2023-2024学年内蒙古名校联盟高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2内蒙古名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，而，所以.故选：A.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依题意，，在复平面内复数对应的点位于第四象限.故选：D.3.已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线，所以与可构成平面的一个基底．故选：C.4.如图，在矩形中，是的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可知：.故选：A.5.在中，角所对的边分别是，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，则，所以，又，所以（舍去）或，所以．故选：B.6.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，故在上的投影向量为．故选：D.7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗设该塔的高度为米，则，在中，，即，由，解得，即塔高为30米.故选：A.8.已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设正六边形的中心为，．根据正六边形的对称性，以点在边上为例，当点在与顶点重合时，最大为2，当时，最小为，则，所以.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则三点共线B.若，则线段的中点坐标为C.对于向量，有D.对于向量，有〖答案〗ABD〖解析〗选项A，若，则，所以，所以与共线且有公共点，所以三点共线，A正确；选项B，若，则线段的中点坐标为，B正确；选项C，，，当向量的夹角大于时，，，C错误；选项D，，所以，D正确．故选：ABD.10.已知函数的部分图像如图所示，，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（）A.B.直线是图像的一条对称轴C.的单调递减区间为D.的单调递增区间为〖答案〗BC〖解析〗对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以，即，易得，所以，因为，所以，，，由五点作图法可得：，即，所以，所以，故A不正确；对于B，由于，为最大值，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得；，所以单调递减区间为，故C正确；对于D，令，解得；，所以的单调递增区间为，故D不正确.故选：BC.11.对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（）A.1 B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，设向量和的夹角为，则．因为，所以，所以，所以，故，当时，，又，所以，符合题意；当时，，又，所以，符合题意，所以或．故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．12.已知平面向量，若，则___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得．故〖答案〗为：.13.已知，函数是奇函数，则___________，___________．〖答案〗〖解析〗由，解得，所以，又因为函数为奇函数，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故〖答案〗为：-11．14.在中，，O是的外心，，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圆半径，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足．（1）求；（2）若复数的虚部为1，且是实数，求．解：（1）．（2）复数的虚部为1，设，则，因为是实数，所以，解得，所以．16.如图，在平面四边形中，的面积为．（1）求；（2）若，求．解：（1）因为，又，所以．在中，由余弦定理得：，所以（2）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以，所以，，，故．17.已知函数．（1）求的定义域；（2）求的单调区间；（3）求不等式的解集．解：（1）函数中，由，解得，所以的定义域为.（2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减，所以的递减区间是，递增区间是.（3）由，得函数为偶函数，由（2）知，在上单调递增，则，因此，即，解得，所以原不等式的解集是．18.某时刻，船只甲在处以每小时30海里的速度向正东方向行驶，与此同时，在处南偏东方向距离甲150海里的处，有一艘补给船同时出发，准备与甲会合．（1）若要使得两船同时到达会合点时补给船行驶路程最短，补给船应沿何种路线，以多大的速度行驶？（2）要使补给船能追上甲，该补给船的速度最小为多少？当该补给船以最小速度行驶时，要多长时间追上甲？（参考数据：取，）解：（1）假设甲行驶的路线为，过作的垂线，点到的最短距离为，要使补给船行驶的路程最短，补给船需沿正北方向，即方向行驶，，甲行驶到处所需时间为小时，补给船行驶的速度为海里/小时，故要使得两船同时到达会合点时，补给船行驶的路程最短，补给船应沿正北方向，以海里小时的速度行驶．（2）设补给船以海里/小时速度从处出发，沿方向行驶，小时后与甲在处会合，在中，，由余弦定理得，所以，即，当，即时，取得最小值，即，所以补给船至少以海里/小时的速度行驶才能追上甲．当补给船以最小速度行驶时，要小时追上甲．19.在平面直角坐标系中，已知点．（1）①证明：．