2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题03 圆中的重要模型-圆中的翻折模型（解析版）

专题03圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和圆周角定理可得可得，可证，可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵点D为中点，∴，∵弧沿弦向下折叠交于点D，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴（负值舍去），故选：C．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．例2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】D【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．【详解】解：如图，连接，是直径，，，，，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为．【答案】【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出OD的长；根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，解，求得,即可求得，进而求得劣弧的长．【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD==2，故答案：【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC，，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可．【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴AE=，∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S阴影=S△ACD=．故选：C．【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键．例5．（2023·浙江温州·校考三模）如图，在⊙O中，将劣弧沿弦翻折恰好经过圆心，是劣弧上一点，分别延长，交圆于，两点，连接，．若，记的面积为，的面积为．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别作△ABC、点O关于线段BC的对称，交于点、，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，根据轴对称的性质可得的度数为120°，则有∠BFC=∠BAC=120°，进而可得△ABE和△ADC都为等边三角形，然后根据三角函数可得，最后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：分别作△ABC、点O关于线段BC的对称，交于点、，OH与BC交于点M，连接OH、OB，过点B作BG⊥CE于点G，如图所示：∵劣弧沿弦翻折恰好经过圆心，∴由折叠的性质可得，∴，，∴，∴，∴的度数为120°，∴的度数为240°，∠D=∠E=60°，∴∠BFC=∠BAC=120°，∴∠EAB=∠DAC=60°，∴△ABE和△ADC都为等边三角形，且，∵BG⊥CE，∴，∴，∵，设，则，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、圆的基本性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴，由折叠得：，∴；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；故选：B．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．例8．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为．【答案】【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF-OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出EF的长，最后根据勾股定理可得答案．【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，则AC’=AD=AC，EOEF-OF，∴EO的最小值为EF-OF，当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AEDC，∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线．例9．（2023·浙江温州·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为【答案】（1）证明见解析；（2）①；②9.【分析】（1）连接OC交AE于M，由DC与⊙C相切于点C可得∠OCD＝90°，又因为AB是⊙O的直径，所以∠CDB＝90°，易得OC⊥AE，可证弧AC=弧CE（2）①由（1）易得四边形CMED是矩形，所以CD＝ME＝AM＝AE＝6，由勾股定理求出BD的长，由cos∠DBC=cos∠CAM可求出AC的长，即可求出答案②由勾股定理可求出BE的长，由折叠知BF＝BE，根据AF＝AB﹣BF即可求出答案【详解】解：（1）如图1，连接OC交AE于M，∵DC与⊙C相切于点C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，∴四边形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝AE＝6，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝8，∴cos∠DBC＝，∵∠CAM＝∠DBC，∴cos∠CAM＝＝，∴AC＝，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝；②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝连接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，由折叠知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝9，故答案为9．【点睛】此题主要考查圆的综合运用课后专项训练1．（2023秋·河南漯河·九年级校考期末）如图，的半径为3，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】过O作垂直于的半径，设交点为D，根据折叠的性质可求出的长；连接，根据勾股定理可求出的长，由垂径定理知，即可求出的长度．【详解】解∶过作于，交于，连接，中，，根据勾股定理，得∶，由垂径定理得，，故选∶D．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·九年级华校考阶段练习）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°【答案】B【分析】如图，取中点，连接，连接，由题意知，且在一条直线上，，，知，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求，，，，，的值，进而求解的值．【详解】解：如图，取中点，连接，连接由题意知，且在一条直线上，，∴∴∵，∴∴∵∴∴∴∴故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．3．（2023秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可．【详解】解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，故面积最大∵点C运动到优弧中点∴,且∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，∴OH=HM∵的半径为∴，∴在中，利用勾股定理得：，∴∴故选A．【点睛】此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度．4．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，在中将沿弦翻折过圆心O交弦于点F，，，则的长为（

