2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第5章 投影与视图（知识归纳+题型突破）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第5章投影与视图（知识归纳+题型突破）1.在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；

2.通过实例了解中心投影与平行投影；

3.会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4.能根据三种视图描述简单的几何体.一、投影投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面.2.中心投影

手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.3.平行投影

1.平行投影的定义：太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：

①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影.要点：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

二、中心投影与平行投影的区别与联系1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

要点：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.

三、视图1.三视图

（1）视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.

（2）三视图

在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

2.三视图之间的关系（1）位置关系

一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.

（2）大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

要点：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.

要点：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

要点：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.题型一平行投影【例1】下列光线所形成的投影是平行投影的是（

）A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线【答案】A【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．【解析】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行投影，解题关键是看光线是否是平行的.巩固训练：1．下图中各投影是平行投影的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行投影定义即可判断．【解析】解：只有C中的投影线是平行的，且影子长度与原物体长度比一致．故选：C．【点睛】本题考查了平行投影的知识，牢记平行投影的定义是解题的关键．2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（）

A．56° B．66° C．72° D．76°【答案】B【分析】根据正五边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出．【解析】解：如图，延长和分别交的延长线于点G和I，

∵六边形是正五边形，∴，∴，∴，由平行光线知，；故选：B．【点睛】本题考查平行投影的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键．题型二中心投影【例2】中心投影的光线是（

）A．平行的 B．从一点发出的 C．不平行的 D．向四面发散的【答案】B【分析】根据中心投影的定义即可解答．【解析】解：中心投影的光线是从一点发出的，故选：B．【点睛】本题主要考查了中心投影的定义，解题的关键是掌握中心投影的光线是从一点发出的．巩固训练：1．当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（

）A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定【答案】B【分析】根据中心投影的性质，灯光下影子与物体离灯源距离有关，从而得出答案．【解析】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是变短．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．2．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解．【解析】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，，，．，，，，，，即，，故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．题型三正投影【例3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（

）A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形C．一个等腰三角形 D．一个小圆点【答案】D【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案．【解析】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意；当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意；当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键．巩固训练：1．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．【解析】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：B．【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．2．幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似，逐个判断即可得到答案；【解析】解：由题意可得，，∴，故A错误，，故B正确，，故C，D不一定成立，故选B；【点睛】本题考查投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似．3．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，求出的长，再根据勾股定理可得的长；通过证明，再根据相似三角形的性质可得的长，进而得出的长．【解析】解：在中，，，，，在中，，，，，，，，，即在直线上的正投影的长是，故选：C．【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．题型四视点、视角和盲区【例4】．如图，从点观测建筑物的视角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．【解析】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，故选：A．【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．巩固训练：1．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（）

A． B． C． D．四边形【答案】C【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可．【解析】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，故选：C．【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．2．图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）A．P区域 B．Q区域 C．M区域 D．N区域【答案】B【解析】根据清视点、视角和盲区的定义，观察图形解决．解：由图片可知，只有Q区域同时处在三个侧面的观察范围内．故选B．题型五三视图【例5】．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解析】解：从上面看，看的图形为：．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图，是解题的关键．巩固训练：1．如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据圆柱和圆台的几何特征，结合俯视图的性质进行判断即可．【解析】该几何图形是由圆柱和圆台构成，从上往下看，圆柱和圆台的底面都是圆，故选：B．【点睛】本题考查了圆柱和圆台的俯视图的判断，属于容易题．2．如图是某组合体的三视图，则该组合体是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据三视图分别判断出两部分的几何体．【解析】解：根据正视图和俯视图可知，组合体上部分为一个圆柱体，根据俯视图和左视图可知，组合体下部分为一个长方体，故该组合体是有一个圆柱和长方体组合而成，选项A满足，

故选：A．【点睛】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是掌握常见的几何体的三视图的特征，比如圆柱，圆锥之类．题型六由三视图求体积和表面积【例6】．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（

