1.2空间向量基本定理课件高二上学期数学人教A版选择性2

第一章统计案例1.2

空间向量的基本定理高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何学习目标1.理解空间向量基本定理;2.理解基底、基向量及向量的坐标表示、正交分解的概念;3.会用空间向量基本定理解决立体几何的简单问题.4.核心素养：数学建模、数学运算。1.平面向量基本定理：2.平面向量的正交分解及坐标表示xyo一、回顾旧知1.探究1:

我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP

由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组（x,y,z）使得我们称为向量在上的分向量。二、探究新知追问2

两个不共线的向量还够用吗？

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使

p＝xa＋yb．追问1

平面内的任何一个向量都可以用两个不共线向量来表示,那么表示空间中的任意一个向量，我们至少需要几个向量？二、思考探究至少需要三个向量．

三个向量共面

三个向量不共面abc追问3

任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？？pijkPQOα三个相互垂直的向量三个相互垂直的向量xipijkPQOyjzkα我们称

xi，yj，zk分别为向量

p

在

i，j，k上的分向量．追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？abcp追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？abcOPαpacbBCAQ追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？QαabcOPpacbBCA追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？OQPpacbBCAαabc追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？xaOQPpacbybzcBCAαabc追问4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？xaOQPpacbybzcBCAαabc追问5

你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．1.空间向量基本定理

如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(

x,y,z)，使得

都叫做基向量

叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.所有空间向量组成的集合为

三、探究新知

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两互相垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.2.单位正交基底

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.

把一个空间向量分解为三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.3.正交分解三、探究新知（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。【注意】对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。（4）在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底．在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选取从同一顶点

出发的三条棱所对应的向量作为基底．19三、拓展探究空间向量基本定理平面向量基本定理向量共线充要条件如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维{a}(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

(2)由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。

(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组（x,y,z），使

当且仅当

x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个练习答案：C2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.答案：01.巩固1.已知向量

是空间的一个基底．求证:向量能构成空间的一个基底.三、巩固新知1.判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数.BOACMNP2.例1.立体几何问题①适当选取基底向量运算②用基向量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立体几何问题的解转化向量方法理论基础：空间向量基本定理用向量方法解决立体几何问题的路径转化用基底表示向量的三个步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.3.变式1:OABCMNBBOACPNMQ4.变式2:已知平行六面体5.变式3:BCOA1B1C1O1AG题型1:基底的判断2.设命题p:空间向量a,b,c是三个非