）A．4 B． C． D．6【答案】D【分析】如图，连接AE，AF，OA，OB，过点O作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT．证明△AEF是等边三角形，设EF＝2a，BF＝4a，再利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：如图，连接AE，AF，OA，OB，过点O作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT．由翻折的性质可知，AB垂直平分线段OT，∴AO＝AT，∵OA＝OT，∴△AOT是等边三角形，∴∠AOT＝60°，∵OT⊥AB，∴∴∠AOT＝∠BOT＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠E＝∠AOB＝60°，∵∠ABF＝∠ABE，∴,∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∵BF＝2EF，∴设EF＝2a，BF＝4a，则EH＝FH＝a，AH＝a，BH＝5a，在Rt△AHB中，AB2＝AH2＋BH2，∴（）2＝（a）2＋（5a）2，∴a＝1，∴BE＝6a＝6，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．5．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，四边形内接于，，．劣弧沿6弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解.【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：由翻折的性质，得OB=BF，∠OBC=∠FBC∵翻折后刚好经过圆心∴OB=OF∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°∵OF⊥BC∴∵∴BG=CG=1.5∴∵，OE⊥AB，OA=OB∴∠ABD=∠ADB=45°∴OE=EB=∴故选：A.【点睛】此题考查折叠的性质以及圆性质综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进行求解.6．（2023·江苏扬州·九年级统考期中）如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32° B．48° C．58° D．74°【答案】C【分析】首先连接NQ，由MN是直径，可求得∠MQN=90°，则可求得∠MNQ的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，继而求得答案．【详解】解：连接NQ，∵MN是直径，∴∠MQN＝90°，∵∠PMQ＝16°，∴∠MNQ＝90°﹣∠PMQ＝90°﹣16°＝74°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，∴∠MPQ+∠MNQ＝180°，∴∠MNQ＝∠QPN＝74°，∴∠PQM＝∠MNQ﹣∠PMQ＝74°﹣16°＝58°．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠MNQ=∠QPN是解此题的关键．7．（2023·江苏镇江·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（）A．40° B．50 C．80° D．100【答案】D【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据优弧所对的圆周角为∠ADC，得到∠ADC+∠B＝180°，然后根据∠DCA＝∠CDB﹣∠A，计算求得∠DCA的度数，即可求得弧的度数．【详解】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°．根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，优弧所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝70°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝70°﹣20°＝50°，∴弧的度数为100°故选D．【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解∠ADC+∠B＝180°.8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦折叠，圆弧恰好与弦，分别相切于点E，B．若，则弦的长是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设所在的圆的圆心为Q，连接、、，由切线的性质得，，而是的直径，证明四边形是正方形，因为与关于直线对称，所以，垂直平分，则，，延长、交于点F，作交的延长线于点G，连接，可得，得，由，，得，则，所以，，于是得到问题答案．【详解】解：设所在的圆的圆心为Q，连接、、，

∵恰好与弦，分别相切于点E，B，∴，，∵是的直径，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，由折叠得与关于直线对称，∴，垂直平分，∴，，∴，∴，延长、交于点F，作交的延长线于点G，连接，∵，∴，∵为直径可得，∴垂直平分，∵，，，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】此题重点考查轴对称的性质、圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解．【详解】依题意：，∴∴四边形是菱形∴连接与交于D点

∵∴∴是等边三角形同理：是等边三角形故由三线合一，在中：∵，∴，，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形．10．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（

）

A． B． C．5 D．【答案】B【分析】连接，作于，连接、、、，过点O作于F，可由推出，进而利用勾股定理求得，，然后证明四边形是矩形，可得，，再利用勾股定理构建方程求出，然后可求半径．【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、，

，，，，在中，，，，过点O作于F，∵点D是中点，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，又∵，，且，∴，∴，解得：，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，求出，．11．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积是．

【答案】【分析】由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，求出扇形的面积等于的面积．【详解】解：连接，直线交于点，如图所示，

扇形中，，，将扇形翻折，使点与圆心重合，，，，，是等边三角形，，，，，，弓形的面积等于弓形的面积，，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、翻折变换、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2023·广东惠州·校考二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则．

【答案】【分析】连接、，因为和都是所对的弧，得到，由，推出，，因为，可得出，求出，从而，解得的值即可．【详解】解：如图，连接、，

和都是所对的弧，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：或（舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质及应用，等弧所对圆周角相等，涉及翻折变换，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明．13．（2023·江苏·二模）如图，为正方形的边上一点（不与、重合），将沿直线翻折到，延长交于点，点是过、、三点的圆劣弧上一点，则＝．