）

A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得．【解析】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，则这个长方体的体积为，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出其长、宽、高．巩固训练：1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由三视图得，判断此几何体为直四棱柱，从而可以求解．【解析】解：由三视图得，此几何体为直四棱柱，()．故选：D．【点睛】本题考查了通过三视图求几何体侧面积，掌握三视图与原几何体的关系是解题的关键．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（结果保留π）．

【答案】【分析】由三视图可知该几何体是个半圆柱，且半圆柱的底面半径是2，高是4，根据表面积的计算公式求解即可．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状．题型七由三视图判断正方体个数最少或最多问题【例7】．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数最少和最多分别是（

）A．5，10 B．6，10 C．6，9 D．5，9【答案】A【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少和最多的正方体的个数．【解析】解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共3行，且正方体在搭建过程中在底层必须能棱与棱一起，∴小正方体的个数最少的几何体为：第一列2个小正方体，第二列3个小正方体，其余位置没有小正方体，即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：（个）；小正方体的个数最多的几何体为：第一列5个小正方体，第二列5个小正方体，其余位置没有小正方体，即组成这个几何体的小正方体的个数最多为：（个）．故选：A．【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．巩固训练：1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】A【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．【解析】解：根据题意得：则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（个）．故选：A．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面看和从上面看如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是个．【答案】7【分析】从俯视图得到这个几何体第一层有5个，从主视图得到这个几何体第2层的最多个数，得出结果．【解析】从俯视图得到这个几何体第一层一共有5个，从主视图得到这个几何体有2层，第二层最多有2个，故最多一共有7个，答案为7．【点睛】本题考查根据三视图抽象出几何体，注意三视图的作用：俯视图打地基，主视图定高度，左视图拆违章．题型八投影与视图综合解答题【例8】．下列物体是由六个小正方体搭成的，分别画出从正面、左面、上面看到的立体图形的形状．

【答案】见解析【分析】根据主视图，左视图，俯视图定义，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图．【解析】

．【点睛】本题考查了三视图的作图，三视图是主视图、俯视图、左视图的统称，从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图．巩固训练：1．由小立方体堆成的某几何体的俯视图如图所示，其中正方形内的数字表示该位置小方块的个数，请你画出该几何体的主视图和左视图．【答案】见解析【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为4，3，1，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，4，据此可画出图形．【解析】解：如图所示：【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．2．阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度．

【答案】【分析】根据同一时刻，物高和影长对应成比例得到，求出的长，进而得到的长，证明，列式求解即可．【解析】解：由题意，得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，∴．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似．3．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．

(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．【答案】(1)正六棱柱(2)见解析(3)【分析】（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；（3）根据其侧面积是六长方形的面积，从而得出答案．【解析】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状是正六棱柱，故答案为：正六棱柱；（2）解：六棱柱的表面展开图如图所示．（答案不唯一）

（3）解：由图中数据可知，六棱柱的高为，底面边长为，所以六棱柱的侧面积为．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及求立体图形侧面积的知识，解题的关键是正确的判定几何体．4．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．

(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．(2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．【答案】(1)(2)米【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可；（2）作于点F，则，根据即可求解．【解析】（1）解：由题意得：，即，解得，故答案为：；（2）解：如图，作于点F，

在中，，，物高与影长的比是，，，，即落在乙楼上的影子的长为米．【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键．5．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；

(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；A．

B．

C．

D．

(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度．

【答案】(1)见解析(2)D(3)【分析】[画图操作]根据中心投影，直接画图即可；[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；[解决问题]根据相似三角形的性质即可解答．【解析】（1）解：[画图操作]光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示；

（2）[数学思考]如图②所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从到的变化是先越来越短再越来越长；故答案为：D；（3）[解决问题]，，，，，又，，，，，，，，，，解得：；灯杆的高度为．【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的性质的应用等，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．6．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；