人教版七年级数学下册举一反三专题8.1二元一次方程组的解法【十大题型】(学生版+解析)

专题8.1二元一次方程组的解法【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】 1【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】 2【题型3二元一次方程组的一般解法】 3【题型4换元法解二元一次方程组】 4【题型5判断二元一次方程组的解的情况】 5【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 5【题型7同解方程组中求字母的值】 6【题型8二元一次方程有唯一解】 6【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】 6【题型10二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 7【知识点1二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】【例1】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（

）①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（

）A．3x+2=−7 B．x+3=5y C．1x−y 【变式1-2】（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）若mx−3y=2x−7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（

）A．m≠0 B．m≠2 C．m≠−1 D．m≠3【变式1-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组x+ya−2【知识点2二元一次方程（组）的解】二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】【例2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（

A．4 B．5 C．7 D．9【变式2-1】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于x，y的方程组2x−y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为【变式2-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（

A．5 B．6 C．7 D．8【知识点3二元一次方程组的解法】1.代入消元法①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.2.加减消元法①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.【题型3二元一次方程组的一般解法】【例3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）解方程组：(1)2x+y=4x=y−1(2)3x−y=135x+2y=7【变式3-1】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期末）解方程组：①x=2y3x−5y=9②4x−2y=73x+2y=10③4x+5y=92x−3y=7④x+y=0A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法C．②③用代入法，①④用加减法 D．①④用代入法，②③用加减法【变式3-2】（2023春·山西阳泉·七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程组：x+3y=1,现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③−②任务：(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．A．转化

B．公理化

C．演绎

D．数形结合【变式3-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x【题型4换元法解二元一次方程组】【例4】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1请用上述方法解方程组2x−3y+2=0【变式4-1】（2023春·山西忻州·七年级统考期末）综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【变式4-2】（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x−y−5=0①3x−y+2y=9②时，可由①得x−y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=−利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y−6【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：解方程组a−1解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=6解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m−1(2)用换元法解方程组：2【题型5判断二元一次方程组的解的情况】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=【变式5-1】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,cA．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）若方程组y=kx+by=3k−1x+2有无穷多组解，则【变式5-3】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（

A．0 B．1 C．2 D．3【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】【例6】（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b【变式6-1】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b【变式6-2】（2023春·湖南·七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（aA．x=4y=−7 B．x=2y=−7 C．x=2y=−4【变式6-3】（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=4y=−2【题型7同解方程组中求字母的值】【例7】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x−2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（A．p=1q=2 B．p=−4q=−6 C．p=−6q=2【变式7-1】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和−x+5y=35x+by=8同解，则a+b=【变式7-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3(1)求这个相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．【变式7-3】（2023春·四川自贡·七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x−y=4A．x+y=5 B．2x−y=4C．x+y−52+2x−y−4【题型8二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a−2)x+(a+1)y+8−a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（

）A．x=3y=−2 B．x=2y=−1 C．x=4y=6【变式8-1】（2023春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为．【变式8-2】（2023春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是．【变式8-3】（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n−8+λ4m+3n−7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】【例9】（2023春·江苏·七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x−1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3【变式9-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）小刚解出了方程组3x−y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为【变式9-2】（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是【变式9-3】（2023春·江西·七年级校考阶段练习）已知方程组2x+my=10 ①nx−2y=−6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数【题型10二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】【例10】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）若方程组3x−y=4k−102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于【变式10-1】（2023春·广西贵港·七年级统考期中）若关于x、y的方程组2x+y=1−3k①x+2y=2②的解互为相反数，则kA．k=−1 B．k=0 C．k=1 D．k=2【变式10-2】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）已知关于x,y的方程3x−2y=2k+1和y−2x=4的公共解满足x−y=3，则k=．【变式10-3】（2023春·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考期末）如果关于未知数x和y的二元一次方程组ax+by=2ex+fy=1（abef≠0）的解满足：x+2y=5，那么关于未知数x1和y1的二元一次方程组2ax1A．−20 B．2 C．5 D．10专题8.1二元一次方程组的解法【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】 1【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】 3【题型3二元一次方程组的一般解法】 6【题型4换元法解二元一次方程组】 9【题型5判断二元一次方程组的解的情况】 12【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】 14【题型7同解方程组中求字母的值】 16【题型8二元一次方程有唯一解】 18【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】 20【题型10二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 23【知识点1二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。【题型1二元一次方程（组）的概念辨析】【例1】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（

