专题23三角函数的概念6种常见考法归类（47题）

专题23三角函数的概念6种常见考法归类（47题）考点一利用定义求某角的三角函数值考点二由终边或终边上的点求三角函数值考点三由三角函数值求终边上的点或参数考点四三角函数值符号的应用考点五公式一的简单应用考点六圆上的动点与旋转点知识点1：任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα正切点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)三角函数正弦函数y＝sinx，x∈R余弦函数y＝cosx，x∈R正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z注：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．知识点2：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号（1）图示：（2）口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点3：公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等．即(sinα＋2kπ＝sinα，cosα＋2kπ＝cosα，tanα＋2kπ＝tanα，其中k∈Z.注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．知识点4：特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－10知识点5(拓展）：三角函数线设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：在中：为正弦线，长度为正弦值。为余弦线，长度为余弦值。在中：。为正切线，长度为正切值。解题策略1、利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．注：1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）2、判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．3、利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．考点一利用定义求某角的三角函数值1．（2024·全国·高一课堂例题）求角的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】在角的终边上取点，使的长为1，利用定义求三角函数的值.【详解】在平面直角坐标系中作，在终边上取点，使的长为1．

由于点在第四象限，与轴正方向的夹角为，因此可得点的坐标为．因为，所以，，．2．（2024·全国·高一课堂例题）利用定义求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】利用单位圆以及三角函数的定义求得正确答案.【详解】如图所示，的终边与单位圆的交点为，过点作轴于点，在中，，，则，，则．所以，，．

3．（2023下·北京丰台·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解.【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点，故，故选：B4．（2023下·湖南·高二统考学业考试）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由三角函数的定义求解，【详解】由题意得，故选：C5．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函数的定义求值.【详解】角的终边与单位圆的交点为，则.故选：A6．（2023下·四川成都·高一统考期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可.【详解】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.7.（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的终边与单位圆交于点,故，故，所以，故选：B.8.（2023春·陕西西安·高一校考阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在单位圆上即终边在第三象限所以，，所以所以.故选：C9．（2023上·高一校考课时练习）如果，那么下列不等式成立的是（

）A．sin<cos<tanB．tan<sin<cosC．cos<sin<tanD．cos<tan<sin【答案】C【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】如图所示，

在单位圆中作出与单位圆的交点为,由于，则，所以，故．故选：C考点二由终边或终边上的点求三角函数值10．（2024·全国·高一课堂例题）如图已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值．

