生物统计学与试验设计：第六章 方差分析

第六章方差分析

两因素方差分析

单因素方差分析

方差分析的基本概念第一节方差分析的基本概念2个平均数之间差异的显著性检验一般用t-检验或u-检验来进行分析3个或3个以上平均数之间差异的显著性检验是否仍然可以采用t-检验或u-检验来进行分析呢？（I）工作量相当大如果对k个（k≥3）样本平均数进行t-检验时，需要假设检验的次数为：对5个平均数进行t-检验时需要进行10次t-检验对10个平均数进行t-检验时需要进行45次t-检验（II）无统一的试验误差对同一个试验的多个样本平均数进行比较时，应当有一个统一的试验误差但是，如果用t-检验对多个样本平均数进行两两比较时：每进行一次t-检验都需要计算一个标准误：（III）误差估计的精确性低假设一个试验中，有k个（k≥3）样本，每个样本的样本容量均为n■用t-检验进行两两比较，那么，每次只能利用两个样本共2n个观测值估计试验误差，误差自由度为2（n-1）■利用整个试验的kn个观测值估计试验误差，误差自由度为k（n-1）用t-检验对3个或3个以上的样本平均数进行分析时，由于误差自由度小，误差估计的精确性低，使检验的灵敏度降低，容易掩盖差异的显著性（IV）犯I型错误的概率大

用t-检验进行多个样本平均数间差异的显著性检验，随着样本数量的增大而增大犯I型错误的概率用t-检验来比较5个样本平均数，就会有10个差数，对这10个差数都以α=0.05为显著水平进行假设检验■每一差数获得正确结论的概率是1-α=0.95■10个差数都获得正确结论的概率只有0.9510=0.5987■在10个两两比较中，犯I型错误的概率就不再是α=0.05，而是α=1-0.5987=0.4013方差是衡量数据变异程度的特征值

平方和的平均数引起变量发生变异的原因称为变异因素或变异来源◆方差分析就是发现各类变异来源相对重要性的一种方法方差分析的基本思路

把整个试验（设有k个样本）资料作为一个整体来考虑，把整个试验的总变异按照变异的来源分解成不同来源的变异，即把总方差分解成不同来源的方差由于样本方差等于平方和除以自由度，因此把总方差分解成不同来源的方差，就等于把总方差中的平方和、自由度分解为相应的不同变异来源的平方和、自由度，进而获得不同变异来源方差的估计值，从而发现不同变异来源方差的相对重要性第二节单因素方差分析1.组内样本容量相同的单因素资料

单因素资料是指在试验时仅考虑一个因素，除这一因素外，其余因素均控制在同一水平上当每一组内的供试动物个数相等时，就称为组内样本容量相等的单因素资料试验因素（experimentalfactor）试验中所研究的影响试验指标的因素

因素水平（level）试验因素所处的某种特定状态或数量等级1.1数学模型和数据结构从一个正态总体N（μ，σ2）中随机抽取一个样本容量为n的样本，则样本中每一观测值为：样本平均数为：如果对上述总体施加效应为a的处理，则样本中每一个观测值为：如果将N（μ，σ2）的总体分成k个亚总体，每一个亚总体施加一个效应为ai的处理，则每一亚总体的平均数为：从每一亚总体内抽取一个样本容量为n的样本，则有k个样本：

样本12…i…k观测值x11…x12x1j…x1nx2nx21xi2xi1xk1x2jxk2xknxkjxinxijx22………………………………………………任何一个观测值均具有线性模型：

1.2平方和、自由度的剖分全部观测值的总平方和为：第1个样本内的平方和为：第2个样本内的平方和为：第i个样本内的平方和为：第k个样本内的平方和为：组内平方和（误差平方和）：组间变异就是k个样本平均数的变异，其平方和、自由度为：组间均方：

组内均方：

获得3个均方:总均方：

组内均方：

组间均方：

三个均方的平方和、自由度之间的关系

三个均方的自由度之间的关系

总自由度=组间自由度+组内自由度

总自由度可以剖分为两部分：组间自由度、组内自由度

三个均方的平方和之间的关系

同理，第2个样本、第i个样本、第k个样本都有相似的等式：第一个样本的每个观测值与总平均数的离差平方和：总平方和=组间平方和+组内平方和总平方和可以剖分为两部分：组间平方和、组内平方和1.3F-检验组间均方：组间平方和除以组间自由度组内均方：组内平方和除以组内自由度如果对各亚总体施加的处理效应足够大，样本平均数之间的差距就会足够大，则组间均方就会显著大于组内均方，F值就会达到显著水平用F值进行的假设检验称为F-检验，又称为方差分析F-检验的步骤

