2024届安徽省天域全国名校协作体高三下学期联考（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考（二模）数学试题选择题部分一、单项选择题1.已知A，B是全集U的非空子集，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，从而可得Venn图如下图，对A、D：由Venn图，可得，故A、D错误；对B：因为，正确，故B正确；对C：因为，则错误，故C错误；故选：B.2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的〖解析〗式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A,B选项，又因为当时，，排除C选项，选项D满足题意，故选:D.3.已知复数且有实数根b，则=（）A. B.12 C. D.20〖答案〗D〖解析〗由题意知为的实数根，则，即，则，解得，所以，所以，故D正确.故选：D.4.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，取为基底，则.因为点、分别为的中点，，，故选：A5.已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（）A B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设，双曲线的半焦距为c，则有，，，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D.6.在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（）A.26 B.63 C.57 D.25〖答案〗C〖解析〗因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即，代入化简可得：，又，所以，，，，所以故选：C7.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（）A.4036 B.4040 C.4044 D.4048〖答案〗D〖解析〗由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以，故D正确.故选：D.8.已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，设，则，令，则有，即，解得，即，因此点或，或，选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.故选：C二、多项选择题9.已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是A.相关变量x，y具有正相关关系B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小〖答案〗BC〖解析〗依题意，原样本中，，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.故选：BC10.在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A. B.C.若，则 D.是周期函数〖答案〗ACD〖解析〗由题意得在角的终边上，且，所以，，则，，对A：，故A正确；对B：，令，所以，故B错误；对C：，解得，又由，故C正确；对D：，因为为周期函数，故D正确.故选：ACD.11.如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正确的是（）A.该几何体的体积为 B.该几何体为七面体C.二面角的余弦值为 D.该几何体为三棱柱〖答案〗ACD〖解析〗如图：在正四面体中中，为的中点，连接，连接作于，则为的中心，为正四面体中的高，因，，，，，在正四面体中中，为的中点，所以，，故为二面角的一个平面角，如图：在正四棱锥中，由题意，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，，，，该几何体的体积为，故A正确，取的中点，连接，，由题意正四棱锥的棱长都为1，所以，，故即为二面角的一个平面角，其中，，在中，，故C正确，因，可知二面角与二面角所成角互补，故平面与为同一平面，同理，平面和平面也为同一平面，故该几何体有5个面，B错误，因四点共面，且和都为等边三角形，易知，且，故侧面为平行四边形，又平面,平面，所以平面，同理平面，且侧面为平行四边形，又，平面，平面，所以平面平面，又侧面为正方形，故多面体即为三棱柱，故D正确，故选：ACD.非选择题部分三、填空题12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意知11个零件的平均数为，第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况，所以其概率为，故〖答案〗为：.13.已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则______．〖答案〗〖解析〗因为偶函数，所以，，即或，又的图像关于点中心对称，所以，即，所以，因为函数单调，所以，即，所以当时，符合条件.故〖答案〗：14.若实数x，y满足，则的最大值为______〖答案〗〖解析〗设则，当且仅当等号成立故，又，所以，所以,当且仅当等号成立.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数，（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；（2）当时，求的极值点．解：（1）由可得：函数定义域为，.因为在定义域内是减函数，所以对于，恒成立，即对于，恒成立.则对，恒成立.因为，所以，当且仅当时等号成立，则，所以故a的取值范围为.（2）因为，，所以当时，，则函数在上单调递增，此时无极值点；当时，方程的判别式，方程两根为，.令，解得；令，解得或，则函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，极大值点为.综上可得：当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，极大值点为.16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x（kkm）5663717990102110117损坏零件数y（个）617390105119136149163参考数据：，，，（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计报废

20未报废

合计60

100附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由题意得，则，所以.（2）设零假设为：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，补充列联表如下：

