2023-2024学年贵州省遵义市高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至第四册占20%，选择性必修第一册占30%，第二册占50%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以．故选：D2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因为，所以其在复平面内对应的点坐标为，则对应的点位于第二象限．故选：B.3.已知函数的最小正周期为，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故．故选：A.4.已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因为点到C的准线的距离为4，所以，解得．故选：C5.若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集为或，故或，故或，解得或．故选：D.6.二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因为二项式的展开式中仅有第5项系数最大，所以，因为的通项，所以，当时，，或，此时，，所以的展开式中x的系数为．故选：A.7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（）A.60种 B.74种 C.88种 D.120种〖答案〗B〖解析〗当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排；当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排．故不同的安排方法共有种．故选：B.8.已知函数，若，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，由，所以定义域为，，所以在定义域上为奇函数，又在上单调递增，故在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递增，所以等价于．由，解得，即．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列选项中正确的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A选项，因为，所以A错误；B选项，因为，所以，故B正确；C选项，因为，所以C正确；D选项，因为，所以，故D正确．故选：BCD10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（）A.的外接圆半径为 B.C. D.为锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A，因为，所以．因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，即．因为，所以，故C正确；对于D，由选项C，，因为，即，所以角是钝角，所以为钝角三角形，故D不正确．故选：BC.11.“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）A.B与C相互独立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，所以B与C不相互独立，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，是右焦点，则的周长为________.〖答案〗20.〖解析〗因为椭圆方程，所以，根据椭圆的定义：，，的周长为.故〖答案〗为：2013.杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为____________．〖答案〗114〖解析〗当A完成第一棒时，有种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有种不同的传递方案．故共有种不同的传递方案．故〖答案〗为：114.14.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为____________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由题意可知：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，则向左的次数，可知，，又因，所以，.故〖答案〗为：3；1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.（1）证明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如图，设为在底面的射影，连接，则平面.因为平面ABC，所以又为BC的中点，，所以因为平面平面，∴平面.又为的中点，且，所以四边形平行四边形，所以，∴平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.在三棱柱中，，所以，则.由（1）知平面，则是平面的一个法向量，因为，且，所以.设平面的法向量为，则即设，得，所以，则，所以二面角的正弦值为.16.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．回答正确回答错误问题中存在语法错误100300问题中没有语法错误500100结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．（1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；（2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由测试结果知，所以．记“测试的2个问题都回答正确”为事件，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件．则，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列为X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．年份20192020202120222023年份编号12345保有量(万辆)1820232529（1）请用相关系数说明与的线性相关程度；（2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量．附：相关系数．在回归直线方程中，．取．解：（1）因为，，所以，，，所以．因为的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，所以与的线性相关程度较强．（2）因为，，，，所以，，所以回归直线方程．当时，，所以预测2025年该地新能源汽车保有量为万辆．18.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据．对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生150女生50合计已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为．（1）将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关；（2）该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．附表及公式：．0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）设抽取的300名学生中男生的人数为x，则女生的人数为．因为抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为，所以，解得或（舍去），所以抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人，所以列联表为对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生15050200女生5050100合计200100300因为，所以有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关．（2）用分层随机抽样方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，所以随机变量X可能的取值为1，2，3，则，X的分布列为X123P故．19.已知双曲线的离心率为，虚轴长为．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．解：（1）因为虚轴长为，所以，因为，且，所以，故双曲线C的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时，当直线l斜率存在时，不设直线，且，联立方程组得，由，得，不妨设l与的交点为P，则，得，同理可得，所以，因为原点O到直线l的距离，所以，因为，所以，综上，的面积为定值，定值为．贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至第四册占20%，选择性必修第一册占30%，第二册占50%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以．故选：D2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因为，所以其在复平面内对应的点坐标为，则对应的点位于第二象限．故选：B.3.已知函数的最小正周期为，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故．故选：A.4.已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗因为点到C的准线的距离为4，所以，解得．故选：C5.若是不等式成立的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A. B.C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗不等式的解集为或，故或，故或，解得或．故选：D.6.二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（）A. B. C.28 D.56〖答案〗A〖解析〗因为二项式的展开式中仅有第5项系数最大，所以，因为的通项，所以，当时，，或，此时，，所以的展开式中x的系数为．故选：A.7.第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（）A.60种 B.74种 C.88种 D.120种〖答案〗B〖解析〗当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排；当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排．故不同的安排方法共有种．故选：B.8.已知函数，若，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，由，所以定义域为，，所以在定义域上为奇函数，又在上单调递增，故在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递增，所以等价于．由，解得，即．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列选项中正确的有（）A.B.C.D.〖答案〗BCD〖解析〗A选项，因为，所以A错误；B选项，因为，所以，故B正确；C选项，因为，所以C正确；D选项，因为，所以，故D正确．故选：BCD10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（）A.的外接圆半径为 B.C. D.为锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A，因为，所以．因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，即．因为，所以，故C正确；对于D，由选项C，，因为，即，所以角是钝角，所以为钝角三角形，故D不正确．故选：BC.11.“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）A.B与C相互独立 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，所以B与C不相互独立，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，是右焦点，则的周长为________.〖答案〗20.〖解析〗因为椭圆方程，所以，根据椭圆的定义：，，的周长为.故〖答案〗为：2013.杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为____________．〖答案〗114〖解析〗当A完成第一棒时，有种不同的传递方案；当B完成第一棒时，有种不同的传递方案．故共有种不同的传递方案．故〖答案〗为：114.14.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为____________，____________．〖答案〗①3②1〖解析〗由题意可知：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，则向左的次数，可知，，又因，所以，.故〖答案〗为：3；1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.（1）证明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如图，设为在底面的射影，连接，则平面.因为平面ABC，所以又为BC的中点，，所以因为平面平面，∴平面.又为的中点，且，所以四边形平行四边形，所以，∴平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.在三棱柱中，，所以，则.由（1）知平面，则是平面的一个法向量，因为，且，所以.设平面的法向量为，则即设，得，所以，则，所以二面角的正弦值为.16.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．回答正确回答错误问题中存在语法错误100300问题中没有语法错误500100结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．（1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；（2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由测试结果知，所以．记“测试的2个问题都回答正确”为事件，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件．则，，所以．（2）易知，，，所以X的分布列为X0123P故．17.某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．年份20192020202120222023年份编号12345保有量(万辆)1820232529（1）请用相关系数说明与的线性相关程度；（2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量．附：相关系数．在回归直线方程中，．取．解：（1）因为，，所以，，，所以．因为的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，所以与的线性相关程度较强．（2）因为，，，，所以，，所以回归直线方程．当时，，所以预测2025年该地新能源汽车保有量为万辆．18.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员