）①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的为（

）A．3x+2=−7 B．x+3=5y C．1x−y 【答案】B【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．【详解】解：A．3x+2=−7只有一个未知数，故A选项不符合题意；B．x+3=5y，B选项符合题意；C．1xD．23故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式1-2】（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）若mx−3y=2x−7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（

）A．m≠0 B．m≠2 C．m≠−1 D．m≠3【答案】B【分析】首先把所给的方程化为m−2x−3y+7=0，然后根据二元一次方程的定义可得x和y的系数不为零，即可求得m【详解】解：∵mx−3y=2x−7，∴m−2x−3y+7=0根据二元一次方程的定义可得：∴m−2≠0，∴m≠2，故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键．【变式1-3】（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组x+ya−2【答案】−3或3或2或−2【分析】根据二元一次方程组的定义得到a−2=1或a−2=0，然后解方程与不等式即可得到满足条件的【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，∴a−2=1或a∴a=−3或3或2或−2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．【知识点2二元一次方程（组）的解】二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【题型2根据二元一次方程（组）的解求字母的值】【例2】（2023春·四川泸州·七年级统考期末）若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（

A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=17得3a+2b=17，再根据a，b是正整数，可得a、b【详解】解：把x=3y=2代入二元一次方程ax+by=173a+2b=17，∵a，b是正整数，∴a=1b=7或a=3b=4或∴a+b=8或7或6，故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整数解，理解方程解的意义是解答本题的关键．【变式2-1】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于x，y的方程组2x−y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】把x与y的值代入方程计算求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：把x=1y=3代入方程组得：2x−y=m解得：m=−1，n=−2，则原式=−1−2故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和绝对值，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为【答案】-4035【分析】方程组的两个方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可．【详解】解：2x−y=−2018①−x+2y=−2017②①+②得：x+y=-4035，∵二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=a∴a+b=-4035，故答案为：-4035．【点睛】题考查了解二元一次方程组和二次一次方程组的解，能选择适当的方法解二元一次方程组是解此题的关键．【变式2-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期末）若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可．【详解】解：∵x=ay=b是方程3x+y=1∴3a+b=1，∴9a+3b=3，∴9a+3b+4=7，故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．【知识点3二元一次方程组的解法】1.代入消元法①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.2.加减消元法①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.【题型3二元一次方程组的一般解法】【例3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）解方程组：(1)2x+y=4x=y−1(2)3x−y=135x+2y=7【答案】(1)x=1(2)x=3【分析】（1）利用代入消元法，把②代入①求出y的值，再将y的值代入②求出x的值即可；（2）利用加减消元法，①×2得出的式子再加②即可求出x的值，再将x的值代入①求出y【详解】（1）解：2x+y=4①把②代入①得：2y−1解得：y=2，把y=2代入②得：x=2−1=1，故原方程组的解是：x=1y=2（2）3x−y=13①①×2得：6x−2y=26③②+③得：解得：x=3，把x=3代入①得：9−y=13，解得：y=−4，故原方程组的解是：x=3y=−4【点睛】本题主要考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．【变式3-1】（2023春·湖北咸宁·七年级统考期末）解方程组：①x=2y3x−5y=9②4x−2y=73x+2y=10③4x+5y=92x−3y=7④x+y=0A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法C．②③用代入法，①④用加减法 D．①④用代入法，②③用加减法【答案】D【分析】根据代入消元法和加减消元法的特性选择适宜方法，转化一元一次方程，即可解得方程组的解．【详解】解：①中的第一个方程为x=2y，显然可用代入法；②中的y的系数互为相反数，显然用加减法；③中的第二个方程可以乘以2得4x−6y=14，即可用加减法进行消元；④中的第一个方程可以转化为x=−y，即可用代入法进行消元．①④用代入法，②③用加减法选第二个答案．故答案选D．【点睛】根据代入消元法和加减消元法的定义，细心观察方程组的特点，灵活选择简便方法是解题的关键．是否熟练掌握代入消元法（即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解）和加减消元法（即将其中一个未知数的系数化为相同或相反时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程）是解题的重点．【变式3-2】（2023春·山西阳泉·七年级统考期末）下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程组：x+3y=1,现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③−②任务：(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．A．转化