无效假设Ｈ0：（1）提出假设备择假设ＨA：至少有两个均数不相等（2）计算F值（3）查表，推断根据第一自由度dfb、第二自由度dfe由附表5查出显著水平α=0.05和0.01的两个临界值，将计算的F值与之相比较，作出推断

■方差分析表例1：选用4种不同剂型的配合饲料作太湖猪的配合饲料剂型试验，每一剂型饲喂5头太湖猪，得增重数据如下，试对不同剂型饲料对太湖猪增重效果的差异进行检验。无效假设Ｈ0：（1）提出假设备择假设ＨA：4个均数不全相等（2）计算F值解：检验步骤如下：计算均方（MS）值、Ｆ值并建立方差分析表：（3）查表，推断查附表5，F0.05（3，16）=3.24，F0.01（3，16）=5.29F＞F0.01，即P＜0.01，F值极显著

否定Ｈ0，接受ＨA，即4种剂型的饲料对太湖猪增重的影响有极显著的差异**课堂练习：为了研究长白猪、杜洛克、太湖猪、新淮猪等4个不同猪种的生长速度，现从每个品种猪中随机抽取5头同日龄的架子猪，在相同的饲养条件下饲养一个月后得到增重量如下，试进行方差分析。1.4多重比较（multiplecomparisons）

多重比较的总体原则都是构建平均数差数的显著尺度

多重比较的第一步就是求出尺度值多重比较的第二步是用平均数差数值与相应的尺度值比较

差数值大于尺度值，就表示两平均数间差异显著或极显著

差数值小于尺度值，就表示两平均数间差异不显著1.4.1LSD法

LSD法即最小显著差数法（leastsignificantdifference），是多重比较中一种最简便的方法LSD法多重比较步骤:■建立平均数的多重比较表，将各组按其平均数从大到小自上而下排列■计算最小显著差数LSD0.05和LSD0.01

■将平均数多重比较表中两两平均数的差数与LSD0.05和LSD0.01比较，作出推断例1：选用4种不同剂型的配合饲料作太湖猪的配合饲料剂型试验，每一剂型饲喂5头太湖猪，得增重数据如下，试对不同剂型饲料对太湖猪增重效果的差异进行检验。**a.建立平均数多重比较表组（剂型）A4A3

A1

A2

25.022.820.217.67.45.22.64.82.62.2b.计算最小显著差数c.比较，推断将平均数差数与最小显著差数比较：

小于LSD0.05者为不显著

介于LSD0.05与LSD0.01之间者显著，在差数的右上方标记*

大于LSD0.01者极显著，在差数的右上方标记********A3剂型饲料对太湖猪的增重效果极显著高于A2

A4剂型饲料对太湖猪的增重效果极显著高于A2

A3剂型饲料对太湖猪的增重效果极显著高于A1

1.4.2LSR法

LSR法即最小显著极差法（Leastsignificantranges）LSR法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极距r（平均数的距离）的不同而采用不同的检验尺度■克服了LSD法的不足■检验的工作量有所增加（1）q法（qtest）q法为一种比较客观的方法，其尺度公式为：q法多重比较的步骤：■建立平均数多重比较表■由自由度dfe、极距r查临界q值，计算最小显著极差LSR0.05,r和LSR0.01,r■将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差LSR0.05,r和LSR0.01,r比较，作出推断例1：选用4种不同剂型的配合饲料作太湖猪的配合饲料剂型试验，每一剂型饲喂5头太湖猪，得增重数据如下，试对不同剂型饲料对太湖猪增重效果的差异进行检验。**a.建立平均数多重比较表b.计算最小显著极差极

距（r）234q0.05q0.013.004.133.654.78

4.055.19LSR0.05LSR0.013.435

4.7294.1785.4714.6355.940查qα值,计算最小显著极差c.比较，推断****（2）SSR法SSR法（shortestsignificantranges）又称为新复极差法（newmultiplerangemethod）和Duncan法

