人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.7与轴对称图形有关的最值问题【八大题型】(学生版+解析)

专题13.7与轴对称图形有关的最值问题【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1垂线段最短】 1【题型2两点之间线段最短】 2【题型3平行线之间的距离】 4【题型4两动一定】 6【题型5两定一动(将军饮马)】 7【题型6两定两动型】 9【题型7两定一动(三点共线)】 10【题型8两动+定长】 11知识点1：垂线段最短【模型分析】如图，点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，则点P到直线l的距离为PH，即“垂线段最短”．【温馨提示】解决最值问题常遵循：一找、二证、三计算．【方法解读】若所求线段不能直接利用“垂线段最短求最值”，需将其转化到定点和动点之间的线段，可借助矩形的对角线相等或全等三角形的性质．【题型1垂线段最短】【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图，线段BC=10，A是线段BC外一点，连接AB、AC，D、E分别是AB、AC的中点，连接BE、CD交于点F．当四边形ADFE的面积为10时，线段AB的最小值为．【变式1-1】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，DE=4.2，则DF的长度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【变式1-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C和D，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（

）方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短D．方案一与方案二无法比较【变式1-3】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，钝角△ABC的面积为12，最长边AB=8，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是【题型2两点之间线段最短】【例2】（23-24八年级·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有A、B两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？【变式2-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资建一个蓄水池，不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H点位置，使它与四个村庄的距离之和最小．【变式2-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−1,0,3,0，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D，连接AC，BD,CD，直接写出点C的坐标______，D的坐标______及四边形（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1,l2是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到【变式2-3】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，点D、E是三角形ABC外的两点，请按要求完成下列问题．(1)请你判断线段BC+AC与AB的大小关系是；理由是；(2)①按要求将图形补充完整：连接线段BE，画射线ED、直线CD；②若在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N，并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长四边形BCDE的周长．（大于、小于或等于）(3)在四边形BCDE内找一点O，使它到四边形BCDE四个顶点的距离之和最小．（保留作图痕迹，找到点即可）【题型3平行线之间的距离】【例3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，l1//l2//l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连接AB、AC、BC，AC与A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-1】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．【变式3-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面积为18，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为【变式3-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+12CE

知识点2：两动一定【模型分析】问题：如图，直线AB、AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，求MP＋PN的最小值．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M′；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP＋PN的最小值为M′N：三计算．【题型4两动一定】【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）已知∠AOB=30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5 B．3 C．33 D．【变式4-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．4 B．6 C．7 D．9【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（）A．BC边上高的长 B．线段EF的长度C．BC边的长度 D．以上都不对【变式4-3】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6知识点3：两定一动已知：在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．【题型5两定一动(将军饮马)】【例5】（23-24八年级·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．【变式5-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'．(2)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【变式5-2】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．

(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若∠MON=30°，A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点知识点4：两定两动已知：在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．作出M点和N点．【题型6两定两动型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模拟）如图，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分别为CN、CM上的两个动点，则MP+PQ+QN的最小值为______．【变式6-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是．【变式6-2】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=4,AC−BC=2，则BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【变式6-3】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分别为射线BC与射线AC【题型7两定一动(三点共线)】【例7】（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM−DN的值最大时，∠ACE的度数为．【变式7-1】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是．【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，AB=AC=4，在直线AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，连接AD，当AD最大时，∠ACD=．【变式7-3】（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【题型8两动+定长】【例8】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=2，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则DE+CF的最小值为．【变式8-2】（23-24八年级·湖北恩施·阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为．【变式8-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为专题13.7与轴对称图形有关的最值问题【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1垂线段最短】 2【题型2两点之间线段最短】 5【题型3平行线之间的距离】 9【题型4两动一定】 13【题型5两定一动(将军饮马)】 17【题型6两定两动型】 23【题型7两定一动(三点共线)】 29【题型8两动+定长】 34知识点1：垂线段最短【模型分析】如图，点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，则点P到直线l的距离为PH，即“垂线段最短”．【温馨提示】解决最值问题常遵循：一找、二证、三计算．【方法解读】若所求线段不能直接利用“垂线段最短求最值”，需将其转化到定点和动点之间的线段，可借助矩形的对角线相等或全等三角形的性质．【题型1垂线段最短】【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期末）如图，线段BC=10，A是线段BC外一点，连接AB、AC，D、E分别是AB、AC的中点，连接BE、CD交于点F．当四边形ADFE的面积为10时，线段AB的最小值为．【答案】6【分析】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出△ABC的面积．【详解】解：过A作AH⊥BC于H，连接AF，延长AF交BC于M，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴△ABE的面积=△ABC面积的一半，△BCD的面积=ABC面积的一半，∴△ABE的面积=△BCD的面积，∴△BCF的面积=四边形ADFE的面积=10，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴△BDF的面积=△ADF的面积，△CEF的面积=△AEF的面积．∴△BDF的面积+△CEF的面积=△ADF的面积+△AEF的面积=四边形ADFE的面积=10，∴△ABC的面积=10×3=30，∴△ABC的面积=1∵BC=10，∴AH=6，∵AB≥AH，∴线段AB的最小值是6．故答案为：6．【变式1-1】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，DE=4.2，则DF的长度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．【详解】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：∵OD平分∠AOB，DE⊥AO∴DH=DE=4.2，∵F是射线OB上的任一点，∴DF≥4.2，∵3.69<4.2，∴DF的长不能为3.69．故选：C．【变式1-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C和D，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（