保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥中，PB⊥平面ABC，，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE,BA垂直于BC（1）当时，求点E的轨迹长度；（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．解：（1）作交于，因为平面平面，且平面平面，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又因为平面，所以，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，设，因为，所以，，，所以，即，设中点为，则，如图：又因为，所以，因此的轨迹为圆弧，其长度为.（2）由（1）知，可设，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，为平面的一个法向量，令二面角为角，则，因为，所以，解得，（舍去）或，，则或，则点到平面的距离为1，从而可得三棱锥的体积.18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．（1）求椭圆W的方程；（2）已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值．解：（1）由题意知，解得，由长轴长是短轴长的2倍，则，所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率存在，这的方程为，，因为，故可设方程为，由，得，则，，，所以，同理，因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，平行四边形取得最大值为4.当直线的斜率不存在时，此时平行四边形为矩形，设，易得，又因为，所以，当且仅当时取等.综上所述：平行四边形的面积的最大值为4.19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；③写出群S的所有子群．解：（1）依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；绕中心作的旋转变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换；关于对称轴所在直线的反射变换，综上，.（形式不唯一）（2）①Ⅰ.，，；Ⅱ.，，，，所以；Ⅲ.，而，所以；Ⅳ.，；综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.②，，证明如下：先证明：由于是的子群，取，则，，根据群的定义，有，，所以，所以，即，即，所以.再证明：由于，，，所以，所以，所以，所以.③的所有子群如下：，，，，安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考（二模）数学试题选择题部分一、单项选择题1.已知A，B是全集U的非空子集，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，从而可得Venn图如下图，对A、D：由Venn图，可得，故A、D错误；对B：因为，正确，故B正确；对C：因为，则错误，故C错误；故选：B.2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的〖解析〗式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A,B选项，又因为当时，，排除C选项，选项D满足题意，故选:D.3.已知复数且有实数根b，则=（）A. B.12 C. D.20〖答案〗D〖解析〗由题意知为的实数根，则，即，则，解得，所以，所以，故D正确.故选：D.4.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，取为基底，则.因为点、分别为的中点，，，故选：A5.已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（）A B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设，双曲线的半焦距为c，则有，，，于是，因此，当且仅当时取等号，则，即，离心率，所以双曲线离心率的最小值为.故选：D.6.在数列中，为其前n项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则=（）A.26 B.63 C.57 D.25〖答案〗C〖解析〗因为，所以，由题意可知：有唯一零点.令，可知为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即，代入化简可得：，又，所以，，，，所以故选：C7.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（）A.4036 B.4040 C.4044 D.4048〖答案〗D〖解析〗由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以，故D正确.故选：D.8.已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，设，则，令，则有，即，解得，即，因此点或，或，选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.故选：C二、多项选择题9.已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是A.相关变量x，y具有正相关关系B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点D.剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小〖答案〗BC〖解析〗依题意，原样本中，，剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.故选：BC10.在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A. B.C.若，则 D.是周期函数〖答案〗ACD〖解析〗由题意得在角的终边上，且，所以，，则，，对A：，故A正确；对B：，令，所以，故B错误；对C：，解得，又由，故C正确；对D：，因为为周期函数，故D正确.故选：ACD.11.如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则下列关于该几何体叙述正确的是（）A.该几何体的体积为 B.该几何体为七面体C.二面角的余弦值为 D.该几何体为三棱柱〖答案〗ACD〖解析〗如图：在正四面体中中，为的中点，连接，连接作于，则为的中心，为正四面体中的高，因，，，，，在正四面体中中，为的中点，所以，，故为二面角的一个平面角，如图：在正四棱锥中，由题意，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，，，，该几何体的体积为，故A正确，取的中点，连接，，由题意正四棱锥的棱长都为1，所以，，故即为二面角的一个平面角，其中，，在中，，故C正确，因，可知二面角与二面角所成角互补，故平面与为同一平面，同理，平面和平面也为同一平面，故该几何体有5个面，B错误，因四点共面，且和都为等边三角形，易知，且，故侧面为平行四边形，又平面,平面，所以平面，同理平面，且侧面为平行四边形，又，平面，平面，所以平面平面，又侧面为正方形，故多面体即为三棱柱，故D正确，故选：ACD.非选择题部分三、填空题12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意知11个零件的平均数为，第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况，所以其概率为，故〖答案〗为：.13.已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则______．〖答案〗〖解析〗因为偶函数，所以，，即或，又的图像关于点中心对称，所以，即，所以，因为函数单调，所以，即，所以当时，符合条件.故〖答案〗：14.若实数x，y满足，则的最大值为______〖答案〗〖解析〗设则，当且仅当等号成立故，又，所以，所以,当且仅当等号成立.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数，（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；（2）当时，求的极值点．解：（1）由可得：函数定义域为，.因为在定义域内是减函数，所以对于，恒成立，即对于，恒成立.则对，恒成立.因为，所以，当且仅当时等号成立，则，所以故a的取值范围为.（2）因为，，所以当时，，则函数在上单调递增，此时无极值点；当时，方程的判别式，方程两根为，.令，解得；令，解得或，则函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为，极大值点为.综上可得：当时，无极值点；当时，函数的极小值点为，极大值点为.16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x（kkm）5663717990102110117损坏零件数y（个）617390105119136149163参考数据：，，，（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？

保养未保养合计报废

20未报废

合计60

100附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由题意得，则，所以.（2）设零假设为：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，补充列联表如下：

保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥中，PB⊥平面ABC，，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE,BA垂直于BC（1）当时，求点E的轨迹长度；（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．解：（1）作交于，因为平面平面，且平面平面，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又因为平面，所以，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，设，因为，所以，，，所以，即，设中点为，则，如图：又因为，所以，因此的轨迹为圆弧，其长度为.（2）由（1）知，可设，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，为平面的一个法向量，令二面角为角，则，因为，所以，解得，（舍去）或，，则或，则点到平面的距离为1，从而可得三棱锥的体积.18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．（1）求