【答案】，，．【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题意可得，，则，所以，，．11．（2024·全国·高一随堂练习）设角α的终边经过下列各点，求角α的正弦函数值、余弦函数值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正弦函数值为，余弦函数值为(2)正弦函数值为，余弦函数值为(3)正弦函数值为，余弦函数值为(4)正弦函数值为，余弦函数值为【分析】利用三角函数的定义进行求解.【详解】（1）由三角函数定义可知，；（2）由三角函数定义可知，；（3）由三角函数定义可知，；（4）由三角函数定义可知，12．（2023上·上海闵行·高三校联考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则.【答案】/【分析】根据终边上的点及三角函数的定义求即可.【详解】由题设及正切函数的定义知：.故答案为：13．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知角α的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函数的定义求解.【详解】由题意可知点到原点的距离，由任意角的三角函数的定义，，所以.故选：D14．（2023上·广东东莞·高一校考期中）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数正弦定义相关知识可求.【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，所以，故选：D15．（2023上·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边上一点，则.【答案】【分析】根据任意角的三角函数余弦定义计算即可.【详解】因为终边上一点，则.故答案为：.16．（2023上·河南周口·高三周口市文昌中学校考阶段练习）已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则【答案】－【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】角θ的终边经过点；θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，.故答案为：17.（2023秋·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设直线上任意一点P的坐标为（），则（O为坐标原点），根据正弦函数的定义得：，时，；时，，所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D.18．（2024·高一课时练习）已知角的终边落在直线上，求的值．【答案】答案见解析【分析】在角的终边上任取一点，分、两种情况，根据任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】在角的终边上任取一点，则．当时，，，，．当时，，，，．19．（2024·全国·高一随堂练习）已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．【答案】，，.【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角的终边落在直线上，且，取角的终边上的点，则，所以，；.考点三由三角函数值求终边上的点或参数20．（2023上·浙江宁波·高一余姚中学校考期中）已知角的终边经过点，则．【答案】/【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】∵角的终边经过点，∴，，，∴．故答案为：．21．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.【详解】由三角函数的定义知:，所以.故选：A.22．（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得，故选：B.23．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知角的终边上一点，且，则.【答案】【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】由角的终边上一点，且，可得，解之得或（舍）故答案为：24.【多选】（2023秋·江西赣州·高二江西省全南中学校考开学考试）已知角的终边经过点，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】已知角的终边经过点所以，则当时，，此时；当时，，此时；所以的值可能为或.故选：CD.25．（2024·全国·高一随堂练习）已知角的终边经过点，且，求和的值．【答案】或【分析】利用三角函数的定义可得出关于的等式，求出的值，再结合三角函数的定义可求得的值.【详解】解：因为角的终边经过点，且，解得.当时，；当时，.综上所述，或.26.（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为．【答案】0或【详解】因为角的终边上有一点，所以，解得或.故答案为：0或.27．（2023下·高一课时练习）若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义，求得，再结合三角函数的定义，即可求得的值.【详解】由三角函数的定义，可得，解得，即，则，所以.故选：C.28．【多选】（2023下·辽宁·高一校联考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD考点四三角函数值符号的应用29.（2023·全国·高一假期作业）求（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由，又，则，所以.故选：C30．（2024·全国·高一专题练习）确定下列正弦、余弦、正切值的符号：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用诱导公式以及三角函数的象限符号即可求解.【详解】（1）因为是第二象限角，所以；（2）因为，即是第三象限角，所以；（3）因为，即是第四象限角，所以.31．（2024·全国·高一随堂练习）确定下列各三角函数值的符号：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)负(2)负(3)负(4)正(5)负(6)负【分析】首先确定角所在象限，再根据三角函数的符号规律逐个判断即可．【详解】（1）因为为第三象限角，可得为负；（2）因为，而为第三象限角，所以为第三象限角，可得为负，（3）因为，而为第四象限角，所以为第四象限角，可得为负；（4）因为，而为第一象限角，所以为第一象限角，所以为正，（5）因为，而为第三象限角，所以为第三象限角，所以为负，（6）因为，而为第二象限角，所以为第二象限角，所以为负．32．（2024·全国·高一随堂练习）确定下列三角函数值的符号：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】先判断角的象限，再结合诱导公式.【详解】（1）（2）（3）（4），所以该角在第二象限，33.（2023春·贵州毕节·高一校考期中）若，，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【详解】由，，得，，所以是第四象限角.故选:D.34．（2023下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据所给条件得到、，，即可判断.【详解】因为，即，又，所以，即，所以，所以角的终边在第三象限.故选：C35．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知角终边上有一点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根据所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为是第二象限角，所以，所以点P在第四象限，即角为第四象限角，所以为第一象限角，所以为第三象限角.故选：C36.点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】，，所以点位于第三象限.故选：C37．（2023上·北京海淀·高三统考期中）“”是“为第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为时，则，所以为第一或第三象限角，反之，当为第一或第三象限角时，，所以，综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C38.（2023·全国·高一专题练习）所有可能取值的集合为．【答案】【详解】解：因为，由已知可得角的终边不在坐标轴上，当角的终边在第一象限，则原式，当角的终边在第二象限，则原式，当角的终边在第三象限，则原式，当角的终边在第四象限，则原式，故所有可能取值的集合为，故答案为：39.（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知，则点P所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，所以，所以点P所在象限为第四象限.故选：D.考点五公式一的简单应用40．（2023上·陕西西安·高三校考阶段练习）的值为.【答案】【分析】利用三角的诱导公式求解.【详解】，故答案为:.41．（2023下·广东深圳·高一校考阶段练习）．【答案】【分析】根据诱导公式化简可得出所求值.【详解】由诱导公式可得.故答案为：.42．（2024·江西·统考模拟预测）