2022-2023学年辽宁省铁岭市六校高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册．集合、逻辑、函数、不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故选：B2.已知数列，则该数列的第2024项为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗该数列的通项公式为，所以.故选：D.3.函数的导数（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由知故选：B4.若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（）A.15 B.－15 C.45 D.－45〖答案〗D〖解析〗设该等比数列为，则，所以．故选：D.5.已知函数，，则下图对应的函数〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；对于B，因为，因此是函数的零点，不符合题意，B不是；对于C，，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；对于D，，因此，定义域为，且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一、三象限，符合题意，D是.故选：D6.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则；当时，.所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，故“”能得出“是等差数列”；若“是等差数列”，不妨设，则，即“是等差数列”不能得出“”.所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.7.若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”公切线.设切点为，则即所以.故选：D.8.已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，于是，，当，时，当且仅当时取等号，当时，，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，则当或时，，而任意的，恒成立，则，所以实数的取值范围是.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗设等比数列、的公比分别为、，其中，，对任意的，，，对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但对任意的，，故数列不是等比数列，A不满足条件；对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.故选：BD.10.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗显然，则，，，所以，A正确，B错误，C正确，D错误.故选：AC11.已知函数，则（）A.当时，为增函数 B.C.当时，的极值点为0 D.〖答案〗ACD〖解析〗当时，由，得，所以为增函数，所以A正确．当时，由，得，当时，，当时，，所以的极小值点为0，所以C正确．当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，所以B错误，D正确．故选：ACD12.已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（）A.为偶函数B.的图象关于点对称C.D.8是函数的一个周期〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为偶函数，A正确；由当时，，得，而，，，即有，，C错误.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，，则________．〖答案〗〖解析〗解不等式，得，即，而，所以故〖答案〗为：14.若数列是首项为，公比为的等比数列，则__________．〖答案〗〖解析〗依题意可得，则，即．故〖答案〗为：15.已知函数若，则________．〖答案〗3〖解析〗根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故〖答案〗为：3.16.已知，，且，则的最小值为________．〖答案〗9〖解析〗由，，得，当且仅当时取等号，因此，解得，即，由，而，解得，所以当时，取得最小值9.故〖答案〗为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）求以及的最小值．解：（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.18.已知函数.（1）若是的极值点，求；（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以.因为是的极值点，所以，解得.当时，.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极小值点.综上，.（2）因为，所以.令，得，令，得或，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为在区间上恒成立，所以解得.又因为，所以，故的取值范围是.19.已知函数，满足．（1）求的值；（2）若，求的〖解析〗式与最小值．解：（1）因为函数，满足，所以当时，.（2）由，得，于是，即，因此，当时，，所以的〖解析〗式是，最小值为.20.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求；（2）解不等式．解：（1）因为是定义在上的奇函数，则，，则.（2）当时，，因为为单调增函数，根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，所以函数为单调减函数，又因为是定义在上的奇函数，所以是在为单调减函数，因为，所以，解得，所以不等式的解集为.21.已知公差为的等差数列的前项和为,且.（1）求的通项公式;（2）若数列的前项和为,证明:为定值.解：（1）由题意得,解得,故.（2）因为,设,所以,所以,即为定值.22.已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）证明：．解：（1）因为，所以，所以切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，故切线的方程为：，即.（2）要证：，只需证：，由于，证明如下：令，，令得：，当时，，故单调递减；当时，，故单调递增；所以，故，即，所以令，则，令，则由于，所以在恒成立，故在单调递增，所以恒成立，即在恒成立.所以在单调递增，所以恒成立，即，故所以，即.辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册．集合、逻辑、函数、不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故选：B2.已知数列，则该数列的第2024项为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗该数列的通项公式为，所以.故选：D.3.函数的导数（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由知故选：B4.若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（）A.15 B.－15 C.45 D.－45〖答案〗D〖解析〗设该等比数列为，则，所以．故选：D.5.已知函数，，则下图对应的函数〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；对于B，因为，因此是函数的零点，不符合题意，B不是；对于C，，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；对于D，，因此，定义域为，且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一、三象限，符合题意，D是.故选：D6.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则；当时，.所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，故“”能得出“是等差数列”；若“是等差数列”，不妨设，则，即“是等差数列”不能得出“”.所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.7.若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，且“隔离直线”公切线.设切点为，则即所以.故选：D.8.已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，于是，，当，时，当且仅当时取等号，当时，，因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，则当或时，，而任意的，恒成立，则，所以实数的取值范围是.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗设等比数列、的公比分别为、，其中，，对任意的，，，对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但对任意的，，故数列不是等比数列，A不满足条件；对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.故选：BD.10.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗显然，则，，，所以，A正确，B错误，C正确，D错误.故选：AC11.已知函数，则（）A.当时，为增函数 B.C.当时，的极值点为0 D.〖答案〗ACD〖解析〗当时，由，得，所以为增函数，所以A正确．当时，由，得，当时，，当时，，所以的极小值点为0，所以C正确．当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，所以B错误，D正确．故选：ACD12.已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（）A.为偶函数B.的图象关于点对称C.D.8是函数的一个周期〖答案〗ABD〖解析〗依题意，，，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为偶函数，A正确；由当时，，得，而，，，即有，，C错误.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，，则________．〖答案〗〖解析〗解不等式，得，即，而，所以故〖答案〗为：14.若数列是首项为，公比为的等比数列，则__________．〖答案〗〖解析〗依题意可得，则，即．故〖答案〗为：15.已知函数若，则________．〖答案〗3〖解析〗根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故〖答案〗为：3.16.已知，，且，则的最小值为________．〖答案〗9〖解析〗由，，得，当且仅当时取等号，因此，解得，即，由，而，解得，所以当时，取得最小值9.故〖答案〗为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）求以及的最小值．解：（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.18.已知函数.（1）若是的极值点，求；（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以.因为是的极值点，所以，解得.当时，.令，得；令，得.所以在上单调递增