B．公理化

C．演绎

D．数形结合【答案】(1)一，代入消元法（或二，加减消元法）(2)见解析(3)A【分析】（1）根据自己的意愿选择思路即可；（2）根据（1）根据中选择的思路解方程组即可；（3）根据（3）中解方程组的过程即可得出答案．【详解】（1）解：一，代入消元法（或二，加减消元法）；（2）解：思路一：由①得：x=1−3y③将③代入②得：3(1−3y)+y=−5，解得：y=1；将y=1代入③，得x=−2，所以原方程组的解为x=−2y=1思路二：①×3，得3x+9y=3③−②，得解得：y=1，将y=1代入①，得x=−2，所以原方程组的解为x=−2y=1（3）解：根据（2）中解二元一次方程组中体现的数学思想是转化，故答案为：A．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．【变式3-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x【答案】x=1【分析】先将原方程组化简，使得含未知数的各项系数均为整数，再将化简后的一个方程进行变形，然后用代入消元法进行求解．【详解】解：原方程组化简，得15x+8y=31,由①得y=31−15x把③代入②，得10x−9×31−15x解这个方程，得x＝把x＝1代入③，得所以这个方程组的解是x=1【点睛】本题考查了解二元一次方程组，化简原方程组是解题的关键．【题型4换元法解二元一次方程组】【例4】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1请用上述方法解方程组2x−3y+2=0【答案】x=5【分析】将①变形为2x−3y=−2③，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入③，即可求出x【详解】解：2x−3y+2=0由①得，2x−3y=−2③代入②得5+27解得y=4，把y=4代入③得，2x−3×4=−2，解得x=5．故原方程组的解为x=5y=4【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键．【变式4-1】（2023春·山西忻州·七年级统考期末）综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x+3y3观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y【答案】（1）m3+n8【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为m3解关于m，n的方程组，得m=18n=16所以4x+3y=186x−y=16解方程组，得x=3y=2故答案为：m3+n（2）设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13解关于m，n的方程组，得m=8n=−1所以2x+y=8x−2y=−1解方程组，得x=3y=2【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．【变式4-2】（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）阅读材料：解方程组x−y−5=0①3x−y+2y=9②时，可由①得x−y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=−利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y−6【答案】x=−【分析】由③得：3x+y=−1，把3x+y=−1代入④可求出y，把y=4代入③即可求出x【详解】解：3x+y+1=0可由③得：3x+y=−1，把3x+y=−1代入④得：−1−67+2y=7，解得：把y=4代入③得：x=−∴方程的解为x=−5【点睛】本题考查新定义下的计算，读懂题意是关键．【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）先阅读下列材料；再解决相关问题：解方程组a−1解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可转化为x+2y=6解方程组得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，所以(1)如果用换元法解方程组：1m+1n=2,1m−1(2)用换元法解方程组：2【答案】(1)1m,(2)a=9【分析】（1）观察方程组的特点，可以设x=1（2）设x=a【详解】（1）解：用换元法解方程组：1m+1则该方程组可以转化为关于x、y的方程组x+y=2x−y=7故答案为：1m,1（2）设x=a则原方程组可以转化为关于x、y的方程组2x+3y=75x−2y=8解这个方程组，得x=2y=1即a3解得a=9b=−5【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键．【题型5判断二元一次方程组的解的情况】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=【答案】当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．【详解】解：y=kx+b①−②可得：kx+b=（1）当2k−1≠0时，即k≠12，方程2k−1x=b−2（2）当2k−1=0，b−2≠0时，即k=12，b≠2，方程2k−1x=b−2（3）当2k−1=0，b−2=0时，即k=12，b=2，方程2k−1x=b−2综上，当k≠12时，方程组有唯一解；当k=12，b≠2时，方程组无解；当【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．【变式5-1】（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,cA．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1【答案】A【分析】先消去y，得到关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．【详解】x+y=1①ax+by=c②②-①×b得：a−bx=c−b∴x=c−b要使方程有唯一解，则a≠b，故选：A．【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组以及解一元一次方程，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）若方程组y=kx+by=3k−1x+2有无穷多组解，则【答案】5【分析】方程组有无数解，则这个方程组包含两个相同方程．