）方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短D．方案一与方案二无法比较【答案】C【分析】本题考查垂线段的性质，即垂线段最短．根据垂线段最短可得CE<CP，DF<DP，进而得出结论．解题的关键是掌握：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．【详解】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE<CP，DF<DP，∴CE+DF<CP+DP，∴按照方案一铺设管道的长度比按照方案二铺设管道的长度更短，∵铺设管道单位长度的造价均相同，∴方案一比方案二省钱．故选：C．【变式1-3】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，钝角△ABC的面积为12，最长边AB=8，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是【答案】3【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则当点C，M，N三点重合时，CM+MN取得最小值，最小值为CE的长．再根据三角形的面积公式求出CE的长，即可．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，CE⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴CM+MN=CM+ME≥CE，即当点C，M，N三点重合时，CM+MN取得最小值，最小值为CE的长．∵△ABC的面积为12，最长边AB=8，∴12CE×AB=12，即∴CE=3即CM+MN的最小值为3．故答案为：3．【题型2两点之间线段最短】【例2】（23-24八年级·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有A、B两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？【答案】见解析【分析】此题主要考查了轴对称作图与应用设计，作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，交直线l于点C，点C【详解】解：如图，作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，交直线l由作图可知：CA=CA∴CA+CB=C要使的从点A1到点B的路程最短，根据两点之间线段最短，连接A1B，交直线l于点C故加工厂应该建在C处．【变式2-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资建一个蓄水池，不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H点位置，使它与四个村庄的距离之和最小．【答案】答案见解析【分析】本题属于最短路线问题，解决此类题目的关键是掌握最有关短路径的知识点．依据“两点之间线段最短”直接连接线段AD和BC，其交点H即为所求的点．【详解】解：如下图所示，连接线段AD和BC，应把蓄水池建在交点上，因为这样H点既在线段AD上，又在线段BC上，由“两点之间，线段最短"可知，此时蓄水池与四个村庄的距离之和最小．【变式2-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−1,0,3,0，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D，连接AC，BD,CD，直接写出点C的坐标______，D的坐标______及四边形（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1,l2是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到【答案】（1）0，【分析】本题考查坐标与图形性质；点的平移和三角形的面积,解答的关键得到四边形ACDB是平行四边形，（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；由S四边形ABDC=AB⋅CO（2）沿竖直方向向下平移点A，使得平移的距离等于桥长，再根据两点之间线段最短，确定桥的位置即可；【详解】解：（1）依题意，得C0∴S四边形（2）如图，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点A1，连接A1B，与街道l2交于点P，过【变式2-3】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，点D、E是三角形ABC外的两点，请按要求完成下列问题．(1)请你判断线段BC+AC与AB的大小关系是；理由是；(2)①按要求将图形补充完整：连接线段BE，画射线ED、直线CD；②若在四边形BCDE的边BC、CD、DE、EB上任取一点，分别为点K、L、M、N，并顺次连接它们，则四边形KLMN的周长四边形BCDE的周长．（大于、小于或等于）(3)在四边形BCDE内找一点O，使它到四边形BCDE四个顶点的距离之和最小．（保留作图痕迹，找到点即可）【答案】(1)BC+AC>AB；两点之间线段最短(2)①见解析；②小于(3)见解析【分析】本题考查直线、射线、线段等的作图以及两点之间、线段最短：（1）根据两点之间线段最短判断即可；（2）根据直线，射线，线段的定义以及题目要求作出图形即可；（3）连接BD、CE，交于点O，根据两点之间线段最短即可判断点即为所求．解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活应用所学知识解决问题．【详解】（1）解：根据两点之间线段最短得：BC+AC>AB，故答案为：BC+AC>AB；两点之间线段最短．（2）①如图所示，线段BE，射线ED、直线CD即为所求；②如图：∵KN<BK+BN，KL<CK+CL，ML<DL+DM，MN<EM+EN，∴KN+KL+ML+MN<BE+BC+DE+DC，即：四边形KLMN的周长小于四边形BCDE的周长，故答案为：小于．（3）连接BD、CE，交于点O，根据两点之间线段最短可知，OB+OE+OC+OD=BD+CE，即：此时点O四边形BCDE四个顶点的距离之和最小，如图所示，点O即为所求．【题型3平行线之间的距离】【例3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，l1//l2//l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l1，l2，l3上的动点，连接AB、AC、BC，AC与A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．【详解】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC∴BD的最小值为2．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式3-1】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为．【答案】4【分析】根据三角形的面积公式求得CD，再根据角平分的性质求得DE，根据平行线之间的距离可得AP的最小值．【详解】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，∴12BC⋅CD=16,即作DE⊥AB，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE=CD=4,∵直线l∥AB，∴AP最小值与DE相等为4，故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．【变式3-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面积为18，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为【答案】6【分析】连接AQ，过点D作DH⊥BC于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得：PB+PQ=AP+PQ≥AQ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是AQ⊥BC时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．【详解】解：连接AQ，过点D作DH⊥BC于H．∵△DBC面积为18，BC=6，∴12∴DH=6，∵MN垂直平分线段AB，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，∵AD//∴AQ=DH=6，∴PB+PQ的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．【变式3-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+12CE

