2022-2023学年湖南省岳阳市平江县高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，解得，故，故.故选：D.2.棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，则，故，所以．故选：B．3.甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；甲排在末位的概率.故选：B.4.已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依题意，，即，又，因此，解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.5.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）．A.6.5 B.13 C.30.8 D.31.8〖答案〗C〖解析〗因为甲班平均分数为，乙班平均分数为，所以两个班所有学生的数学平均分数为，所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：

.故选：C.6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选：D.7.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（）A.17天 B.19天 C.23天 D.25天〖答案〗C〖解析〗经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，两边取以为底的对数得，又，，所以，解得，所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.故选：C.8.已知M是内一点，且，，，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵，∴，设，，则，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是8.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A.事件发生的概率为 B.事件与事件互斥C.事件发生概率为 D.事件与事件相互独立〖答案〗AD〖解析〗抛掷该正四面体两次，基本事件有种，依题意：事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，所以，A选项正确；若两次投掷向下的数字都为，，则事件同时发生，所以与不互斥，B选项错误；事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：，共种，所以事件发生的概率为，事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：，共种，所以事件发生的概率为，事件包含的事件为，，共种，所以，所以，即事件与事件相互独立，所以D选项正确.故选：AD.10.已知复数，，则（）A.B.若，则的最大值为3C.D.是纯虚数〖答案〗AB〖解析〗对于A：复数，，，，又，∴，A正确；对于B：设，则，即，且，，即的最大值为3，B正确；对于C：，故C错误；对于D：，不是纯虚数，D错误.故选：AB.11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象〖答案〗AD〖解析〗由图象可得的最大值为，即，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；对于B，因为，所以错误；对于C，当时，，所以函数在上不单调，故错误；对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确.故选：AD.12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上存在点，使平面B.异面直线与所成的角为90°C.二面角的大小为45°D.平面〖答案〗ABC〖解析〗A选项：如图，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面，，平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以，假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第1空2分、第2空3分，共20分.13.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗根据题意可知，但，故是的真子集，故.故〖答案〗为：.14.某轨道交通1号线在10个车站上车人数统计如下：70，60，60，50，60，40，10，30，30，40，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为___________.〖答案〗105〖解析〗将数据从小到大排序：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，因为，所以第50百分位数是第5项与第6项的平均数，即，因为，所以第75百分位数是第8项，即60，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为：45+60=105.故〖答案〗为：105.15.如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为____________.〖答案〗3（百米）〖解析〗根据题意，在中，，，，则，则，在中，，，，则，则有，变形可得，在中，，，，则，则.故〖答案〗为：3（百米）.16.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则①平面DEF截得球的截面面积最小值为_______________；②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为_______________．〖答案〗〖解析〗过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：易知，，，由勾股定理可得，则由题可得，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，因为平面，当平面时，取最大值，即，所以，，所以平面截得球的截面面积最小值为；由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，，，由勾股定理可得，令，则，其中，所以，，所以，，因此，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.解：（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，则，，，∴.（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，∴.18.（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.解：（1）设，由，可得，由题意可得，解得或，因此，或.（2），，化简得，即，解得.19.如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的大小．解：（1）证明：连接，在中，和分别是和的中点，，又平面，平面，平面．（2）证明：，为中点，，平面，，平面，，又，平面，平面.（3）取中点和中点，连接，，，和分别为和的中点，且，且，四边形是平行四边形，且，又平面，平面，即为直线与平面所成角，在中，可得，，，，且，又由，，在中，，在中，，，即直线与平面所成角的大小为．20.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．”天宫课堂”是结合载人飞行任务，贯穿中国空间站建造和在轨运营系列化推出的，将由中国航天员担任“太空教师”，以青少年为主要对象，采取天地协同互动方式开展．2022年10月12日15时40分，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．学校针对这次直播课，举办了”天宫课堂”知识竞赛，有100名学生代表参加了竞赛，竞赛后对这100名学生的成绩（满分100分）进行统计，将数据分为［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]这4组，画出如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m的值；（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）若该校准备对本次知识竞赛成绩较好的40%的学生进行嘉奖，试问被嘉奖的学生的分数不低于多少？解：（1）由图可得，解得.（2）估计这100名学生竞赛成绩的平均数．（3）设被嘉奖的学生的分数不低于，因为第四组的频率为，第三组的频率为，所以，所以，得．21.在中，角所对的边分别，且.（1）求角A的值；（2）已知在边上，且，求的面积的最大值.解：（1）在中因为，由正弦定理得，所以，因为，所以，故，又是的内角，所以．从而，而A为的内角，所以.（2）因为，所以，所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.22.已知函数f(x)=x2+ax+b，a，b∈R，f(1)=0.