2023-2024学年辽宁省本溪市县级重点高中协作体高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，则由可得，，则，故.故选：A2.已知向量满足，则（）A. B. C.3 D.9〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，则.故选：C.4.要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.问右平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗，故将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故D正确；经检验，ABC错误.故选：D.5.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设与的夹角为（），由，得且，即，解得，所以，故在上的投影向量为.故选：D.6.如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（）A.0 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗如图，连接，延长交于点，延长交于点.则由题意和图形的对称性，可知，且，由题意可知，.故选：C.7.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，所以，即.又因为函数在上单调递增，所以，所以.故选：D.8.已知函数在上单调递增，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在上单调递增，又的最小正周期，则在处取得最小值，在处取得最大值，所以，即，又，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校举办篮球赛，来自甲队的6名队员与来自乙队的4名队员的得分如下图，则下列命题是真命题的是（）A.甲队的6名队员得分的中位数是13.5B.乙队的4名队员得分的平均数是15.25C.这10名队员得分的60%分位数是15D.若采用分层随机抽样的方法从甲队和乙队的这10名队员中抽取5名队员参加某项活动，再从这5名队员中抽取2人作为代表，则这2名代表都来自甲队的概率是〖答案〗ABD〖解析〗对于A项，由茎叶图可得甲队的6名队员得分的中位数是，故A正确；对于B项，乙队的4名队员得分的平均数是，故B正确；对于C项，将这10名队员的得分从低到高排列为，因为，所以这10名队员得分的分位数是故错误；对于D项，若采用分层随机抽样的方法抽取5名队员参加某项活动，则抽取甲队的队员人数为3，设为，抽取乙队的队员人数为2，设为，若从这5名队员中抽取2人作代表，则所有情况有，共10种，其中这2名代表都来自甲队的情况有3种，故所求概率为，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的值域为C.上单调递增 D.在上有6个零点〖答案〗ACD〖解析〗对于A项，的定义域为，显然关于原点对称，由可知，为奇函数，故A项正确；对于B项，当时，，故B项错误；对于C项，令函数易得在上单调递增，且当时，的值域为，因为函数在上单调递增，由复合函数“同增异减”原则，可得在上单调递增，故C项正确；对于D项，由C项可知，当时，的值域为而，则函数在上有6个零点，所以在上有6个零点，故D项正确.故选：ACD.11.如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（）A.的最小值为 B.的最小值为9C.的最大值为12 D.的最大值为18〖答案〗AC〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则.设，其中，且，得.因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立.，当且仅当点或点与点重合时，等号成立，则.所以的最大值为12，最小值为.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.若，则__________.〖答案〗3〖解析〗由，得，显然，否则，矛盾，所以.故〖答案〗为：3.13.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为__________.〖答案〗〖解析〗设，依题意可得，，解得，故该扇环的面积为.故〖答案〗为：.14.已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得.令，得，则或，解得或.由，得或，所以.不妨取，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．（1）求的〖解析〗式与最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，最小正周期．（2）因为，，所以，所以，．16.已知向量满足.（1）证明.（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1）证明：因为，所以，故.（2）由题意得，，，故，即向量与夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）将化成的形式；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以.（2）由（1）知，因为，所以，得到，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，所以，故的取值范围为.18.在平行四边形中，.（1）若与交于点，求的值；（2）求的取值范围.解：（1）设，则，设，根据平面向量基本定理得解得，所以，则，所以.（2）因为，，，所以.因为，所以当时，取得最小值，且最小值为，当时，取得最大值，且最大值为，故的取值范围为.19.已知函数.（1）用单调性的定义判断在上的单调性，并求在上的值域；（2）若函数的最小作为，且对恒成立，求的取值范围.解：（1）设是上的任意两个实数，且.（方法一），因为为增函数，所以，所以，即，所以在上单调递增.（方法二），因为，所以，所以，又，所以，所以在上单调递增.故在上的值域为，即.（2）因为的定义域为，所以的定义域也为.因为的最小值为，所以的最小值也为.因为为关于增函数，所以为增函数，又，所以.由，得，依题意可得，解得，则的取值范围是.辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，则由可得，，则，故.故选：A2.已知向量满足，则（）A. B. C.3 D.9〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，则.故选：C.4.要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.问右平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗，故将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故D正确；经检验，ABC错误.故选：D.5.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设与的夹角为（），由，得且，即，解得，所以，故在上的投影向量为.故选：D.6.如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（）A.0 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗如图，连接，延长交于点，延长交于点.则由题意和图形的对称性，可知，且，由题意可知，.故选：C.7.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，所以，即.又因为函数在上单调递增，所以，所以.故选：D.8.已知函数在上单调递增，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在上单调递增，又的最小正周期，则在处取得最小值，在处取得最大值，所以，即，又，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校举办篮球赛，来自甲队的6名队员与来自乙队的4名队员的得分如下图，则下列命题是真命题的是（）A.甲队的6名队员得分的中位数是13.5B.乙队的4名队员得分的平均数是15.25C.这10名队员得分的60%分位数是15D.若采用分层随机抽样的方法从甲队和乙队的这10名队员中抽取5名队员参加某项活动，再从这5名队员中抽取2人作为代表，则这2名代表都来自甲队的概率是〖答案〗ABD〖解析〗对于A项，由茎叶图可得甲队的6名队员得分的中位数是，故A正确；对于B项，乙队的4名队员得分的平均数是，故B正确；对于C项，将这10名队员的得分从低到高排列为，因为，所以这10名队员得分的分位数是故错误；对于D项，若采用分层随机抽样的方法抽取5名队员参加某项活动，则抽取甲队的队员人数为3，设为，抽取乙队的队员人数为2，设为，若从这5名队员中抽取2人作代表，则所有情况有，共10种，其中这2名代表都来自甲队的情况有3种，故所求概率为，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.的值域为C.上单调递增 D.在上有6个零点〖答案〗ACD〖解析〗对于A项，的定义域为，显然关于原点对称，由可知，为奇函数，故A项正确；对于B项，当时，，故B项错误；对于C项，令函数易得在上单调递增，且当时，的值域为，因为函数在上单调递增，由复合函数“同增异减”原则，可得在上单调递增，故C项正确；对于D项，由C项可知，当时，的值域为而，则函数在上有6个零点，所以在上有6个零点，故D项正确.故选：ACD.11.如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（）A.的最小值为 B.的最小值为9C.的最大值为12 D.的最大值为18〖答案〗AC〖解析〗以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则.设，其中，且，得.因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立.，当且仅当点或点与点重合时，等号成立，则.所以的最大值为12，最小值为.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.12.若，则__________.〖答案〗3〖解析〗由，得，显然，否则，矛盾，所以.故〖答案〗为：3.13.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为__________.〖答案〗〖解析〗设，依题意可得，，解得，故该扇环的面积为.故〖答案〗为：.14.已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得.令，得，则或，解得或.由，得或，所以.不妨取，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．（1）求的〖解析〗式与最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，最小正周期．（2）因为，，所以，所以，．16.已知向量满足.（1）证明.（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1）证明：因为，所以，故.（2）由题意得，，，故，即向量与夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）将化成的形式；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以.（2）由（1）知，因为，所以，得到，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，所以，故的取值范围为.18.在平行四边形中，.（1）若与交于点，求的值；（2）求的取值范围.解：（1）设，则，设，根据平面向量基本定理得解得，所以，则，所以.（2）因为，，