【答案】3【分析】过C作CG∥AB，过C作CH⊥AB，过D作CG的垂线交CG于点F交AC于点E，即可得到答案；【详解】解：过C作CG∥AB，过D作CG的垂线交CG于点F，∵CG∥AB，∠CAB=30°，DF⊥CG，∴EF=1∴DF即为DE+1∵CH⊥AB，DF⊥CG，CG∥AB，∴DF=CH，∠AHC=90°，∵∠CAB=30°，AC=6，∴CH=1故答案为：3；

【点睛】本题考查30°角所对直角边等于斜边一半及平行线间距离处处相等且最短．知识点2：两动一定【模型分析】问题：如图，直线AB、AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，求MP＋PN的最小值．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M′；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP＋PN的最小值为M′N：三计算．【题型4两动一定】【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）已知∠AOB=30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（）A．1.5 B．3 C．33 D．【答案】B【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等边三角形DOE，求出DE=3，求出△PMN的周长【详解】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时连接OD，∵P、D关于OA对称，∴OD=OP，同理OE=OP，∴OD=OE=OP，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB=2×30°=60°，∵OD=OE，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OD=OP，∵△PMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3，∴OP=3故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形．【变式4-1】（23-24八年级·安徽淮北·期末）如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】A【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面积为18，AB=9，∴12∴CP=4．即CE+EF的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（）A．BC边上高的长 B．线段EF的长度C．BC边的长度 D．以上都不对【答案】A【分析】作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，根据等边三角形的性质可得DE+DF=AD，进而得结论．【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，当DE⊥AB、DF⊥AC时，线段DE+DF有最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴.DE=1∴DE+DF=AD，∴线段DE+DF的最小值是BC边上高的长．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．【变式4-3】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短；过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，根据等面积法，可得BH=4.8．作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'N【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'由作图可知，AD平分∠BAC，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴4×6=5BH，∴BH=4.8．∵AB=AC，AD⊥BC，作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'∴M'∴BH=BM则BM+MN的最小值为4.8．故选C．知识点3：两定一动已知：在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．【题型5两定一动(将军饮马)】【例5】（23-24八年级·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．【答案】4【分析】由线段垂直平分线的性质可得BP=PC，可得当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值为AC的长．【详解】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP=PC，∴PA+BP=AP+PC，∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值为AC=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式5-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'．(2)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB'C'即为所求．

（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE=AE=3，∴∠BAE=∠B=30°∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°在Rt△CAE中，∠C=30°∴CE=2AE=6∴BC=BE+CE=3+6=9（2）解：如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，∵PA=PB∴PA+PC=PB+PC根据两点之间线段最短则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）已知点P在∠MON内．

(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接①若∠MON=30°，则△OGH是什么特殊三角形？为什么？②若∠MON=90°，试判断GH与OP的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若∠MON=30°，A、B分别是射线OM、ON上的点，AB⊥ON于点B，点P、Q分别为OA、AB上的两个定点，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一动点【答案】(1)①△OGH是等边三角形，理由见解析；②GH=2OP，理由见解析(2)PE+QE的最小值为5．【分析】（1）①由轴对称的性质可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出△OGH是等边三角形；②当∠MON=90°时，∠GOH=180°，G、O、H在同一直线上，由此可得GH与OP的数量关系；（2）过Q作ON的对称点Q'，连接PQ'，交ON于点E，连接QE，则PE+QE的最小值为PQ'，由已知条件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【详解】（1）解：①△OGH是等边三角形，∵点P关于OM对称的点为G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等边三角形．②GH=2OP，当∠MON=90°时，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直线上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：过Q作ON的对称点Q'，连接PQ'，交ON于点E

