数列通项公式和求和公式总结

一公式法例1数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.二利用与的关系例2若数列的前项和为求的通项公式.三累加法 例3数列中已知,求的通项公式.四累乘法例4数列中已知,求的通项公式.五构造法例5①数列中已知,求的通项公式; ②数列中已知,求的通项公式. ③数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式一利用公式例6等比数列的前项和求的值.二分组求和例7求数列的前项和.三错位相减例8求和四裂项相消例9求和五倒序相加例10设,求和1.求数列,的前项和.2已知，求的前n项和.3.求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a为常数)的前n项和。4.求证：5.求数列，，，…，，…的前n项和S6.数列{an}：，求S2002.7.求数5，55，555，…，55…5的前n项和Sn8.已知数列是等差数列，且，求的值.9.已知数列的通项公式为求它的前n项的和.10.在数列中，证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.11.数列为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54.求其首项a1及公比q.12.已知数列求.13.设为等差数列，Sn为数列的前n项和，已知S7=7,S15=75.记Tn为数列的前n项和，求Tn.14.求数列的前项和15.已知：.求.16.求和.17.，求。18.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。19.已知数列：，求的值。20.求和:21.求数列的前项和：22.求数列的前项和。24.求的值。25.已知数列的通项公式，求它的前n项和.26.已知数列的通项公式求它的前n项和.27.求和：28.已知数列30.解答下列问题：（I）设（1）求的反函数（2）若（3）若31.设函数求和：32.已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证33.已知数列{}的各项分别为的前n项和.34．已知数列{}满足：的前n项和.35．设数列{}中，中5的倍数的项依次记为， （I）求的值.（II）用k表示，并说明理由. （III）求和：36．数列{}的前n项和为，且满足 （I）求与的关系式，并求{}的通项公式；（II）求和37．将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求数列{}的通项公式； （II）求数列{Tn}的通项公式；（III）设数列{Tn}的前n项和为Sn，求S8的值.39.（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．40.某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取）答案：1.设则两式相减得∴.2.解：由由等比数列求和公式得＝＝＝1－3.解：若a=0,则Sn=0若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=当a=0时，此式也成立。∴Sn=5.解：∵=）Sn===6.解：设S2002＝由可得……∵（找特殊性质项）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝57.n解：因为55…5=nn所以Sn=5+55+555+…+55…5n===解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()8.∵为等差数列，且1+17=5+13，∴.由题设易知=117.又为与的等差中项，∴.9.(裂项)于是有方程组两边相加，即得10.【证明】∵∴.化简，得Sn-1－Sn=2SnSn-1两边同除以.SnSn-1，得∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.∴∴11.∵∴此数列为递增等比数列.故q≠1.依题设，有②÷①，得④④代入①，得⑤⑤代入③，得⑥④代入⑥，得,再代入③，得a1=2,再代入⑤，得q=3.12.令（裂项）故有=.13.设等差数列的公差为d，则(I)∵∴解得代入（I）得（II）∵∴数列是首项为－2，公差为的等差数列，∴14.解：Sn=15.当为正奇数时，当为正偶数时，综上知，注意按的奇偶性讨论！16.17.解：因为所以18.解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)．当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)．(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)．由①可得S3＝EQ\f(3,4)．由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)对所有正整数n都成立．于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1时，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通项公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．19.解：∵（找通项及特征）（设制分组）（裂项）∴（分组、裂项求和）20.解:原式===21.解：设将其每一项拆开再重新组合得当时，＝当时，＝22.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得24.解：设………….①将①式右边反序得……②（反序）又①+②得（反序相加）∴25. ==26.27.注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为，∴其通项公式是28.为等比数列，∴应运用错位求和方法：29.而运用反序求和方法是比较好的想法，①，②，①+②得30.（1）（2）是公差为9的等差数列，（3）31.①当n为偶数时=②当n为奇数时32.（I）①，而②，①—②得的等差数列，（II）33. （1） （2）当①②当时，1）当n为奇数时2）当n为偶数时34．当而①①②，①－②得35．（I）（II）（III）36．（I）（II）37．（I）设{}的公差为d，则①，②，解①、②得（II）当时，在前n－1组中共有项数为∴第n组中的（III）38.解析：因为，，。39.（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与