2022-2023学年湖南省长沙市长沙县高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3湖南省长沙市长沙县2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根据全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“，”的否定是，.故选：D.2.已知扇形的半径为1，面积为2，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗设扇形圆心角的弧度数为，因为扇形所在圆的半径为1，且该扇形的面积为，则扇形的面积为，解得：.故选：D.3.已知，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗因为，而，即有，于是，所以n的值为5.故选：C4.已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为离散型随机变量服从二项分布，且，，则，解得.故选：B.5.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567〖答案〗B〖解析〗记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，由题意可知，，所以．故选：B.6.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：偏爱蔬菜偏爱肉类男生／人48女生／人162则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（）附：．0.0100.0050.0016.6357.87910.828A.95% B.99% C.99.5% D.99.9%〖答案〗C〖解析〗由已知，列联表为偏爱蔬菜偏爱肉类合计男生／人4812女生／人16218合计201030则的观测值，故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选：C．7.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，剩余的个车位连在一起，把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有种，故选C.8.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.9.下列有关复数的说法正确的是（）A.若复数，则 B.若，则是纯虚数C.若是复数，则一定有 D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A：令，则，若，即有，故，正确；B：当时，，而不是纯虚数，错误；C：当，则，而，显然不成立，错误；D：令，，则，故，又，，则，所以，正确.故选：AD10.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（）A.数据的平均数为0B.若变量的经验回归方程为，则实数C.变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强D.变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好〖答案〗BD〖解析〗因为，所以.对于选项A，的平均数为，故选项A错误；对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.故选：BD.11.在的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式的二项式系数和是128 B.只有第4项的二项式系数最大C.的系数是 D.展开式中的有理项共有3项〖答案〗AC〖解析〗对于A,二项式系数和为，故A正确，对于B，由于,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误，对于C,的通项为，令，所以的系数是，故C正确，当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误，故选：AC12.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，，则的外接圆的面积等于C.若锐角三角形，则D.若，则是等腰直角三角形〖答案〗BC〖解析〗A：由余弦定理，得，得B为锐角，不能判断为锐角，故A错误；B：设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，得，所以其外接圆的面积为，故B正确；C：若为锐角三角形，则，且，所以，故C正确；D：，由正弦定理，得，即，而，所以或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则____________.〖答案〗〖解析〗根据题意，函数，则，则，故〖答案〗为：.14.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______.〖答案〗150〖解析〗由已知可得，，所以.又，根据正态分布的对称性可得，所以.所以，可估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为.故〖答案〗为：150.15.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种．〖答案〗20〖解析〗7个小球之间有6个空位，插入3个隔板，便把7个小球分成4份，有种方法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有种．故〖答案〗为：20.16.已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.〖答案〗〖解析〗由，令，则，即，又为奇函数，则，故是以4为周期的周期函数，则，对，求导得，故是以4为周期的周期函数，则，即切点坐标为，切线斜率，故切线方程为，即.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数；（1）求的最小正周期及对称中心；（2）若，求的最大值和最小值.解：（1）∴的最小正周期为令，则∴的对称中心为（2），∴当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为2.18.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？解：（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法；（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有种去法；当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法；19.已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.（1）求函数的〖解析〗式；（2）若在定义域是增函数，解关于x的不等式.解：（1）由题意可知，即，解得，所以函数的〖解析〗式为，；（2）不等式可化为，因为是定义在的奇函数，所以，又因为在定义域是增函数，等价于，解之得，故不等式的解集为.20.在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．解：（1）依题意，得，解得，则不低于70分的人数为，成绩在内的，即优秀的人数为；故这名学生成绩是优秀的概率为；（2）成绩在内的有（人）；成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，则，，所以X的分布列为：X012P故．21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）由已知，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故在点处的切线方程为：（2）令，即得或，令，则得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，显然，在区间上的最大值为，最小值为.