2023-2024学年江苏省连云港市七校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省连云港市七校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即．故选：A．2.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知，，，由于，则，解得：.故选：B.3.已知，，若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，又，则，，又，所以，所以.故选：D.4.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，因为，，，由余弦定理得，因为，所以，则.故选：B.5.已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.、、 B.、、 C.、、D.、、〖答案〗C〖解析〗因为，，，对于A：因为，则不存任何，使得，所以、、不共线，故A错误；对于B：因为，则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误；对于C：因为，所以，则、、三点共线，故C正确；对于D：因为，则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误.故选：C.6.已知△ABC的重心为O，则向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C.7.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列各式中，值为的是（）A B.C D.〖答案〗BC〖解析〗选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，正确；选项D，，错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A. B.在区间上只有1个零点C.的最小正周期为 D.〖答案〗ACD〖解析〗已知函数，，：，正确；B：当，，即，，在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误；C：的最小正周期为，正确；D：当时，函数，，，所以为图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．11.下列说法正确的是（）A.设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则B.设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为C.设，，且，则D.若是内的一点，满足，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，由不共线，与共线，则，即，所以，解得，故A正确；对于B，由，的夹角为锐角，得且不共线（同向），则，解得且，即实数的取值范围为，故B错误；对于C，由，，则，由，得，解得，故C正确；对于D，由，得，令的中点分别为，则，即，则是线段靠近的四等分点，如图，在中，连接，则是的中位线，所以，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.〖答案〗〖解析〗设，因为和分别是边和的中点，可得，又因为，所以，因为，所以，所以.故〖答案〗为：.13.已知为锐角，且，则_________.〖答案〗1〖解析〗因为，解得或，又因为，则，可知，所以.故〖答案〗为：1.14.在中，已知，若的最长边的长为，三角形中最小边的长为是___________．〖答案〗〖解析〗因为在中，，，，即为最大角，A与都为锐角，，即A为最小角，为最小边，，由正弦定理，得，解得，则最小边长为.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：（1）由题意，复数，所以，则，因为为纯虚数，所以，解得.（2）复数，因为复数在复平面对应的点在第一象限，所以，解得.16.已知向量＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），且＝2．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数t的值．解：（1）由＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），得，，又，∴，则，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴.（2）由，得，即，∴4t2﹣12t+36＝27，∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．17.（1）已知，求的值；（2）已知均为锐角，求的值.解：（1）由，可得，由，可得，所以.（2）因为均为锐角，可得，所以，由，可得，由，为锐角，可得，所以.18.在中，分别为角，，所对的边，已知，.（1）若的面积等于，求边；（2）若，求的面积；（3）求周长的最大值.解：（1）由余弦定理得：，由，则，即，联立方程组，解得，.（2）由题得，即，当时，，则，故，，当时，，即，则有，即，则，则.（3）由正弦定理得，又，则当时，有，故周长的最大值为.19.在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）若米，求烧烤区的面积？（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？解：（1）在中，由余弦定理可知，所以所以平方米.（2），解得，因为是钝角，所以，=，故需要修建米的隔离防护栏.（3），当且仅当时取到等号，此时，设，在中，，解得：，花卉观赏区的面积为，因为，所以，故当，即时，取得最大值为1，，当且仅当时取到等号，此时，答：修建观赏步道时应使得，.江苏省连云港市七校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即．故选：A．2.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知，，，由于，则，解得：.故选：B.3.已知，，若，，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，又，则，，又，所以，所以.故选：D.4.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，因为，，，由余弦定理得，因为，所以，则.故选：B.5.已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.、、 B.、、 C.、、D.、、〖答案〗C〖解析〗因为，，，对于A：因为，则不存任何，使得，所以、、不共线，故A错误；对于B：因为，则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误；对于C：因为，所以，则、、三点共线，故C正确；对于D：因为，则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误.故选：C.6.已知△ABC的重心为O，则向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C.7.中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列各式中，值为的是（）A B.C D.〖答案〗BC〖解析〗选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，正确；选项D，，错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A. B.在区间上只有1个零点C.的最小正周期为 D.〖答案〗ACD〖解析〗已知函数，，：，正确；B：当，，即，，在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误；C：的最小正周期为，正确；D：当时，函数，，，所以为图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．11.下列说法正确的是（）A.设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则B.设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为C.设，，且，则D.若是内的一点，满足，则〖答案〗AC〖解析〗对于A，由不共线，与共线，则，即，所以，解得，故A正确；对于B，由，的夹角为锐角，得且不共线（同向），则，解得且，即实数的取值范围为，故B错误；对于C，由，，则，由，得，解得，故C正确；对于D，由，得，令的中点分别为，则，即，则是线段靠近的四等分点，如图，在中，连接，则是的中位线，所以，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.〖答案〗〖解析〗设，因为和分别是边和的中点，可得，又因为，所以，因为，所以，所以.故〖答案〗为：.13.已知为锐角，且，则_________.〖答案〗1〖解析〗因为，解得或，又因为，则，可知，所以.故〖答案〗为：1.14.在中，已知，若的最长边的长为，三角形中最小边的长为是___________．〖答案〗〖解析〗因为在中，，，，即为最大角，A与都为锐角，，即A为最小角，为最小边，，由正弦定理，得，解得，则最小边长为.故〖答案〗为:.四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：（1）由题意，复数，所以，则，因为为纯虚数，所以，解得.（2）复数，因为复数在复平面对应的点在第一象限，所以，解得.16.已知向量＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），且＝2．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数t的值．解：（1）由＝（2cosα，2sinα），＝（6cosβ，6sinβ），得，，又，∴，则，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴.（2）由，得，即，∴4t2﹣12t+36＝27，∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．17.（1）已知，求的值；（2）已知均为锐角，求的值.解：（1）由，可得，由，可得，所以.（2）因为均为锐角，可得，所以，由，可得，由，为锐角，可得，所以.18.在中，分别为角，，所对的边，已知，.（1）若的面积等于，求边；（2）若，求的面积；（3）求周长的最大值.解：（1）由余弦定理得：，由，则，即，联立方程组，解得，.（2）由题得，即，当时，，则，故，，当时，，即，则有，即，则，则.（3）由正弦定理得，又，则当时，有，故周长的最大值为.19.在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）若