2022-2023学年江西省赣州市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省赣州市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A.－2 B.－18 C.2 D.18〖答案〗A〖解析〗因为，所以故选：A.3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16 B.12 C. D.〖答案〗A〖解析〗在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.4.如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为平行四边形中，是的中点，，，所以.故选：D．5.已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线、，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗选项AD：若，，则和可能平行也可能相交（此时交线与平面垂直），故AD错误；选项B：若，，则，又且、是空间中两不相同的平面，则，故B正确；选项C：若，，，则与可能相交也可能平行，故C错误.故选：B.6.已知的内角的对边分别为，下列结论错误的是（）A.若，则B.若，则符合条件的三角形有2个C.若，则D.若△ABC的面积，则〖答案〗C〖解析〗对于A，由及正弦定理，得，所以，故A正确；对于B，由题意及正弦定理得，所以，因为，所以，所以或，即符合条件的三角形有2个，故B正确；对于C，由，得或，所以或，所以或，故C错误；对于D，由，得，所以，由于，所以，故D正确.故选：C.7.在正方体中，为棱的中点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗画出正方体，如图所示：对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确；对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确；对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确；对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．故选：C．8.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是奇函数，且其最小正周期为，所以，则，得，又，所以，故，所以，.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）9.下列各式化简中，一定正确的是（）A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗A：，故A正确；B：取，则，显然，故B错误；C：，故C正确；D：取，则，显然，故D错误.故选：AC.10.已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（）A.的虚部为 B.点B在第二象限C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以对应的坐标为，，向量与轴夹角为由题意可知，且，选项B正确；，的虚部为，选项A错误；，所以，选项C错误；，选项D正确.故选：BD.11.若平面，，，则以下结论有可能成立的是（）A.与异面 B.与平行C.与垂直 D.都与相交〖答案〗ABCD〖解析〗作出正方体如图，对于ACD，记面为，面为，为，为，则满足，，，此时因为面，面，面，，所以与是异面直线，即与异面，而，则都与相交，易知面，面，所以，故ACD正确；对于B，记面为，面为，为，为，则满足，，，此时，故B正确.故选：ABCD.12.已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（）A.B.对任意，均有C.函数在区间上单调D.〖答案〗ABD〖解析〗因为在区间上单调递减，且，所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；则，由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故D正确；则，所以，又的最大值为，则对任意，均有，故B正确；当时，，则函数在区间上不单调，故C错误.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角终边经过点，则______．〖答案〗-3〖解析〗已知角终边经过点，根据三角函数的定义可知：，所以.故〖答案〗为：-3.14.如图，在单位同格中，向量在向量上的投影向量与向量的夹角为______．〖答案〗〖解析〗由图可知：向量在向量上的投影向量为，结合向量坐标表示即为，由图可知：，设投影向量与向量的夹角为45°.故〖答案〗：45°.15.如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为______．〖答案〗〖解析〗因为是等腰直角三角形，点P为线段AB的中点，，，所以，，则，因为，所以，则，所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：则三棱锥的外接球就是边长为的正方体的外接球，所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即，所以外接球表面积为.故〖答案〗为：.16.设函数满足：对任意，有，且时，，，则在上有______个零点．〖答案〗9〖解析〗由题意，当时，，此时函数单调递减，且，且，，所以当时，，此时函数单调递增，且，当时，，，此时函数单调递增，且，当时，，，此时函数单调递减，且，又，，所以在上有9个零点.故〖答案〗为：9.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知向量，．（1）若，求实数的值；（2）已知向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，则，故，因为，，所以，解得.（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，且与不平行，又，，所以，解得且，故.18.已如函数．（1）用“五点法”作出函数在区间上的图象；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的取值范围．解：（1）依题意，列表如下：所以数在区间上的图象如下：.（2）因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，再将得到的图象上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图象，因为，所以，则，故的取值范围是.19.从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题．如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角余弦值．解：（1）证明：连接，设，如下图所示：因为，，且，所以，，则，，所以，，所以，，故，所以，，即，若选①，因为，，、平面，因此，平面；若选②，因为，且，由余弦定理可得，整理可得，解得，所以，，所以，，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因平面，所以，，因为，、平面，因此，平面.（2）将直三棱柱补成直四棱柱，使得四边形为平行四边形，则，故异面直线与所成角为或其补角，若选①，由（1）可知，，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则，且，，则直四棱柱为长方体，所以，平面，因为平面，所以，，因为平面，平面，所以，，所以，，故，因此，异面直线与所成角的余弦值为；若选②，由（1）可知，平面，因为，则，以下同①.20.已知的内角的对边分别为，满足．（1）若，求；（2）若，且，求的面积．解：（1）因为，所以，即，所以，即，所以，则，因为，则，所以，因为，所以，即，由，得，所以.（2）因为，所以由正弦定理得，因为，则，所以，则，又因为，所以，由（1）知，则，因为，所以，故.21.如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．