3.1函数的概念及其表示（讲义精讲）（16大题型）

3.1函数的概念及其表示（16大题型）目录TOC\o"11"\h\u01函数的概念及表示 102区间的概念及表示 603函数求值及已知函数值求参数问题 804具体函数的定义域问题 1005抽象函数及复合函数的定义域问题 1106直接法求函数解析式 1507待定系数法求函数解析式 1608换元法求函数解析式 1909解方程组法求函数解析式 2010换元法求函数值域 2211分离常数法求函数值域 2412判别式法求函数值域 2613基本不等式法求函数值域 2914函数相等 3015函数的表示法（图象法、列举法、解析法） 3316分段函数求值、求参数及分段函数单调性问题 3701函数的概念及表示函数的概念设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。例11．（2324高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列图形不可能是函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据函数的定义判断即可【详解】选项B、C：对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确；选项A、D：存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误；故选：AD例12．（2324高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的概念判断即可.【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应，选项A中集合中2对应的数有两个，故错误；选项B中集合中3没有对应的数，故错误；选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误；选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D例13．（2324高一上·江苏·期中）下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据函数的定义及给定的定义域和值域，结合各图象即可得答案.【详解】由函数定义：任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图；第一个图中定义域不为，第二个图值域不为，所以，只有最后一个图满足题设.故选：B变式11．（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况数为（

）A．9 B．10 C．31 D．32【答案】C【分析】由题意转化为求集合的非空子集个数问题.【详解】由题意可知，是集合A到集合B的函数，令，得，令，得，令，得，所以集合是集合的非空子集，并且非空子集的个数为个.故选：C变式12．（2324高一上·河南开封·期中）（多选）集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】利用函数的定义逐一判断即可.【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.故选：AC.变式13．（2223高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（）A．

B．

C．

D．【答案】BD【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；对于D：由函数定义可知D满足．故选：BD．变式14．（2324高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果.【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误；对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确；对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误；对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误；故选：B.02区间的概念及表示定义符号数轴表示{x|a≤x≤b}[a，b]{x|a＜x＜b}(a，b){x|a≤x＜b}[a，b){x|a＜x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x＜a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)例21．（2324高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为；用区间表示为．【答案】【分析】根据区间的定义直接得到答案.【详解】，.故答案为：；.例22．（2324高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为.【答案】【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案.【详解】由题意，，解得.故答案为：变式21．（2324高一上·重庆·期中）不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解不等式利用区间表示即可.【详解】因为，解得，所以不等式的解集为.故选：D.变式22．（2324高一上·重庆·期中）集合用区间表示为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合集合与区间的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据集合的表示方法，集合用区间表示为.故选：D.变式23．（2223高一·全国·课后作业）已知区间，则的取值范围为．【答案】【分析】根据区间的概念，得到不等式，即可求解．【详解】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查了区间的概念及其应用，其中解答中熟记区间的概念，列出不等式是解答的关键，属于容易题．03函数求值及已知函数值求参数问题函数的三要素（定义域、值域、对应关系）在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。例31．（2324高一上·浙江温州·期末）已知函数，则．【答案】【分析】求出，即可得出的值.【详解】由题意，在中，，，故答案为：.例32．（2223高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，且，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】令，解得，再根据求解.【详解】解：因为，且，令，解得，所以，解得，故选：A例33．（2324高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】B【分析】由，得，利用结论可得.【详解】由，得，所以，故选：B变式31．（2223高一上·全国·期中）已知，则.【答案】26【分析】令，解得，代入运算即可.【详解】令，解得，则.故答案为：26.变式32．（2324高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则．【答案】/0.5【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.【详解】令.故答案为：.变式33．（2324高一上·广东广州·期中）已知，，则，．【答案】1【分析】一空把代入解析式即可求解；二空利用，再计算即可.【详解】因为，所以；所以，所以，所以；故答案为：1；04具体函数的定义域问题具体函数的定义域①：分式函数：定义域是，分母不为0.②：0次幂类型：定义域是，底数不为0.③：根式类型：例4．（2324高一上·北京·期中）函数的定义域为.【答案】【分析】根据分母不为零和偶次根号下非负可得函数的定义域.【详解】由题意得：，．故答案为：变式41．（2324高一上·山东·期中）函数的定义域为.【答案】且【分析】根据二次根式、分母不为零、零次幂有意义，列出关于自变量的不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则满足解得且.故答案为：且.变式42．（2324高一上·北京·期中）函数的定义域是．【答案】且【分析】依据条件列出不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，只需，解得：且.故答案为：且05抽象函数及复合函数的定义域问题例51．（2324高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【分析】可根据相同对应关系括号内取值范围一样解出结果.【详解】因为函数的定义域为，所以，又因为函数，所以，即或，故答案为：例52．（2324高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域是．【答案】【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法即得.【详解】因为函数的定义域为，所以，则，所以函数的定义域为，故答案为：.例53．（2324高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为．【答案】【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案.【详解】因为函数的定义域为区间，所以，令，解得，所以函数的定义域为.故答案为：例54．（2324高一上·广东惠州·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【分析】求出函数的定义域，再列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：因为的定义域为，即，所以，即函数的定义域为，所以的定义域为不等式组的解集，解此不等式组得：，所以函数的定义域为.故答案为：变式51．（2324高一上·安徽池州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】先根据的定义域得到不等式，然后解不等式，得到定义域即可.【详解】因为的定义域为，所以需满足，解得，故答案为：变式52．（2122高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则函数的定义域是.【答案】【分析】由的定义域确定的取值范围，即可确定函数的定义域.【详解】函数的定义域为，即，得，所以函数的定义域为，故答案为：变式53．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为．【答案】【分析】函数的定义域为，求出的范围，再得出函数的定义域，最后求出函数的定义域．【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为，则，解得，所以的定义域为.故答案为：.变式54．（2324高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数的定义域为，则，则或则函数的定义域为.故答案为：变式55．（2324高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.【答案】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.【详解】由题意得函数的定义域是，令，所以，即，解得，由，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.06直接法求函数解析式例6．（2021高一上·陕西渭南·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用配凑法求出解析式作答.【详解】依题意，，所以.故选：C变式61．（2324高一上·全国·课后作业）已知函数，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用配凑法直接求解即可.【详解】，.故选：B.变式62．（2122高一上·浙江温州·期中）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用配凑法求解析式.【详解】因为，所以.故选:B07待定系数法求函数解析式例71．（2324高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则=.【答案】【分析】设，代入，可得解析式.【详解】因为是R上的减函数，所以设，故，所以，解得或，又，得，所以.故答案为：例72．（2324高一上·河南郑州·阶段练习）已知二次函数，满足，.则.【答案】【分析】先根据，求出，进而根据对应系数相等即可求出结果.【详解】因为，所以，而，又因为，所以，解得，因此的解析式为.故答案为：.变式71．（2324高一上·四川德阳·阶段练习）已知是一次函数，且在上单调递增，，则.【答案】【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解.【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增，所以，设，因为，则，故，解得，故．故答案为：.变式72．（2324高一上·重庆云阳·阶段练习）已知二次函数满足，且．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（2）可化简为，分，，三种情形结合一次函数与二次函数图像讨论即可.【详解】（1）由，设．因为，所以，整理得，则，解得．所以．（2）由，得，即，则．当时，不等式恒成立．当，即时，二次函数的图象开口向上，，．当，即时，需满足，解得或．故的取值范围是．08换元法求函数解析式例81．（2324高一上·江苏盐城·期中）若函数，则．【答案】（）【分析】根据函数解析式利用换元法求解即可.【详解】函数，令，则，所以则函数化为所以（）.故答案为：（）.例82．（2022高一·全国·专题练习）已知，则．【答案】【分析】先令括号里1t，求出的范围，将用表示，求出的解析式，最后在将换成即可．【详解】设（），则，，（），则.故答案为：变式81．（2324高一上·四川泸州·期中）已知，则函数的解析式为【答案】【分析】用换元法求解．【详解】设，则，，所以，所以，故答案为：．变式82．（2324高一上·浙江宁波·期中）已知，则的解析式为．【答案】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令，则，可得，所以.故答案为：.09解方程组法求函数解析式例91．（2324高一上·四川自贡·期中）已知，则的解析式．【答案】【分析】由，得到，联立求解.【详解】解：因为，所以，两式联立解得：，故答案为：例92．（2324高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解.【详解】由，用代替，可得，联立方程组，解得，所以函数的解析式为.故答案为：.变式91．（2324高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则.【答案】【分析】由可列出方程组：，从而求解.【详解】由题意得：对任意实数都有，所以：，解得：.故答案为：.变式92．（2324高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数满足，且，则.【答案】【分析】用替换,再解方程组可得答案.【详解】由①，用替换，得②，①×2－②，得，得.故答案为：.变式93．（2324高一上·湖北荆门·阶段练习）已知满足，则解析式为．【答案】【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.【详解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案为：10换元法求函数值域例101．（2023高一上·安徽·竞赛）已知函数，则的值域为.【答案】【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域.【详解】令，则，，，当时，取的最小值，最小值为，则的值域为.故答案为：例102．（2324高一上·河北·阶段练习）时，的值域为.【答案】【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.【详解】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：.变式101．（2022高一上·全国·专题练习）求函数的值域．【答案】【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得.【详解】设，则，函数可化为，对称轴为，所以该函数在上单调递减，所以当时，，所以原函数的值域为.变式102．（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的值域．(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果；（2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域.【详解】（1）令，所以，即，当时，，即函数的值域为.（2）由题意得：，即，所以函数定义域为，，由二次函数性质可得，所以的值域为．11分离常数法求函数值域例111．（2324高一上·天津红桥·期中）已知函数，则函数的值域为.【答案】【分析】分离常数法求函数的值域.【详解】定义域为，因为，所以，即，所以的值域为.故答案为：.例112．（2324高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为．【答案】/【分析】将采用分离常数法得到，然后当取到最小值时，函数有最大值，即得到答案.【详解】，因为，所以，当时等号成立，所以．故答案为：.变式111．（2324高一上·江西·期中）函数，的值域为.【答案】【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以函数，的值域为.故选：变式112．（2223高一上·天津和平·阶段练习）函数的值域为．【答案】【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可.【详解】，因为，所以，，.所以的值域为.故答案为：12判别式法求函数值域例121．（2324高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为．【答案】【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为，整理得，可知关于x的方程有正根，若，则，解得，符合题意；若，则，可得或，解得或且，则或或；综上所述：或，即函数，的值域为.故答案为：.例122．（2324高一上·浙江宁波·阶段练习）函数在上的值域是.【答案】【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解.【详解】函数，当时，；当时，，根据对勾函数的性质可知：当时，，则，所以，当时，，则，所以，综上所述，函数在上的值域是.故答案为：变式121．（2223高一上·浙江宁波·期中）函数的值域是．【答案】【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解得，所以，，即函数的值域是故答案为：变式122．（2122高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是.【答案】【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.【详解】解：，因为所以函数的定义域为令，整理得方程：当时，方程无解；当时，不等式整理得：解得：所以函数的值域为.故答案为：【点睛】方法点睛：求值域的常见方法单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.13基本不等式法求函数值域例131．（2223高三·全国·对口高考）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】由可得，当时，故，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，故的值域为，故选：C变式131．（2122高一·全国·单元测试）求函数的值域【答案】【分析】根据题意，进而根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，函数的值域为.变式132．（2223高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域.（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.【详解】（1），，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立.故函数值域为；（2）函数定义域为，令，则，故函数值域为.14函数相等例141．（2324高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可.【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；对B，，故B错误；对C，的定义域为，故C错误；对D，，故D正确.故选：D例142．（2324高一上·陕西宝鸡·期中）（多选）下列函数与表示同一函数的是（