②证明存在点，使得，并求出的坐标．（2）若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标．解：（1）①因为，所以，，，，得，，所以．②由知，点为四边形外接圆的圆心．因为，，所以，，所以，，四边形外接圆的圆心为的中点，所以点的坐标为，得证．（2）易得，，．因为将四边形分成周长相等的两部分，则点在上，且．设点的坐标为，则，所以，则，故点的坐标为．内蒙古名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，而，所以.故选：A.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依题意，，在复平面内复数对应的点位于第四象限.故选：D.3.已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线，所以与可构成平面的一个基底．故选：C.4.如图，在矩形中，是的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可知：.故选：A.5.在中，角所对的边分别是，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，则，所以，又，所以（舍去）或，所以．故选：B.6.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，所以，故在上的投影向量为．故选：D.7.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗设该塔的高度为米，则，在中，，即，由，解得，即塔高为30米.故选：A.8.已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设正六边形的中心为，．根据正六边形的对称性，以点在边上为例，当点在与顶点重合时，最大为2，当时，最小为，则，所以.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则三点共线B.若，则线段的中点坐标为C.对于向量，有D.对于向量，有〖答案〗ABD〖解析〗选项A，若，则，所以，所以与共线且有公共点，所以三点共线，A正确；选项B，若，则线段的中点坐标为，B正确；选项C，，，当向量的夹角大于时，，，C错误；选项D，，所以，D正确．故选：ABD.10.已知函数的部分图像如图所示，，为的图像与轴的交点，为图像上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（）A.B.直线是图像的一条对称轴C.的单调递减区间为D.的单调递增区间为〖答案〗BC〖解析〗对于A，由图可得：的最小正周期为2，所以，即，易得，所以，因为，所以，，，由五点作图法可得：，即，所以，所以，故A不正确；对于B，由于，为最大值，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得；，所以单调递减区间为，故C正确；对于D，令，解得；，所以的单调递增区间为，故D不正确.故选：BC.11.对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（）A.1 B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，设向量和的夹角为，则．因为，所以，所以，所以，故，当时，，又，所以，符合题意；当时，，又，所以，符合题意，所以或．故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．12.已知平面向量，若，则___________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得．故〖答案〗为：.13.已知，函数是奇函数，则___________，___________．〖答案〗〖解析〗由，解得，所以，又因为函数为奇函数，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故〖答案〗为：-11．14.在中，，O是的外心，，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗在中，外接圆半径，由正弦定理得，所以，由余弦定理，解得，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足．（1）求；（2）若复数的虚部为1，且是实数，求．解：（1）．（2）复数的虚部为1，设，则，因为是实数，所以，解得，所以．16.如图，在平面四边形中，的面积为．（1）求；（2）若，求．解：（1）因为，又，所以．在中，由余弦定理得：，所以（2）在中，由正弦定理得，即，解得，又，所以，所以，，，故．17.已知函数．（1）求的定义域；（2）求的单调区间；（3）求不等式的解集．解：（1）函数中，由，解得，所以的定义域为.（2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减，所以的递减区间是，递增区间是.（3）由，得函数为偶函数，由（2）知，在上单调递增，则，因此，即，解得，所以原不等式的解集是．18.某时刻，船只甲在处以每小时30海里的速度向正东方向行驶，与此同时，在处南偏东方向距离甲150海里的处，有一艘补给船同时出发，准备与甲会合．（1）若要使得两船同时到达会合点时补给船行驶路程最短，补给船应沿何种路线，以多大的速度行驶？（2）要使补给船能追上甲，该补给船的速度最小为多少？当该补给船以最小速度行驶时，要多长时间追上甲？（参考数据：取，）解：（1）假设甲行驶的路线为，过作的垂线，点到的最短距离为，要使补给船行驶的路程最短，补给船需沿正北方向，即方向行驶，，甲行驶到处所需时间为小时，补给船行驶的速度为海里/小时，故要使得两船同时到达会合点时，补给船行驶的路程最短，补给船应沿正北方向，以海里小时的速度行驶．（2）设补给船以海里/小时速度从处出发，沿方向行驶，小时后与甲在处会合，在中，