【答案】135【分析】根据翻折性质和正方形的性质推出和，从而证明三角形相等，推出，再利用翻折性质推出，即可求出度数，最后根据圆内接四边形对角互补即可求出度数．【详解】解：连接、，如图所示，

将沿直线翻折到，四边为正方形，，，．在和中，，．．，、、、四点构成了圆的内接四边形，，．故答案为：135．【点睛】本题考查了翻折的性质、正方形的性质和圆内接四边形．解题的关键在于能否构造与所求角度有关的内接四边形以及熟练掌握相关性质．14．（2023·四川广元·统考二模）如图，在中，为直径，C是圆上一点，连接，以C为圆心，的长为半径作弧，恰好经过点B，将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分的面积是．

【答案】【分析】先根据直角所对的圆周角为直角，得出，根据，结合勾股定理求出，根据图形得出即可．【详解】解：∵为直径，∴，∵以为圆心，的长为半径作弧，恰好经过点，∴，∴，即，解得，

∵将分别沿、向内翻折，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直径，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出．15．（2023·福建泉州·统考一模）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点．若，，则＝．【答案】【分析】设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，易证四边形是菱形，得到，推出，证明，得到，进而得到进行求解即可．【详解】解：设翻折前点的对应点是点，连接、、、、，如图：则：∴，∵，∴∴，∴四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，即：∴，∴∵，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查弧，弦，角之间的关系，同弧所对的圆周角相等，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．16．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为．【答案】【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，，∴，设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图：则，∴，，∵，∴，∴，∴，由翻折可知：，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，，∴，即的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理、翻折性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握垂径定理和翻折性质是解答的关键．17．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为°．【答案】22.5【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得，进而根据题意可得，，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解．【详解】解：连接，如图，AB是的直径，故答案为：．【点睛】本题考查同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题关键．18．（2023·广东汕头·九年级校考期中）如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，再由圆周角定理得∠CBD＝∠CBE，则，得，即可得出结论；（2）连接OC交AD于H，连接OA，设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，则OC⊥AD，由垂径定理得AH＝AD＝4，再由勾股定理求出CH＝3，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，∴∠CBD＝∠CBE，∴，∴，∴AC＝EC；（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图：设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，∴OC⊥AD，∴AH＝AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，∴CH＝＝＝3，∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：，解得：r＝，即⊙O的半径为．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键．19．（2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径r．（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请直接写出∠DCA的度数是．（3）如图2，若点D与圆心O不重合，BD＝5，AD＝7，求AC的长．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点O作于点E，利用垂径定理和勾股定理列式求出半径；（2）连接BC，根据圆周角定理和折叠的性质得，从而算出的度数，再在中根据三角形内角和算出的度数；（3）过C作于点G，连接OG，BC，结合（2）中的结论证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得DG的长，然后利用勾股定理求出CG的长，再进一步求出AC的长．【详解】解：（1）如图，过点O作于点E，则，∵翻折后点D与圆心O重合，∴，在中，，即，解得，（舍去），∴；（2）如图，连接BC，∵AB是直径，∴，∵，∴，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴，∴，在中，∵，∴；（3）如图，过C作于点G，连接OG，BC，∵，，∴，∴的半径为6，由（2）知：，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，．【点睛】本题考查圆的综合证明，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理等与圆有关的基本定理，还要灵活运用折叠的性质和勾股定理进行线段和角度的求解．20．（2023·江苏·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图，若点与圆心重合，，求的半径；（2）如图，若点与圆心不重合，，求的度数；（3）如图，若点与圆心不重合，，，求的长．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可；（2）连接，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角度求解即可；（3）过作于，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，根据勾股定理计算即可；【详解】（1）如图1，过点作于，则，∵翻折后点与圆心重合，∴，在中，，即，解得；（2）如图2，连接，∵是直径，∴，∵，∴，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，∴，∴，∴．（3）如图3，过作于，连接、，∵，，∴的半径为6，由（2）知：，∵，∴，∴，∴，中，，中，，则的长为．【点睛】本题主要考查