）A．， B．，C． D．【答案】CD【分析】根据定义域和对应关系都相同即为相等函数逐项判断．【详解】对于A：的定义域是，的定义域是，故，不是同一函数，故A错误；对于的定义域是，的定义域是，，故，不是同一函数，故错误；对于的定义域是，的定义域是，且，故，是同一函数，故正确；对于的定义域是，的定义域是，且，故，是同一函数，故正确．故选：CD．变式141．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.故选：A变式142．（2324高一上·北京东城·期中）下列各组函数中，两个函数相等的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【分析】判断两个函数是否相等，只需看定义域和对应法则是否都相同，由此即可逐一判断每一个选项.【详解】对于A，与定义域都是全体实数，且，故A满足题意；对于B，的定义域是非负实数，的定义域是全体实数，故B不满足题意；对于C，的定义域是全体实数，的定义域是非负实数，故C不满足题意；对于D，的定义域是全体实数，的定义域是不为0的全体实数，故D不满足题意.故选：A.变式143．（2324高一上·浙江·期中）（多选）下列各组函数不是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得.【详解】对于A，函数的定义域为，定义域为R，是不同函数，A是；对于B，函数的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，B不是；对于C，的定义域都为R，又，即对应法则相同，它们是相同函数，C不是；对于D，函数的定义域为，的定义域为，是不同函数，D是.故答案为：AD15函数的表示法（图象法、列举法、解析法）例151．（2122高一上·山西太原·期中）已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围【详解】由得：，又由，可得，∴，又，∴，故选：B.例152．（2324高一上·宁夏固原·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据小明与的距离的变化求得正确答案.【详解】当小明在弧上运动时，与点的距离相等，所以AB选项错误.当小明在半径上运动时，与点的距离减小，当小明在半径上运动时，与点的距离增大，所以C选项错误，D选项正确.故选：D例153．（2324高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（

）12320230A．2023 B．0 C． D．【答案】A【分析】按函数的定义结合图表计算即可【详解】根据题意，可得，则，故选：A.变式151．（2324高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果.【详解】因为是等腰直角三角形，，所以．当点在线段上运动时，．故选：A.变式152．（2324高一上·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（

）

A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲【答案】C【分析】根据函数的图象确定正确答案.【详解】图1所示呈正比例关系，与情境甲相对应；图2所示呈上升趋势，反应出单调递增的性质，但增加的速率在减小，与情境丙相对应；图3所示开始呈上升趋势，反应出单调递增性质，但后来出现下降趋势，与情境乙所描述的“过犹不及”相对应．故选：C变式153．（2324高一上·重庆九龙坡·阶段练习）德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（

）123A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【