2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题06 圆中的最值模型之阿氏圆模型（原卷版）

专题06圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．例2．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．例3．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（

）A． B． C． D．例4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC’，OC’与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为____．例5．（2023·浙江·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例6．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC中，CB4，AB2AC，则△ABC面积的最大值为_____．例7．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．课后专项训练1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校联考期末）如图，在中，，，，以为圆心，4为半径作圆，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为（

）．A．13 B． C． D．3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为．4．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是．5．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为．

6．（2023·江苏宿迁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为．

7.（2022春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为．8．（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，则的最小值＝．9．（2022·贵州遵义·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC边的中点O为圆心，BC为半径作圆，点D是⊙O上一动点，点E是弦CD的中点，连接AE，若BC=4，AB=3，则AE+BE的最小值是．10．（2022秋·江苏·九年级校考专题练习）在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为．11．（2023·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值为．12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为．13．（2023·山东·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD﹣的最大值为．14．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值．15．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为．

16.（2022春·江苏·九年级专题练习）【新知探究】新定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC中，CB4，AB2AC，则△ABC面积的最大值为．

17．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值．18．（2023·山东济宁·校考三模）已知：抛物线经过，，．(1)求抛物线解析式．(2)在线段下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求：点坐标及面积最大值．(3)如图2，直线交轴于点，取点，取线段的中点，以原点为圆心，长为半径做，点是上的动点，连接、．求：的最小值．

19.（2022春·浙江·九年级期末）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA