2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破）（原卷版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第6章反比例函数（知识归纳+题型突破）1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.一、反比例函数的概念一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在中，自变量的取值范围是，()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置，一、三象限；

，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增减性，随的增大而增大

，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小

，在每个象限，随的增大而增大（4）反比例函数y＝中的意义①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.题型一反比例函数的定义及有关概念【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．巩固训练：1．下列各点在反比例函数图象上的是（

）A． B． C． D．2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（

）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知关于x的反比例函数，则m的值为．5．如果是反比例函数，那么的值是．题型二反比例函数的图像与性质【例2】关于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．函数图像分别位于第一、三象限 B．函数图像经过点C．函数图像过，则 D．函数图像关于原点成中心对称巩固训练：1．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（）A．

B．

C．

D．

2．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．函数图像经过点 B．函数图像位于第一、三象限C．函数值随着的增大而增大 D．当时，4．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是．5．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是．6．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是．7．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是(

)．A． B． C． D．题型三反比例函数有关的面积问题【例3】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（

）

A．4 B． C．8 D．巩固训练：1．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是．

2．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为．

3．点，是反比例函数上关于原点对称的任意两点，平行于轴，交轴于点，平行于轴，交轴于点，设四边形的面积为，则（

）

A． B． C． D．4．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（

）

A．3 B．6 C．12 D．245．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点A在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点A作交轴于点，点在直线上，连接，．若的面积为4.5，则的值为．

题型四反比例函数与不等式【例4】．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像；(2)结合图像，直接写出不等式组的解集_________．(3)把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积．巩固训练：1．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．(1)直接写出的值以及，的坐标；(2)根据图象直接写出：当时x的取值范围；(3)求的面积．题型五反比例函数的图像与性质的综合分析【例5】．已知点与点在反比例函数的图象上，()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则巩固训练：1．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（

）

A．1 B． C． D．23．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型六反比例函数的实际应用【例6】．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．(1)当气体的体积为时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？题型七反比例函数综合解答题【例7】．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图象直接写出不等式的解集．巩固训练：1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求b与m的值；(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点．

(1)求反比例函数的表达式；(2)直线分别交x轴、y轴于两点．①请用无刻度的直尺和圆规，作出的平分线，交直线于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求出点P的坐标．3．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x(天)3568……硫化物的浓度42.421.5……

(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？4．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：

如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．(1)__________________．直线的表达式为__________________(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．5．【探索发现】如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，在下列角中：①∠DAF，②，③