SSR法的尺度公式为：SSR法与q法的检验步骤相同■LSD法、q法和SSR法检验尺度的关系LSD法≤SSR法≤q法

极距r=2时，取等于号

极距r≥3时，取小于号2.组内样本容量不等的单因素资料

2.1平方和、自由度的剖分2.2F检验步骤与组内样本容量相等的单因素资料相同

2.3多重比较LSD法LSR法例2：研究不同水平赖氨酸对肉仔鸡生长的影响，设置了5个水平，每一水平饲喂了若干个仔鸡，得日增重数据如下，试作方差分析。Ｈ0：（1）提出假设ＨA：5个均数不全相等（2）计算F值解：检验步骤如下：计算MS值、F值，并建立方差分析表：变异来源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01组间（赖氨酸）1312.54328.12514.84组内（误差）420.01922.105总变异1732.5232.904.50（3）查表，推断F值极显著

**否定H0，接受HA

五种赖氨酸水平对仔鸡的生长速度有极显著的影响（4）多重比较a．建立平均数多重比较表b.计算最小显著极差极距2345q0.052.963.593.984.26q0.014.054.675.095.33LSR0.056.377.738.579.17LSR0.018.7210.0510.9611.47***********c.比较，推断第三节两因素方差分析1.组合内无重复观测值的两因素资料组合内无重复观测值的两因素资料就是每一组合内仅有一个供试动物组合内无重复观测值的两因素资料观测值的数学模型为：

μ：总体平均数αi：A因素第i个效应βj：B因素第j个效应εij：随机误差组合内无重复观测值的两因素资料的数据结构为：因

素B1B2…Bj…BbTA1x11x12…x1j…x1bT1.A2x21x22…x2j…x2bT2.┇┇┇…┇…┇┇Aixi1xi2…xij…xibTi.┇┇┇…┇…┇┇Aaxa1xa2…xaj…xabTa.TT.1T.2…T.j…T.bT组合内无重复观测值的两因素资料方差分析的检验步骤：

A因素：（1）提出假设H0：

HA：

a个均数不全相等B因素：H0：

HA：

b个均数不全相等（2）计算F值（3）查表，推断FA：FB：（4）多重比较若FA显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误：若FB显著，应对B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误：例3：为了研究4种不同中草药添加剂饲料（A）对太湖猪的饲喂效果，选择了5个不同的地区（B）进行饲养试验，试验结束后得数据如下，试作方差分析。解：检验步骤如下：

A因素：（1）提出假设H0：

HA：

4个均数不全相等B因素：H0：

HA：

5个均数不全相等（2）计算F值计算均方、F值，并建立方差分析表：变异来源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01添加剂间A311.63103.86710.0603.495.95地区间B65.3416.3251.5813.265.41误差123.91210.325总变异500.819**（3）查表，推断（4）多重比较极距234q0.053.083.774.02q0.014.325.045.60LSR0.054.435.426.04LSR0.016.217.248.05*****2.组合内有重复观测值的两因素资料设A因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个组合，

每一组合内有n个观测值（n≥2），整批资料共有abn个观测值组合内有重复观测值的两因素资料的数学模型为:μ：总体平均数αi：A因素第i个效应βj：B因素第j个效应εijk：随机误差(αβ）ij：Ai和Bj的互作效应组合内有重复观测值的两因素资料数据结构为：组合内有重复观测值的两因素资料方差分析的检验步骤：

A因素：（1）提出假设H0：

HA：

a个均数不全相等B因素：H0：

HA：

b个均数不全相等（2）计算F值FA显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：FB显著，应对B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：FAB显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为：

例4：用2种不同的饲料喂养3个不同品种的鲤鱼，得增重结果如下，试对资料作方差分析。解：（1）提出假设A因素：

H0：HA：3个均数不全相等B因素：

H0：HA：2个均数不相等（2）计算F值变异来源dfSSMSFF0.05F0.01品种A20.05660.02832.343.556.01饲料B10.18020.180214.894.418.29A×B20.35990.180014.883.556.01误差180.21800.0121总变异230.8147（3）查表，推断****（4）多重比较极距23456q0.052.973.614.004.284.49q0.014.074.705.055.385.60LSR0.050.160.200.220.230.2