2023-2024学年浙江省培优联盟高一下学期5月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C．2.已知复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，故其虚部为.故选：C．3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因为角的终边经过点，所以.故选：A．4.正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗将展开图合成一个正方体，如图所示：连接和，由正方体性质可得：，，四边形为正方形，则四边形为平行四边形，，所以，所以，同理可得：，因，所以为异面直线与所成的角或其补角，又因为，所以为等边三角形，则，同理可得：与所成角为；与所成角为；与所成角为，综上可得：与垂直；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与垂直；故有2对.故选：B．5.在中，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，由正弦定理可得，又因为，可知，且，可得或，显然是真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．6.已知函数则函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.故选：C．7.已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，，，，因为，，要使存在最大值，只需，即，所以.故选：B．8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，的中点分别为，，连接，取的中点，直三棱柱中，，，四边形是平行四边形，有，因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分别是，的外接圆圆心，因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心，连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，，则，，可得，，所以三棱柱的表面积.故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗如图，由题意易知在平面上，对于A，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故A正确；对于B，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故B正确；对于C，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故C正确；对于D，当为的中点时，，所以D错误.故选：ABC．10.已知函数，则（）A. B.在上只有1个零点C.在上单调递增 D.直线为图象的一条对称轴〖答案〗ABD〖解析〗对A：，故A正确；对B：当时，，则在上只有1个零点，故B正确；对C：当时，，故C错误；对D：当时，，故D正确．故选：ABD.11.如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（）A设，，若，则B.设，，若，则C.设，则D.设，，若与的夹角为，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，则，，故A错误；对于B，若，则，则，所以，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，即，解得，所以，故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．〖答案〗二〖解析〗根据题意，，所以在复平面内对应的点为，在第二象限．故〖答案〗为：二.13.已知函数，若，则________．〖答案〗6〖解析〗令，，所以为奇函数，所以，所以，所以，所以．故〖答案〗为：6.14.如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．〖答案〗〖解析〗因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以点轨迹如图所示，则点的轨迹长为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求当时，的〖解析〗式；（2）求在上的值域.解：（1）∵当时，，∴当时，，，∴.（2）∵当时，单调递增，∴，由奇函数性质可得，当时，，又，∴在上的值域为.16.如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；（2）求的取值范围．解：（1）由题意，，∵，，∴．（2）设则，∴，∴，显然为增函数，因，故．17.已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．解：（1）∵，由正弦定理可得：，因为，所以，∴，即或．（2）∵是锐角三角形，∴，，则，又，∴，当且仅当时，等号成立，∵，∴．18.如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的大小.（3）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）如图，连接交于点，因为，分别为，的中点，所以，因为平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角），因为，所以，即与所成角的大小为.（3）连接，过作于点，因为平面，且平面，所以，又且，所以平面，因为平面，所以，又，且，平面，所以平面，所以直线与平面所成角为（或其补角），因为正方体的边长为1，所以，，所以.19.当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．（1）若正数，满足，当时，求的值；（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．解：（1）当时，则，∴，即，∴．（2）当时，，所以整数对为.（3）证明：∵，∴，且，当时，，显然无解，当时，，可得，无正整数解，同理，当和时，也无正整数解，当，时，，∵，∴由复合函数单调性可得，又∵，∴当且仅当时，原等式成立.浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C．2.已知复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，故其虚部为.故选：C．3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因为角的终边经过点，所以.故选：A．4.正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对〖答案〗B〖解析〗将展开图合成一个正方体，如图所示：连接和，由正方体性质可得：，，四边形为正方形，则四边形为平行四边形，，所以，所以，同理可得：，因，所以为异面直线与所成的角或其补角，又因为，所以为等边三角形，则，同理可得：与所成角为；与所成角为；与所成角为，综上可得：与垂直；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与所成角为；与垂直；故有2对.故选：B．5.在中，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，由正弦定理可得，又因为，可知，且，可得或，显然是真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．6.已知函数则函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.故选：C．7.已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，，，，因为，，要使存在最大值，只需，即，所以.故选：B．8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，的中点分别为，，连接，取的中点，直三棱柱中，，，四边形是平行四边形，有，因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分别是，的外接圆圆心，因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心，连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，，则，，可得，，所以三棱柱的表面积.故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗如图，由题意易知在平面上，对于A，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故A正确；对于B，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故B正确；对于C，平面，平面，，由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故C正确；对于D，当为的中点时，，所以D错误.故选：ABC．10.已知函数，则（）A. B.在上只有1个零点C.在上单调递增 D.直线为图象的一条对称轴〖答案〗ABD〖解析〗对A：，故A正确；对B：当时，，则在上只有1个零点，故B正确；对C：当时，，故C错误；对D：当时，，故D正确．故选：ABD.11.如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（）A设，，若，则B.设，，若，则C.设，则D.设，，若与的夹角为，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，则，，故A错误；对于B，若，则，则，所以，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，即，解得，所以，故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．〖答案〗二〖解析〗根据题意，，所以在复平面内对应的点为，在第二象限．故〖答案〗为：二.13.已知函数，若，则________．〖答案〗6〖解析〗令，，所以为奇函数，所以，所以，所以，所以．故〖答案〗为：6.14.如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．〖答案〗〖解析〗因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以点轨迹如图所示，则点的轨迹长为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求当时，的〖解析〗式；（2）求在上的值域.解：（1）∵当时，，∴当时，，，∴.（2）∵当时，单调递增，∴，由奇函数性质可得，当时，，又，∴在上的值域为.16.如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；（2）求的取值范围．解：（1）由题意，，∵，，∴．（2）设则，∴，∴，显然为增函数，因，故．17.已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．解：（1）∵，由正弦定理可得：，因为，所以，∴，即或．（2）∵是锐角三角形，∴，，则，又，∴，当且仅当时，等号成立，∵，∴．18.如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的大小.（3）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）如图，连接交于点，因为，分别为，的中点，所以，因为平面，且平面，所以平面.（2）因，且，易得，则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角），因为，所以，即与所成角的大小为.（3）连接，过作于点，因为平面，且平面，所以，又且，所以