北师大版八年级数学下册举一反三系列1.4角平分线的判定与性质【七大题型】同步练习(学生版+解析)

专题1.4角平分线的判定与性质【七大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1作已知角的角平分线】 1【题型2角平分线的性质的应用】 3【题型3角平分线的性质与等积法】 4【题型4角平分线的性质与全等】 6【题型5角平分线的判定】 10【题型6角平分线的性质与判定综合】 11【题型7角平分线的实际应用】 13【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1作已知角的角平分线】【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上．（本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPBA．35° B．45° C．55° D．65°【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝．【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为．【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED，求∠CED的度数．【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝°．【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；（2）在（1）的条件下，AM+AN＝AC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．（1）求证：BC＝CD．（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【知识点3角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5角平分线的判定】【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是．（填序号）【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．【题型6角平分线的性质与判定综合】【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【题型7角平分线的实际应用】【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有处．【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓专题1.4角平分线的判定与性质【七大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1作已知角的角平分线】 1【题型2角平分线的性质的应用】 5【题型3角平分线的性质与等积法】 9【题型4角平分线的性质与全等】 12【题型5角平分线的判定】 18【题型6角平分线的性质与判定综合】 21【题型7角平分线的实际应用】 24【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1作已知角的角平分线】【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上．（本题有三个结果，答对一个得1分；若其中一个标错，本题得0分，三个点分别用字母C、D、E表示）【分析】作出∠AOB的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．【解答】解：如图所示，①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OB、OA于点D、E；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于点F③连接OF，交各小正方形的顶点分别为P1、P2、P3，则此三点即为所求．本题答案不唯一．有三种结果如图中的P1，P2，P3所示．【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPBA．35° B．45° C．55° D．65°【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用OG平分∠MON得到∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB的度数．【解答】解：由作法得BP平分∠ABN，∴∠PBN=12∠ABN∵OG平分∠MON，∴∠BOP=12∠MON∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，∴∠OPB＝70°﹣25°＝45°．【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝22°．【分析】（1）作∠ADE＝∠C即可；（2）由平行线的性质和角平分线定义证出∠DEC＝∠DCE，得出DC＝DE，由等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：作∠ADE＝∠C交AB于E，DE即为所求；（2）如图2所示：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵EC平分∠ACB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DC＝DE，∴△DEC是等腰三角形，∴∠DEC＝∠C＝22°；故答案为：22°．【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=1【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12故选：D．【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为9．【分析】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．【解答】解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故答案为：9．【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED，求∠CED的度数．【分析】（1）延长CB至点M，根据角平分线的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）延长CB至点M．∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD，∴点E到CM和BD得距离相等，又∵CE平分平分∠ACB，∴E点到AC和BC的距离相等，∴点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED．∵点E到AC和BD的距离相等，∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β，又∵在△BDC中，2α＝2β+40°，∴α﹣β＝20°，在△EDC中，α＝β+∠DEC则∠CED＝α﹣β＝20°．【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝30°．【分析】过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，根据角平分线的性质得到DF＝DM，根据邻补角的定义得到∠DAM＝60°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝60°，推出DE平分∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEB＝90°，得到∠DEF＝45°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠DAM＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝60°，∴∠DAM＝∠BAE，∴DM＝DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠B＝∠ACB＝30°，∴∠DCF＝15°，∴∠EDC＝30°，故答案为：30．【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．【分析】由已知可得S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC．根据三角形的面积公式和三边相等求证即可．【解答】解：∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC，∴12AH•BC=12OP•AB+12BC•OM又∵AB＝BC＝CA，∴OP+OM+ON＝AH．【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，∴12×8×DE+1∴8DE＝28．∴DE＝3.5．【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；（2）在（1）的条件下，AM+AN＝2AC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四边形ANPM的面积．【分析】（1）由点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根据角平分线的性质，可得PB＝PC，又由PM＝PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，则可证得结论；（2）由角平分线的性质易证得AB＝AC，又由AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC，即可证得结论；（3）由AC：PC＝2：1，PC＝4，即可求得AC的长，又由S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB，即可求得四边形ANPM的面积．【解答】解：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PM=PNPB=PC∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴BM＝CN；（2）∵∠APB＝90°﹣∠PAB，∠APC＝90°﹣∠PAC，∴∠APC＝∠APB，∵PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∴AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC＝2AC；故答案为：2；（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，∴AC＝8，∴AB＝AC＝8，PB＝PC＝4，∴S四边形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB=12AC•PC+12AB•PB【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝1：1；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝9．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴SABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴SABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质可得DM＝DN，线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM＝CN．【解答】解：BM＝CN．理由：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BMD与Rt△CND中∵BD=CD∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM＝CN．【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．（1）求证：BC＝CD．（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC＝CD；（2）过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根据等角的补角相等求出∠D＝∠CBF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝CF，然后利用“角角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】（1）证明：∵∠D＝∠B＝90°，∴CD⊥AD，CB⊥AB，∵AC平分∠BAD，∴BC＝CD；（2）解：一定相等．证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，∴∠CBF与∠ABC互补．∵∠B和∠D都是直角，互为补角，∴∠D＝∠CBF，又∵AC是∠BAD的平分线，∴CE＝CF，在Rt△BCF与Rt△DCE中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFB∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），∴BC＝CD．【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=12∠BAC=12×30°＝15°，∠FCA∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=1∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°−12（180°﹣∠B）＝90°+1∵∠B＝60°，∴∠AFC＝90°+1（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FM，∵∠EFH+∠DFH＝120°，∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，∴∠EFH＝∠DFG，在△EFH和△DFG中，∠EHF=∠DGF=90°∠EFH=∠DFG∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF＝DF．【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即为关于直线OP对称的全等三角形；（1）猜想FE＝FD；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD．【解答】解：图①如图所示；（1）FE＝FD；（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠FAC+∠FCA=1在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，∠EFG=∠DFHFG=FH∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD．【知识点3角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5角平分线的判定】【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？【分析】过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OF＝OG＝OH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．【解答】解：点O在∠A的平分线上．理由如下：如图，过点O作OF⊥AD于F，作OG⊥BC于G，作OH⊥AE于H，∵O是∠B、∠C外角的平分线的交点，∴OF＝OG，OG＝OH，∴OF＝OG＝OH，∴点O在∠A的平分线上．【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．【分析】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ＝PN即可．【解答】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM＝PN，∴PQ＝PN，∴点P在∠C的平分线．【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是①②③④．（填序号）【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．【解答】解：∵点P到AE、AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；∵点P到AE、BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；∵点P到AD、BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，④正确，故答案为：①②③④．【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD【解答】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM△DCE的面积为：12DN•CE∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【题型6角平分线的性质与判定综合】【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴EB⊥AB，∵EF⊥AD，∴AE是∠DAB平分线．【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【分析】（1）过P作PF⊥BE于F，由于BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，则根据角平分线的性质即可得到PH＝PF＝5cm；（2）连接AP，如图，根据角平分线的性质得PF＝PD，则PD＝PH，于是根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分∠HAD．【解答】（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH＝PF＝5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：连接AP，如图，∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF＝PD，∴PD＝PH，∴AP平分∠HAD．【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【分析】作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得出PM＝PN，PN＝PE，推出PM＝PE，根据角平分线性质推出即可．【解答】证明：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，∵PB、PC分别是△ABC的外角平分线，∴PM＝PN，PN＝PE，∴PM＝PE，∵PM⊥AC，PE⊥AB，∴点P在∠A的平分线上．【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交A