC的正弦值为【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．例8．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，），∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．课后专项训练1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，，，，，，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，，．故答案为3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的关键．2．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．【答案】4【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，四边形是菱形，边长为5，，，，，，，，，，，，，，即，，当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，菱形的面积，，的最小值是4．故答案为：4．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．3．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度，在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此时得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是．【答案】【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题．【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．与x轴交于点C，与y轴变于点A，令x=0，y=，令y=0,得x=∴A（0，），C（，0），∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°，∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E，∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3，∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝，∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥，∴BD＋EC的最小值为，故答案为．【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2023·广东珠海·校考三模）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为.

【答案】【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为．【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5．8．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．9．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．【答案】【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．【详解】解：∵纸条的对边平行，即，∴四边形是平行四边形，∵两张纸条的宽度都为，∴，∴，∴四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：∴，要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：∴，∴，∴的最小值为，即的最小值为；故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．10．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，．(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．【详解】（1）解：，，，在菱形中，，，在中，，点是线段的中点，；（2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，、关于直线对称，，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．当点与不重合时，．四边形是菱形，，，又，，，，，即的最小值是．的最小值是．【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．11．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．（1）写出中点D的坐标，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=经过D(，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值为4．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2023·广西·南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；（2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求；（3）作D关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【详解】解：（1）把点，点代入得，解得，∴二次函数的表达式为；（2）∵二次函数的表达式为，令，得，∴点的坐标为．设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．∵轴，∴，．∵，∴．设，则，∴，，，，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，∴，，∴，∴；（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，∵，∴，∴，∴，由垂线段最短可知此时长度最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．13．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．

(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．【答案】(1)见解析(2)①；②t的最小值为3【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证；（2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出，，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵关于的对称图形为，∴，∴四边形是菱形．（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．

∵四边形是菱形，∴，，∵，∴为中位线，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，∴

②由题意得：点Q的运动时间如答图2中，连接，过点P作于H，由①，得过点O作于M．如答图2根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，

又所以t的最小值为3．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，是中考压轴题．14．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴点到的距离为．（2）如图，连接，过点作于，过点作于．∵，∴的最小值等于的长，∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值为；故答案为：（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．15．（2022··达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函数为，，，，，，，的面积与四边形的面积之比为，的面积与四边形的面积之比为，，设点的横坐标为，则，解得：，把代入中得：，；（3）如图所示，过点作轴交于点，，，，作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，，，当、、在同一直线时最小，即的最小值为，，，，，在中，，，在中．，的最小值为．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．16．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,①求证：；②若，，求的度数．（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90