数学奥林匹克专题讲座

专题)1数学奥林匹克专题讲座-―-素数

上海市上海中学顾滨

素数是数论中核心的问题之一，因为素数的定义如此简单，分布却如此不规

律.关于素数，我们知道的也很少，接下来我们将介绍有关素数的一些核心问题，

并对其中一些加以讨论.

一.关于素数无穷多.Euclid第一个证明了：素数有无穷多个.

【定理1(Euclid)】：素有无穷多个.

它的证明是很经典的无穷递推法，当然目前也有其它证法，有兴趣的同学可以

参看《Theprooffromthebook>>一书，这里就略去了.下面我们来证明更强的结

论：

【定理2(Euler)】+8(这里Z表示对所有的素数求和，以后类同)

ppP

证明：首先证明Euler恒等式：设实数s>l,则口1+-5-+，一+-=£，①

V(/?'p~J"=1ns

<n表示对所有的素数求积，以后类同).

p

我们已经熟知当S>1时，上式的右边的级数是绝对收敛的，而由于算术基本定

理，若将上式左边逐项展开，则对每个n,由于n恰有唯一的一种方法表为

p?p会…,因此恰出现一次，即证得Euler恒等式.

ns

n5+oo1(ns+<»1

现将Euler恒等式化为：Fl/—=£二.两边取对数得Zin—g—=ln(Z=).

pP-1n=]nP(p-1)n=ln

1fn'S\4-QO1I

利用不等式x>ln(l+x)得：Z—r>Zln-7—=ln(S—).令s-1即知

PPPIP—]J«=1tl

Z-1—>ln(Z-)=+oo,又Z」一一Z-1—<1,故Z，->+8成立.

Pp-1«=inpp-1Ppp(p-Dppp

Euler这一证明有着很浓的解析色彩，将孤单的素数与全体正整数通过①式联

系起来了，我们在后面证明Dirichlet定理时将用到一样的思想.另外利用①式可

以证明任取两数互素的概率为?，但这已经离开主题较远，暂不考虑.

7T

为了以后的需要，我们先来定义一些函数：

若n=p^p^-p^(aj>l,j=l,2,-,k),则定义函数

(p(n)=n(l——)(1——)•••(1——)；

PlPlPn

定义函数0(x)=ZInp；以及函数A(〃)=F子，P，n'm-I.以下我们一般以%

pz0,其他情况

表示正整数，P表示素数，d表示约数.

关于A(〃)，我们显然有ln(〃)=ZA(d)(这里表示为对n的所有正约数求和)，

d\n

因此我们有：

Y

In囱!)=ZInx=ZZA(d)=ZA(d)•Z1=ZA(d).[一](交换和号值得注

n<xn<xd\nd<xd\nd<xd

n<x

意)

因止匕结合HInn-n<ln(〃!)<nInn可知：

rZ邛=EA3)-[f+Z(A(4)｛：｝)=ln([x]!)+Z八⑷u｝=xlnx+O(x)+工A(d)｛。

d<：xCld<xdd<xddWxClCl

,②

(这里0(x)表示至多与X同阶，即存在G,。2eR使Gx<ln([X]!)-xInX<)，

又因为ZA(d)｛。<ZA(d)=O(x)(这一等式详见第二个问题)因此，

d<xdd£c

②=>=xlnx+O(x),故知£"4=1113+0⑴.

d<xddsxd

更进一步，由于

1

A(d)InpInpInpInpP2_1

。⑴

乙J乙一乙。一乙。一乙

d<.x&p£xPpa<xrpPP(PT)i_lP(P-1)!

aN2a>2

P

故Z"^=lnx+O⑴，或者我们可记£生*=lnx+/(x),,(x)|=O⑴③

P<xPP<xP

③式应该说是关于素数分布的最基本的等式之一，由它可以导出许多有用的结

果.

现在，我们就来证明定理2的加强形式：

【定理3]：^―=Inlnx+/l+r2(x),其中>1=1-InIn2+£dt,而

p《xP-tint

卜2(刈=。(J)，

Inx

(注:6(f)=0(1)说明]力收敛)

【证明】：我们有

十1=1+丁Inp1111»/、1,/、1/(2)r-v,1

§p22£0也/2+八产)=5+1@嬴一记山(，)*

（其中在⑵力上仅在t在为素数时不可微，然而当t为素数时可以

呷p

形式得认为此时/'（0=—；这一步运用了Abel求和的思想），从而利用分部积

分公式可得：

1,In母)+、(x)1

=--1---------------r

2Inx2〕;嚅件m胃扁"黑"

=1+0(—)+lnlnx-lnln2+^-dt-V^-dt

Inxj2tln2tJ'tln2t

又因为「小2•力=O(「力)=0(—L),因此我们就得到了定理3!

JatintJxtintInx

二•关于n(x)：

对大于2的实数x,令n（x）为不大于x的素数个数,C.F.Gauss在一百多年前

提出了著名的猜想：【素数定理】：n（x）~L（xfo）MiimU®=D-

InxI+0cx

Inx

我们先来简要回顾一下素数定理的提出与解决过程：

1850年，Chebyshev证明：存在正常数G，C使G—匚＜＜C,；

InxrrInx

1859年，Rieman在其论文中提出素数定理与Rieman的1s）函数的关系

.00_1

（久幻=£二，在复分析中可将久，）解析开拓至全体复数s）,将数论与复变函数

〃=]〃

联系在了一起.（Euler恒等式已初步体现了分析思想）1896年,14@€12111@口和Poisson

各自独立地运用复分析证明了素数定理.（其中一个关键点是？（s）的零点s的实

部必小于1而大于0,而Riemann猜想是说这样的零点s的实部均为工）;

2

1896年，Selberg和Erdos独立给出了素数定理的初等证明.我们将不会证明素数

定理，只因复分析直观而艰深；初等方法复杂而难以理解.在这一节中，我们将

讨论Chebyshev不等式，并以此引入一些基本的解析数论技巧.

【定理