（1）若函数y=在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设，若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在整数m，n，使得m≤f(x)≤n的解集恰好是[m，n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由，可知，所以，对称轴为，则，因为在上是减函数，当，即时，在上是减函数，符合题意，当a>−2，即时，在上是减函数，，综上可知，实数a的取值范围为．（2）函数F(x)有三个零点，则方程有三个不同根，设其图象如下图：由题意，关于t的方程：，即有两根，且这两根有三种情况：，若，则，此时方程为或，符合题意，若，则，此时方程为舍去，若，则不存在，综上得：.（3）因为是开口向上抛物线，所以，且，由作差可得，所以，由f(n)=n可得，所以，所以，因为m，n为整数且，所以，即，此时符合题意，所以存在m=−1，n=2，使得的解集恰好是.湖南省岳阳市平江县2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，解得，故，故.故选：D.2.棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，则，故，所以．故选：B．3.甲、乙、丙三人排队，甲排在末位的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲、乙、丙三人排队，有{（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；其中甲排在末位的有：{（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）}，共个基本事件；甲排在末位的概率.故选：B.4.已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗依题意，，即，又，因此，解得，则有，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.5.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）．A.6.5 B.13 C.30.8 D.31.8〖答案〗C〖解析〗因为甲班平均分数为，乙班平均分数为，所以两个班所有学生的数学平均分数为，所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：

.故选：C.6.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.，，则B.，，，，则C.，，，则D.，，，则〖答案〗D〖解析〗对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选：D.7.著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（）A.17天 B.19天 C.23天 D.25天〖答案〗C〖解析〗经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，两边取以为底的对数得，又，，所以，解得，所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.故选：C.8.已知M是内一点，且，，，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵，∴，设，，则，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是8.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A.事件发生的概率为 B.事件与事件互斥C.事件发生概率为 D.事件与事件相互独立〖答案〗AD〖解析〗抛掷该正四面体两次，基本事件有种，依题意：事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，所以，A选项正确；若两次投掷向下的数字都为，，则事件同时发生，所以与不互斥，B选项错误；事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事件为：，共种，所以事件发生的概率为，事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事件为：，共种，所以事件发生的概率为，事件包含的事件为，，共种，所以，所以，即事件与事件相互独立，所以D选项正确.故选：AD.10.已知复数，，则（）A.B.若，则的最大值为3C.D.是纯虚数〖答案〗AB〖解析〗对于A：复数，，，，又，∴，A正确；对于B：设，则，即，且，，即的最大值为3，B正确；对于C：，故C错误；对于D：，不是纯虚数，D错误.故选：AB.11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象〖答案〗AD〖解析〗由图象可得的最大值为，即，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，对于A，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；对于B，因为，所以错误；对于C，当时，，所以函数在上不单调，故错误；对于D，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确.故选：AD.12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上存在点，使平面B.异面直线与所成的角为90°C.二面角的大小为45°D.平面〖答案〗ABC〖解析〗A选项：如图，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面，，平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以，假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第1空2分、第2空3分，共20分.13.若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗根据题意可知，但，故是的真子集，故.故〖答案〗为：.14.某轨道交通1号线在10个车站上车人数统计如下：70，60，60，50，60，40，10，30，30，40，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为___________.〖答案〗105〖解析〗将数据从小到大排序：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，因为，所以第50百分位数是第5项与第6项的平均数，即，因为，所以第75百分位数是第8项，即60，则这组数据的第50百分位数与第75百分位数的和为：45+60=105.故〖答案〗为：105.15.如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为____________.〖答案〗3（百米）〖解析〗根据题意，在中，，，，则，则，在中，，，，则，则有，变形可得，在中，，，，则，则.故〖答案〗为：3（百米）.16.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则①平面DEF截得球的截面面积最小值为_______________；②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为_______________．〖答案〗〖解析〗过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：易知，，，由勾股定理可得，则由题可得，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，因为平面，当平面时，取最大值，即，所以，，所以平面截得球的截面面积最小值为；由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，则，，，由勾股定理可得，令，则，其中，所以，，所以，，因此，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.解：（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，，则，，，∴.（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，∴.18.（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.解：（1）设，由，可得，由题意可得，解得或，因此，或.（2），，化简得，即，解得.19.如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的大小．解：（1）证明：连接，在中，和分别是和的中点，，又平面，平面，平面．（2）证明：，为中点，，平面，，平面，，又，平面，平面.（3）取中点和中点，连接，，，和分别为和的中点，且，且，四边形是平行四边形，且，又平面，平面，即为直线与平面所成角，在中，可得，，，，且，又由，，在中，，在中，，，即直线与平面所成角的大小为．20.“天宫课堂”是为发挥中国空间站