2.1等式性质与不等式性质（教学设计）（2课时）高一数学教学一课到位（人教A版2019）

2.1《等式性质与不等式性质》教学设计（日期：2024年9月4课时第3周）一.教学目标1.了解与认识不等式的定义与解集的概念（数学抽象）;2.能灵活地运用不等式表示实际问题中的不等关系（数学建模）；3.牢固掌握比较两个实数大小的方法与技巧（数轴法、作差法和作商法），并能证明相关不等式成立（数学运算、逻辑推理）.4.理解与掌握不等式的十条性质，能够运用不等式的性质将不等式变形并解决相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理）.二.教学过程(一)情景问题1（导学）1.情景在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等.类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示.2.问题各位同学，在初中我们已经学习了不等式的定义、基本性质、一元一次不等式（组）等知识，你们现在还能对这些知识进行阐述并运用吗？那么，到了高中我们还将继续学习不等式的那些新知识？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.【设计意图】通过情景问题导入，自然引申出本节课的教学重点——高中不等式的运用及性质.（二）探究新知1——用不等式表示实际问题中的不等关系（互学）1.不等式的定义是什么？用不等号（＞，＜，≥，例如2x-2.不等式的解集是什么？能使不等式不等关系成立的未知数x的值叫做不等式的解，所有不等式的解组成的集合就叫做不等式的解集.例如：2x-5>-3故原不等式的解集为{x∣x＞3.问题探究：用不等式表示不等关系问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？某路段限速40km∕h解：设该路段行驶的汽车速度为v则“限速40km∕h0<注：高中不等式的形式可能是三边及其以上某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于解：由题意可将题中不等关系表示为f≥注：在表示实际问题的不等关系时，也可能用到不等式组表示.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解：由题意可将题中不等关系表示为b注：面对语言性实际问题，先作图，再表示不等关系.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.解：设C是直线过点C作CD⊥ABE是直线AB则【设计意图】通过复习旧知与用不等式表示实际问题中的不等关系，既为学生学习新知识做好提前铺垫，同时也让学生初步感受高中不等式知识与初中不等式知识的差异性.（三）探究新知2——实数的大小比较1.利用数轴法比较两数的大小(1)实数与数轴上的点是一一对应的．点A表示实数3，点B表示实数－2,点A(2)思考：当点P在不同的位置时，分别比较点P对应的实数与点A(3)数轴法比较大小由思考及探究可得如下结论：数轴上的任意两点中，①右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；②左边的点对应的实数比右边的点对应的实数小；③当两点重合时，这两点对应的数相等.2.利用作差法比较两个实数的大小（1）探究1：比较实数3与2的大小；解法一：∵3-∴3解法二：∵（∴-（2）探究2：比较实数3与3的大小解：∵∴（3）利用作差法比较两个实数的大小作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.即：即：当a3.利用作商法比较两个正数的大小（1）探究3：比较正数3与5的大小解法一：∵3∴3解法二：∵5∴5（2）探究4：比较正数3与3的大小解：∵∴3=3（3）利用作商法比较两个正数的大小作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.即：即：当aaaa3.小结（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）即：即：当a（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）即：即：当aaaa【设计意图】通过探究实例，自然引申出实数的大小比较方法——数轴法、作差法与作商法，这样可让抽象的数学知识变得具体形象、简单易知，有效地培养了学生的数学抽象核心素养.（三）小组合作、讨论交流1(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1比较57与提示：既可以用作差法，也可以用作商法比较大小例2比较(x+2)(x提示：利用作差法比较大小【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了实数的大小比较方法.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1:解法一（作差法）：∵∴解法二（作商法）：∵5而5∴例2:解（作差法）：∵(=∴(【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握实数的大小比较方法，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算的核心素养.提升演练1（迁移变通、检测实践）例3.设a、b均为实数，试比较a2+解：∵(===∴(a2+b2例4已知a>b,解（作差法）：∵已知∴又∵∴a又∵a∴a综上所述，a>【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地掌握实数的大小比较方法，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.（六）探究新知2——不等式的性质（互学）1.性质1：加法法则（可加性）（1）情景问题2请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？思考：如果a＞b，那么（3）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质1（可加性）：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变.即：即：如果a>b简称为：“加减同数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明加法法则成立吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a>b,那么证明：∵已知a>∴a又∵（=∴a+c你们还能求证：如果a>b,那么2.性质2：乘法法则（可乘性）（1）情景问题3请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）思考如果a>b，（3）探究3：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（4）性质2（可乘性）（1）不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.①①如果a>b，c简称为：“乘除正数不变号”（5）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则①吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a>b,证明：∵已知a∴a又∵ac∴ac>bc你们还能证明“如果a>b，c（6）探究4探究3：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（7）探究5：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（8）性质2（可乘性）（2）不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.②②如果a>b，c＜0简称为：“乘除负数要变号”（9）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明乘法法则②吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？求证：如果a>b证明：∵已知a∴a又∵ac∴ac你们还能证明“如果a>b，c3.性质3（传递性）（1）情景问题4请各位同学仔细观察下列的天平秤，你们从中能发现什么规律？（2）性质3（传递性)如果如果a＞（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明传递性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a∴又∵a∴a性质4（对称性）(1)如果a＞b,那么b＜a(2)如果b＜a,那么a＞b即即：5.性质5（可移性）（1）探究6：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质5（可移性）a+a+从左向右：移负为从左向右：移负为正从左向右：移正为负思考：你们能利用可加性证明可移性“a+b6.性质6（同向可加性）（1）探究7：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质6（同向可加性）如果如果a＞b,（3）证明：我们能用上节课学习的作差法来证明同向可加性吗？请大家每4人组成一个小组，讨论交流后写出证明过程？证明：∵已知a∴a∴a+c＞（4）思考：如果a＞b,c＞解：不成立，反例为7.性质7（同向同正可乘性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质7（同向同正可乘性）如果（3）证明∵∴ac又∵c∴bc>故ac>8.性质8（同向同正可乘方性）（1）探究：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质8（同向同正可乘方性）如果如果a9.性质9（同正可开方性）（1）探究：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）性质9（同正可开方性）如果如果a>b10.性质10（同号可倒性）（1）探究1：请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（2）探究2：再请各位同学仔细观察下列的不等式，你们从中能发现什么规律？（3）性质10（同号可倒性）如果如果ab>0,且a11.小结：不等式的10条性质（（1）性质1（可加性）如果a>b,那么（（2）性质2（可乘性）①如果a>b，c②如果a>b，c＜0,（（3）性质3（传递性)如果a＞（（4）性质4（对称性）a（（5）性质5（可移性）a（（6）性质6（同向可加性）如果a＞b,（（7）性质7（同向同正可乘性）如果a>（（8）性质8（同向同正可乘方性）如果a（（9）性质9（同正可开方性）如果a>b（（10）性质10（同号可倒性）如果ab>0,且a>b【设计意图】通过情景问题探究与严密证明，让学生经历感性认识到理性认识，从而深刻掌握不等式的10条性质，有效地培养学生的数学抽象核心素养.（七）小组合作、讨论交流2(自学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例4.已知a>b>0,【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了不等式的10条性质.（八）成果展示2(迁移变通、检测实践)证明：∵已知a∴1a又∵已知∴ca【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握不等式的10条性