故在区间上的最大值为，最小值为.22.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°.（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）若菱形BDEF边长为2，求三棱锥E-BCD的体积.解：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，如图，因四边形ABCD为菱形，则，且O为AC中点，而，于是有，又，平面，所以平面BDEF；（2）因菱形BDEF边长为2，即，显然O为BD中点，因∠DBF=60°，是正三角形，于是得而，又，平面，因此，平面，又，平面，平面，即有平面，于是得点到平面距离为，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，则有都是正三角形，，所以三棱锥E-BCD的体积.湖南省长沙市长沙县2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗根据全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“，”的否定是，.故选：D.2.已知扇形的半径为1，面积为2，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗设扇形圆心角的弧度数为，因为扇形所在圆的半径为1，且该扇形的面积为，则扇形的面积为，解得：.故选：D.3.已知，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗因为，而，即有，于是，所以n的值为5.故选：C4.已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为离散型随机变量服从二项分布，且，，则，解得.故选：B.5.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567〖答案〗B〖解析〗记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，由题意可知，，所以．故选：B.6.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：偏爱蔬菜偏爱肉类男生／人48女生／人162则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（）附：．0.0100.0050.0016.6357.87910.828A.95% B.99% C.99.5% D.99.9%〖答案〗C〖解析〗由已知，列联表为偏爱蔬菜偏爱肉类合计男生／人4812女生／人16218合计201030则的观测值，故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选：C．7.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，剩余的个车位连在一起，把剩余的个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有种，故选C.8.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.9.下列有关复数的说法正确的是（）A.若复数，则 B.若，则是纯虚数C.若是复数，则一定有 D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A：令，则，若，即有，故，正确；B：当时，，而不是纯虚数，错误；C：当，则，而，显然不成立，错误；D：令，，则，故，又，，则，所以，正确.故选：AD10.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（）A.数据的平均数为0B.若变量的经验回归方程为，则实数C.变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强D.变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好〖答案〗BD〖解析〗因为，所以.对于选项A，的平均数为，故选项A错误；对于选项B，若变量的经验回归方程是，则，故选项B正确；对于选项C，当变量为负相关时，相关性越强，相关系数越小（越接近于），故选项C错误；对于选项D，变量的决定系数越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正确.故选：BD.11.在的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式的二项式系数和是128 B.只有第4项的二项式系数最大C.的系数是 D.展开式中的有理项共有3项〖答案〗AC〖解析〗对于A,二项式系数和为，故A正确，对于B，由于,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误，对于C,的通项为，令，所以的系数是，故C正确，当时，为整数，所以有理项有4项，故D错误，故选：AC12.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，，则的外接圆的面积等于C.若锐角三角形，则D.若，则是等腰直角三角形〖答案〗BC〖解析〗A：由余弦定理，得，得B为锐角，不能判断为锐角，故A错误；B：设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，得，所以其外接圆的面积为，故B正确；C：若为锐角三角形，则，且，所以，故C正确；D：，由正弦定理，得，即，而，所以或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则____________.〖答案〗〖解析〗根据题意，函数，则，则，故〖答案〗为：.14.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为______.〖答案〗150〖解析〗由已知可得，，所以.又，根据正态分布的对称性可得，所以.所以，可估计成绩不及格（在90分以下）的学生人数为.故〖答案〗为：150.15.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种．〖答案〗20〖解析〗7个小球之间有6个空位，插入3个隔板，便把7个小球分成4份，有种方法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有种．故〖答案〗为：20.16.已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.〖答案〗〖解析〗由，令，则，即，又为奇函数，则，故是以4为周期的周期函数，则，对，求导得，故是以4为周期的周期函数，则，即切点坐标为，切线斜率，故切线方程为，即.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数；（1）求的最小正周期及对称中心；（2）若，求的最大值和最小值.解：（1）∴的最小正周期为令，则∴的对称中心为（2），∴当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为2.18.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？解：（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法；（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有种去法；当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法；19.已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.（1）求函数的〖解析〗式；（2）若在定义域是增函数，解关于x的不等式.解：（1）由题意可知，即，解得，所以函数的〖解析〗式为，；（2）不等式可化为，因为是定义在的奇函数，所以，又因为在定义域是增函数，等价于，解之得，故不等式的解集为.20.在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理