广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习标准示范卷2含解析VIP

PAGE标准示范卷(二)(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，则M∩N＝()A．{2,4} B．{2,4,8}C．{1,6} D．{1,2,4,6,8}B[由M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，得M∩N＝{1,2,4,8}∩{2,4,6,8}＝{2,4,8}．故选B．]2．已知cosα＝eq\f(1,2)，那么cos(－2α)等于()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)B[∵cosα＝eq\f(1,2)，∴cos(－2α)＝cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(1,2)．]3．lg0.001＋lneq\r(e)＝()A．eq\f(7,2) B．－eq\f(5,2)C．－eq\f(7,2) D．eq\f(5,2)B[原式＝lg10－3＋lneeq\s\up12(eq\f(1,2))＝－3＋eq\f(1,2)＝－eq\f(5,2).]4．若a为实数且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝()A．－4 B．－3C．3 D．4D[因为eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，所以2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，故a＝4，选D．]5．设x∈R，则“x>3”是“x2－2x－3>0A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[x2－2x－3>0⇔x>3或x<－1.由于{x|x>3}是{x|x>3或x<－1}的真子集，∴“x>3”是“x2－2x－3>0”的充分不必要条件6．已知点(m,1)(m>0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则m＝()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1C[由题意知eq\f(|m－1＋2|,\r(2))＝1，∴|m＋1|＝eq\r(2)，解得m＝eq\r(2)－1或m＝－eq\r(2)－1.又m>0，∴m＝eq\r(2)－1.故选C．]7．假如正△ABC的边长为1，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1 D．2B[∵正△ABC的边长为1，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).]8．对于不同直线a，b，l以及平面α，下列说法中正确的是()A．假如a∥b，a∥α，则b∥αB．假如a⊥l，b⊥l，则a∥bC．假如a∥α，b⊥a则b⊥αD．假如a⊥α，b⊥α，则a∥bD[对于A选项，b可能属于α，故A选项错误．对于B选项，a，b两条直线可能相交或异面，故B选项错误．对于C选项，b可能平行于α或属于α，故C选项错误．对于D选项，依据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D．]9．如图，给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f(1)等于()A．－4 B．－2C．2 D．4B[依据题意，由函数的图象可得f(－1)＝2，又由函数为奇函数，则f(1)＝－f(－1)＝－2.]10．已知函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B[∵连续函数f(x)＝log2x＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2＋log22＝1>0，∴f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为(1,2)，故选B．]11．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝()A．－2 B．2C．－8 D．－2或－8C[依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1＝a1＝－2，,S3＝a1＋a1q＋a1q2＝－6，))解得q＝－2(q≠1)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－8.]12．直线y＝ax＋1与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．随a的改变而改变B[∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．]13．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2xA[由题意知eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1，故渐近线方程为y＝±x.]14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为()A．π B．2πC．4π D．16πC[由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为l，则2r＋2l＝8⇒r＋l＝4，又S侧＝πrl≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋l,2)))2＝4π(当且仅当r＝l时“＝”成立)．]15．设x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80 B．4eq\r(5)C．25 D．eq\f(17,2)A[作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.]16．在△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A．eq\f(\r(15),4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3\r(15),16) D．eq\f(11,16)D[由正弦定理得6a＝4b＝3令a＝1.则b＝eq\f(3,2)，c＝2，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋4－\f(9,4),4)＝eq\f(11,16)，故选D．]二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上)17．圆C的方程是x2＋y2＋2x＋4y＝0，则圆的半径是．eq\r(5)[依题意(x＋1)2＋(y＋2)2＝5，故圆的半径为eq\r(5).]18．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝.2[由T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2.]19．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为.1.6[依题意，该组数据的平均数＝eq\f(1,5)×(84＋84＋84＋86＋87)＝85，∴这组数据的方差是eq\f(1,5)×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.30[设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝eq\f(600,x)·6＋4x＝eq\f(3600,x)＋4x≥2eq\r(\f(3600,x)·4x)＝240.当且仅当eq\f(3600,x)＝4x，即x＝30时，y取最小值．]21．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为eq\f(2π,3)，则a在b方向上的投影为.－1[依据数量积的几何意义可知，a在b方向上的投影为|a|与向量a，b夹角的余弦值的乘积，∴a在b方向上的投影为|a|·coseq\f(2π,3)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴a在b方向上的投影为－1.]三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)22．(本小题满分20分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．[解](1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝eq\r(10).23．(本小题满分20分)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点(1)求证：B1C∥平面A1BD(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B­A1C1D的体积[解](1)证明：连接AB1交A1B于E，连接ED．∵ABC­A1B1C1是三棱柱，且AB＝BB1∴侧面ABB1A1是一正方形，∴E是AB1又已知D为AC的中点，∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD∴B1C∥平面A1BD(2)证明：连结AC1，∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B．又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1又∵AC1∩AB1＝A，AC1，AB1⊂平面AB1C1∴A1B⊥平面AB1C1又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1又∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C又∵A1B∩BB1＝B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1∴B1C1⊥平面ABB1A(3)连结DC1，∵AB