2024届北京市东城区高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市东城区2024届高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以故选：A.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递减，故B正确；对于C：，则，当时，所以在上单调递增，故C错误；对于D：在定义域上单调递增，故D错误.故选：B.3.在中，，，，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，由正弦定理可得.故选：D.4.已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线的方程为.故选：A.5.直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圆，即，圆心为，半径，设的中点为，连接、、，则，且，则，所以，则，即，若在圆上的点使得为等腰三角形，若（也类似），连接，则，此时，则，所以等边三角形，若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点（上方），由，解得或，所以可以是.故选：D6.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为，若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为，故两次摸到的小球颜色不同的概率为.故选：B.7.已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设，因为，若，则，可得，可知在内单调递增，且，即与有且仅有一个交点，且交点横坐标在内；若，则，可得，当，；当，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，即与有且仅有一个交点，且交点横坐标为0；综上所述：，所以.故选：B.8.已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗因为平面向量，，，是单位向量，且，不妨设，若，例如，满足，但，即充分性不成立；若，例如，满足，但，即，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：音宫商角徵羽频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）A.宫 B.商 C.角 D.徵〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，可得，则，结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，所以小明弹奏的音是“角”.故选：C.10.设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（）A.若为等差数列，则为内和数列B.若为等比数列，则为内和数列C.若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列D.若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列〖答案〗C〖解析〗对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，则，但不存在，使得，所以不为内和数列，故AB错误；对于选项C：因为，对任意，，可知存在，使得，则，即，且内和数列为递增数列，可知，所以其伴随数列为递增数列，故C正确；对于选项D：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故D错误；故选：C.第二部分（非选择题）二、填空题11.二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)〖答案〗60〖解析〗二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故〖答案〗为：60.12.若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________.〖答案〗〖解析〗因为，可得，所以对应的点的坐标是.故〖答案〗为：.13.设函数，则________，不等式的解集是________.〖答案〗1〖解析〗由题意可知：；因为，当，即时，则，可得，不合题意；当，即时，可得，解得或，所以；当，即或时，则，可得，符合题意；综上所述：不等式的解集是.故〖答案〗为：1；.14.如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.〖答案〗6〖解析〗因为平面，且平面，则，且，即两两垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则；要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离，则，所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为.故〖答案〗为：；6.15.已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合，.给出以下四个结论：①若，则；②若为奇数，则；③若为偶数，则；④若，则.其中所有正确结论的序号是________.〖答案〗①③④〖解析〗由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.这表明对任意的，当且仅当，有.将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.所以，对每个，显然存在另一个到距离取到最小值的点，则此时就有，从而，这就直接说明了.所以①③正确，②错误；对于④，假设，.由于，故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.不妨设，并记为点，则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.对两个不同点，记直线的倾斜角为.假设存在使得，不妨设，则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.所以两两不相等，不妨设.由于，，故，，所以.故，同理.而对，有或，故.所以，这意味着，矛盾.这表明假设不成立，所以，④正确.故〖答案〗为：①③④三、解答题16.如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；（2）解：延长与交于点，连接，则平面平面，因为，,所以是的中点，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为平面与平面所成角的平面角，在中，因为，可得，在中，因为，可得，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.条件①：函数是奇函数；条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；条件③：.解：（1）设的最小正周期为，由题意可得：，即，且，所以.（2）由（1）可知：，若选条件①：函数是奇函数，且，则，可得，解得，则，又因为，则，可知：当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，且，则，可得，解得，则，又因为，则，可知：当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；若选条件③：因为，即，且，则，可知，即，不合题意，舍去.18.北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：行政区东城区西城区朝阳区丰台区石景山区海淀区门头沟区房山区城镇人口（万人）70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6乡村人口（万人）000.91.3073428.5行政区通州区顺义区昌平区大兴区怀柔区平谷区密云区延庆区城镇人口（万人）137.387.8185.9161.632.827.934.920.5乡村人口（万人）4744.740.837.511.117.717.7.13.9（1）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；（2）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；（3）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）解：（1）在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，怀柔区，平谷区，密云区，延庆区，共个；所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率.（2）6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区，10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区，则的可能取值为，，，，所以，，，，所以的分布列为：所以.（3），由数据可知城镇人口的最大值为，最小值为，极差为；乡村人口的最大值为，最小值为，极差为，常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为，最小值为，极差为，所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小，所以乡村人口的方差最小，又城镇人口的平均数为，常住人口的平均数为，所以城镇人口的方差为，常住人口的方差为，所以.19.已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为.（1）求椭圆的方程；（2）设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等.解：（1）由题意可知：，因为A到的距离与A到的距离之比为，即，解得，可得，所以椭圆的方程.（2）由（1）可知：，设，，可知直线，过点作直线的平行线为，联立方程，解得，即点的横坐标为，可知直线，过点作直线的平行线为，联立方程，解得，即点的横坐标为，可知点、的横坐标相等，所以点与点到直线的距离相等.20.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数在区间上的极值点个数.解：（1）因为则，可得，可知切点坐标为，切线斜率，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）令，则，令，因为的定义域为，且，可知为偶函数，因为，若，则，取，构建，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则，故在内存在唯一零点，当时，，即；当时，，即；可知在内单调递减，在内单调递增，对于，结合偶函数对称性可知：在内单调递减，在内单调递增，又因为在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：在内单调递减，在内单调递增，所以在区间上的有2个极值点，极值点个数为2.21.已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.