2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（原卷版）

专题05圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2022秋·天津河西·九年级校考期末）如图，是的内切圆，若，则．例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（

）A． B． C． D．例3．（2023·四川宜宾·统考一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为．例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（

）A．4 B．3 C．2 D．1例5．（2023·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7例6．（2023·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为．例7．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为．

例8．（2023·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（）A． B． C． D．模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.例4．（2023·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（

）A．1 B． C． D．例5．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．例6．（2023安徽中考数学一模卷）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APB=∠CPB=60°．(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：PA+PC=PB．例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．课后专项训练1．（2023·山东烟台·统考中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°2．（2023·江苏南通·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半径是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE3．（2023·浙江·九年级统考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣24．（2023·河北张家口·统考一模）如图，点点为的内心，且于点，若，，则的度数为（

）A．163 B．164 C．165 D．1665．（2023秋·天津河北·九年级校考期末）若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．1257．（2034·浙江杭州·三模）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，下列结论正确的是（）A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠CC．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（

）

A． B． C． D．59．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．410．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（

）A． B． C． D．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中，一定正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．（2022秋·江苏·九年级校考周测）如图，内接于，若为的内心，连结并延长交于点，为、交点，连结、，以下结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则．以上结论正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．（2023春·四川南充·九年级统考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是．14．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，为外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，①若，的直径为4，则扇形的面积为；②若，，则．15．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，中，点是内心，若，则的度数为．16．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是．17．（2023·四川德阳·统考二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与的三边相切，已知，，．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为（取3）18．（2023广东九年级上期中）已知中，，则它的外接圆半径为，内切圆半径为．19．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为．20．（2023·山西·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，如图，为⊙O的直径，内接于⊙O，，点P是的内心，延长交⊙O于点D，连接．(1)求证：；(2)已知⊙O的半径是3，，求的长．22．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：(1)根据小明的思路，请你完成证明；(2)若圆的半径为4，则的最大值为__________；(3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值．23．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题）综合与实践数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持．(1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形；(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．24．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC的外接圆⊙O；（2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC的外接圆半径R=,△ABC的内切圆半径r=．25．（2023秋·成都市九年级上期中）如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．26．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵是的直径，∴__________________，∴，∵四边形内角和等于，∴__________________．（2）