解：（1）证明：分别延长、交于点，如下图所示：因为且，所以，，则，故为的中点，因为，，为四边形外接圆的直径，所以，，且，故，所以，，所以，，故为的中点，所以，，即，因为平面，平面，因此，平面.（2）因为、、、四点共圆，则，由（1）可知，，又因为，则，同理可得，且，，，因为平面，则，因为，且四边形为直角梯形，所以，，因为平面，，则平面，所以，，因此，.22.在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数．令．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）若对任意，，有，求的取值范围．解：（1）为偶函数，证明如下：因为，所以其定义域为，又，所以为偶函数.（2）令，则可化为，令，则，因为，，，所以，即，所以在上单调递增，又当时，在上单调递增，且，所以在上单调递增，由（1）知，为偶函数，所以对任意，恒成立，可化为恒成立，因为，所以，所以，即，即，又，所以，则，故.江西省赣州市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A.－2 B.－18 C.2 D.18〖答案〗A〖解析〗因为，所以故选：A.3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16 B.12 C. D.〖答案〗A〖解析〗在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.4.如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为平行四边形中，是的中点，，，所以.故选：D．5.已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线、，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗选项AD：若，，则和可能平行也可能相交（此时交线与平面垂直），故AD错误；选项B：若，，则，又且、是空间中两不相同的平面，则，故B正确；选项C：若，，，则与可能相交也可能平行，故C错误.故选：B.6.已知的内角的对边分别为，下列结论错误的是（）A.若，则B.若，则符合条件的三角形有2个C.若，则D.若△ABC的面积，则〖答案〗C〖解析〗对于A，由及正弦定理，得，所以，故A正确；对于B，由题意及正弦定理得，所以，因为，所以，所以或，即符合条件的三角形有2个，故B正确；对于C，由，得或，所以或，所以或，故C错误；对于D，由，得，所以，由于，所以，故D正确.故选：C.7.在正方体中，为棱的中点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗画出正方体，如图所示：对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确；对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确；对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确；对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．故选：C．8.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是奇函数，且其最小正周期为，所以，则，得，又，所以，故，所以，.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）9.下列各式化简中，一定正确的是（）A. B.C D.〖答案〗AC〖解析〗A：，故A正确；B：取，则，显然，故B错误；C：，故C正确；D：取，则，显然，故D错误.故选：AC.10.已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（）A.的虚部为 B.点B在第二象限C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以对应的坐标为，，向量与轴夹角为由题意可知，且，选项B正确；，的虚部为，选项A错误；，所以，选项C错误；，选项D正确.故选：BD.11.若平面，，，则以下结论有可能成立的是（）A.与异面 B.与平行C.与垂直 D.都与相交〖答案〗ABCD〖解析〗作出正方体如图，对于ACD，记面为，面为，为，为，则满足，，，此时因为面，面，面，，所以与是异面直线，即与异面，而，则都与相交，易知面，面，所以，故ACD正确；对于B，记面为，面为，为，为，则满足，，，此时，故B正确.故选：ABCD.12.已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（）A.B.对任意，均有C.函数在区间上单调D.〖答案〗ABD〖解析〗因为在区间上单调递减，且，所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；则，由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故D正确；则，所以，又的最大值为，则对任意，均有，故B正确；当时，，则函数在区间上不单调，故C错误.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角终边经过点，则______．〖答案〗-3〖解析〗已知角终边经过点，根据三角函数的定义可知：，所以.故〖答案〗为：-3.14.如图，在单位同格中，向量在向量上的投影向量与向量的夹角为______．〖答案〗〖解析〗由图可知：向量在向量上的投影向量为，结合向量坐标表示即为，由图可知：，设投影向量与向量的夹角为45°.故〖答案〗：45°.15.如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点，，，将沿所在直线进行翻折，得到三棱锥，当时，此三棱锥的外接球表面积为______．〖答案〗〖解析〗因为是等腰直角三角形，点P为线段AB的中点，，，所以，，则，因为，所以，则，所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：则三棱锥的外接球就是边长为的正方体的外接球，所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即，所以外接球表面积为.故〖答案〗为：.16.设函数满足：对任意，有，且时，，，则在上有______个零点．〖答案〗9〖解析〗由题意，当时，，此时函数单调递减，且，且，，所以当时，，此时函数单调递增，且，当时，，，此时函数单调递增，且，当时，，，此时函数单调递减，且，又，，所以在上有9个零点.故〖答案〗为：9.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知向量，．（1）若，求实数的值；（2）已知向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，则，故，因为，，所以，解得.（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，且与不平行，又，，所以，解得且，故.18.已如函数．（1）用“五点法”作出函数在区间上的图象；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的取值范围．解：（1）依题意，列表如下：所以数在区间上的图象如下：.（2）因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，再将得到的图象上的每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得到的图象，因为，所以，则，故的取值范围是.19.从条件①，②中选择一个，补充在下列横线中，并解答问题．如图，在直三棱柱中，点在线段上，已知______，且，，．（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角余弦值．解：（1）证明：连接，设，如下图所示：因为，，且，所以，，则，，所以，，所以，，故，所以，，即，若选①，因为，，、平面，因此，平面；若选②，因为，且，由余弦定理可得，整理可得，解得，所以，，所以，，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因平面，所以，，因为，、