（1）若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；（2）若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；（3）若,求证：存在正整数，使得对任意具有性质的,都有中任意两项均不相同.（1）解：不存在具有性质的，理由如下：设，由于，，设，，，中有个，个，则有，所以，解得，与为整数矛盾，所以不存在具有性质的.（2）证明：设，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，假设存在正整数使得，，，中各项均不为，令集合，设是集合中元素的最大值，则有，这与矛盾，所以，，，可以取遍到之间所有的整数，若，则，，，，的取值只能为，中的数，此时，，，，中必有两项相同，若，则，，，，的取值只能为，，中的数，此时，，，，中必有两项相同，若，则，，，，中一定有异于和的正整数，再由，，，可以取遍到之间所有的整数，所以，，，，中必有两项相同，当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，从而，，，，中必有两项相同.（3）解：不妨设，当，，，中恰有个，个，由于，所以取，此时具有性质，下证：中任意两项均不相同，若存在使得，令，，则有，，令，，则有且，，由于，则有，若，则有，即，当时，有，从而，矛盾；若，则有且，因此有，，，，所以此时，，矛盾；综上所述，存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.北京市东城区2024届高三下学期综合练习（二）（二模）数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以故选：A.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递减，故B正确；对于C：，则，当时，所以在上单调递增，故C错误；对于D：在定义域上单调递增，故D错误.故选：B.3.在中，，，，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，由正弦定理可得.故选：D.4.已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线的方程为.故选：A.5.直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圆，即，圆心为，半径，设的中点为，连接、、，则，且，则，所以，则，即，若在圆上的点使得为等腰三角形，若（也类似），连接，则，此时，则，所以等边三角形，若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点（上方），由，解得或，所以可以是.故选：D6.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为，若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为，故两次摸到的小球颜色不同的概率为.故选：B.7.已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨设，因为，若，则，可得，可知在内单调递增，且，即与有且仅有一个交点，且交点横坐标在内；若，则，可得，当，；当，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，即与有且仅有一个交点，且交点横坐标为0；综上所述：，所以.故选：B.8.已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗因为平面向量，，，是单位向量，且，不妨设，若，例如，满足，但，即充分性不成立；若，例如，满足，但，即，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：音宫商角徵羽频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）A.宫 B.商 C.角 D.徵〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，可得，则，结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，所以小明弹奏的音是“角”.故选：C.10.设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（）A.若为等差数列，则为内和数列B.若为等比数列，则为内和数列C.若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列D.若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列〖答案〗C〖解析〗对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，则，但不存在，使得，所以不为内和数列，故AB错误；对于选项C：因为，对任意，，可知存在，使得，则，即，且内和数列为递增数列，可知，所以其伴随数列为递增数列，故C正确；对于选项D：例如，显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，但不是递增数列，故D错误；故选：C.第二部分（非选择题）二、填空题11.二项式的展开式中常数项为__________.(用数字作答)〖答案〗60〖解析〗二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故〖答案〗为：60.12.若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________.〖答案〗〖解析〗因为，可得，所以对应的点的坐标是.故〖答案〗为：.13.设函数，则________，不等式的解集是________.〖答案〗1〖解析〗由题意可知：；因为，当，即时，则，可得，不合题意；当，即时，可得，解得或，所以；当，即或时，则，可得，符合题意；综上所述：不等式的解集是.故〖答案〗为：1；.14.如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.〖答案〗6〖解析〗因为平面，且平面，则，且，即两两垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则；要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离，则，所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为.故〖答案〗为：；6.15.已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合，.给出以下四个结论：①若，则；②若为奇数，则；③若为偶数，则；④若，则.其中所有正确结论的序号是________.〖答案〗①③④〖解析〗由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.这表明对任意的，当且仅当，有.将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.所以，对每个，显然存在另一个到距离取到最小值的点，则此时就有，从而，这就直接说明了.所以①③正确，②错误；对于④，假设，.由于，故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.不妨设，并记为点，则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.对两个不同点，记直线的倾斜角为.假设存在使得，不妨设，则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.所以两两不相等，不妨设.由于，，故，，所以.故，同理.而对，有或，故.所以，这意味着，矛盾.这表明假设不成立，所以，④正确.故〖答案〗为：①③④三、解答题16.如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；（2）解：延长与交于点，连接，则平面平面，因为，,所以是的中点，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为平面与平面所成角的平面角，在中，因为，可得，在中，因为，可得，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.条件①：函数是奇函数；条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；条件③：.解：（1）设的最小正周期为，由题意可得：，即，且，所以.（2）由（1）可知：，若选条件①：函数是奇函数，且，则，可得，解得，则，又因为，则，可知：当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，且，则，可得，解得，则，又因为，则，可知：当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；若选条件③：因为，即，且，则，可知，即，不合题意，舍去.18.北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：行政区东城区西城区朝阳区丰台区石景山区海淀区门头沟区房山区城镇人口（万人）70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6乡村人口（万人）000.91.3073428.5行政区通州区顺义区昌平区大兴区怀柔区平谷区密云区延庆区城镇人口（万人）137.387.8185.9161.632.827.934.920.5乡村人口（万人）4744.740.837.511.117.717.7.13.9（1）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；（2）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；（3）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）解：（1）在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，怀柔区，平谷区，密云区，延庆区，共个；所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率.（2）6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区，10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区，则的可能取值为，，，，所以，，，，所以的分布列为：所以.（3），由数据可知城镇人口的最大值为，最小值为，极差为；乡村人口的最大值为，最小值为，极差为，常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为，最小值为，极差为，所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小，所以乡村人口的方差最小，又城镇人口的平均数为，常住人口的平均数为，所以城镇人口的方差为，常住人口的方差为，所以.19.已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为.（1）求椭圆的方程；（2）设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过