∴PE+QE最小值为PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵点Q与Q'关于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值为5．【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．知识点4：两定两动已知：在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．作出M点和N点．【题型6两定两动型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模拟）如图，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分别为CN、CM上的两个动点，则MP+PQ+QN的最小值为______．【答案】4

【解析】解：如图，连接AQ，BP，

∵CA=CN，∠ACM=∠MCN=30°，CQ=CQ，

∴△ACQ≌△NCQ(SAS)，

∴AQ=QN，

同理可得：BP=PM，

∴MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，

∴当点B，点P，点Q，点A共线时，BP+PQ+AQ有最小值，即BP+PQ+AQ最小值为AB的长度，

∴MP+PQ+QN有最小值为4，

故答案为：4．

由“SAS”可证△ACQ≌△NCQ，可得AQ=QN，BP=PM，由MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，可得当点B，点P，点Q，点A共线时，BP+PQ+AQ有最小值，即可求解．

本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，证明AQ=NQ，BP=PM是本题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是．【答案】10【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此AM＋MN＋【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，∴AM=A1M∴AM＋∴AM＋MN＋EN的最小值是A1∵AD＝AB＝4，E是AD中点，∴AB=A1B=4∴AA1=8∵∠BAD＝90°，∴A1故答案为：10．【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．【变式6-2】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE和BF，若AE=CF，AC−AB=4,AC−BC=2，则BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【答案】B【分析】如图，连接DF，BD，由全等三角形判定SAS可以证得△ABE≌△CDF，得到DF=BE，进而得到BE+BF≥BD，再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．【详解】解：如图，连接DF，BD，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDFSAS∴BE=DF，∵BF+DF≥BD，∴BE+BF≥BD，又∵AC，BD为矩形的对角线，∴AC=BD∴BE+BF≥AC，∵△ABC是直角三角形，AC−AB=4,AC−BC=2，∴AB∴解得AC=10，或AC=2∵AC−BC=2，则AC=2不符合题意，∴AC=10，∴BE+BF≥10，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．【变式6-3】（23-24八年级·广东江门·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分别为射线BC与射线【答案】3【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF，证明△ABE≌△BFD得出BF=BEAD+BE=AD+DF≥AF，则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长，【详解】解：如图，过点B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，过点A作AG⊥GF于点G，连接DF，在△ABE,△BFD中，AE=BD∠EAB=∠DBF∴△ABE≌△BFDSAS∴DF=BE，∴AD+BE=AD+DF≥AF，则当D在线段AF上时，AD+BE取的最小值，最小值为AF的长，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=20∴BC=∵S△ABC∴BG=AB×AC在Rt△ABG中，AG=∴FG=GB+BG=4+5=9，∴AF=A故答案为：310【题型7两定一动(三点共线)】【例7】（23-24八年级·浙江宁波·开学考试）如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM−DN的值最大时，∠ACE的度数为．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点B作BH直线l于点H．证明DN=BH，推出AM与AB重合时，AM−DN的值最大，此时|AM−DN|=AB，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．【详解】解：如图，过点B作BH直线l于点H．∵DN⊥直线l，BH⊥直线l，∴∠DNC=∠BHC，∵∠DCN=∠BCH，BC=CD，∴△CDN≌△CBHASA∴BH=DN，∴AM−DN∵AM与AB重合时，|AM−BM|的值最大，∴当DN与DP重合，AM与AB重合时，AM−DN=AM−BH的值最大，此时∵∠ABC=100°，∴∠CBM=180°−100°=80°，∵AM⊥CE，∴∠AMC=90°，∴∠BCM=90°−80°=10°，又∵AB=BC，∴∠ACB=(180°−100°)÷2=40°，∴∠ACE=180°−∠ACB−∠BCM=180°−40°−10°=130°，故答案为：130°．【变式7-1】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是．【答案】3【分析】连接PC，则BP=CP，BP−PE=CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．【详解】解：连接PC，∵在等边△ABC中，AB=6，P是△ABC的中线AD上的动点，∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴BP−PE=CP-PE，∵在△CPE中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，∵E是AC边的中点，∴BP−PE的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到BP−PE=CP-PE，是解题的关键．【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，AB=AC=4，在直线AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，连接AD，当AD最大时，∠ACD=．【答案】45°【分析】构造等腰ΔABK，如图1，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，则ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK，当C、A、K三点共线时，AD【详解】解：如图1，构造等腰ΔABK，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，则ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK∴当C、A、K共线时，AD最大，此时，如图2所示，AC=AB=BK，∠ABK=120°，则∠BAK=30°，∴∠ACB=15°，∵BC=BD，∠DBC=120°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=15°+30°=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线，找出当AD最大时的图形．【变式7-3】（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析；QB−QA最大值为3【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA1，则|QB−QA=QB−QA1|，而由三角形的三边关系可得