【详解】解：由题意知，方程组包含的两个方程是同一个方程等式，∴k=3k−1，b=2，解得∴2k+b故答案为5．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组有无数解是解题关键．【变式5-3】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①将k=5代入，得到方程组3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判断；②解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=【详解】解：∵当k=5时，方程组为3x+5y=63x+5y=10∵解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=把x=23，y=4∵解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−又∵k为整数，若y是整数，则k−5=4，−4，2，−2，1，−1此时x不是整数，∴x、y不能均为整数，故③正确．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【题型6已知一个方程组的解求另一个方程组的解】【例6】（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b【答案】x=−2020【分析】设x+2022=my−2022=n，可得m=2【详解】解：设x+2022=my−2022=n由a1a1因为方程组a1x+b所以m=2n=−1是方程组a所以x+2022=2y−2022=−1解得x=−2020y=2021故答案：x=−2020y=2021【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．【变式6-1】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b【答案】x=−10【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可．【详解】解：∵方程组a1x+b∴−6a∵3a1x+4∴35解得：x=−10y=5故答案为：x=−10y=5【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式6-2】（2023春·湖南·七年级期末）若关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（aA．x=4y=−7 B．x=2y=−7 C．x=2y=−4【答案】A【分析】根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为x=3+1【详解】解：∵关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2∴方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为x=3+1y=3−2×5，即故选：A．【点睛】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键．【变式6-3】（2023春·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=4y=−2【答案】C【分析】根据题意，可得：12【详解】解：∵关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1∴方程组12ax+y解得：x=4y=−2故选C．【点睛】本题考查解二元一次方程组．解题的关键是得到12【题型7同解方程组中求字母的值】【例7】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已知方程组5x+y=3px+5y=4和x−2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（A．p=1q=2 B．p=−4q=−6 C．p=−6q=2【答案】D【分析】由题意解方程组5x+y=3x−2y=5，把求得的解代入方程组5x+qy=1【详解】解：解方程组5x+y=3x−2y=5，得：x=1把x=1y=−2代入5x+qy=1px+5y=4中，得解得：p=14q=2故选：D．【点睛】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是本题的关键与难点．【变式7-1】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和−x+5y=35x+by=8同解，则a+b=【答案】0【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得x=2y=1【详解】解：由题意，得4x+y=9求解得，x=2y=1代入ax+3y=7得，2a+3=7，解得a=2，代入5x+by=8得，10+b=8，解得b=−2，∴a+b=0．故答案为：0．【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键．【变式7-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3(1)求这个相同的解；(2)求m、n的值；(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．【答案】(1)x=2(2)m=6(3)对，见解析【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．【详解】（1）由题意可得：x+y=1x−y=3解得x=2y=−1（2）将x=2y=−1代入含有m，n解得：m=6n=4（3）将x=2y=−1代入3+a3+a×2+化简得：6+2a−2a−1=5，即5=5．所以无论a取何值，x=2y=−1都是方程3+a【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．【变式7-3】（2023春·四川自贡·七年级统考期末）下列方程中，与方程组x+y=52x−y=4A．x+y=5 B．2x−y=4C．x+y−52+2x−y−4【答案】C【分析】利用方程组的定义，结合非负数的性质，有理数的乘法分别分析即可.【详解】解：A、x+y=5是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；B、2x−y=4是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；C、∵x+y−52+2x−y−4D、∵2x−y−4x+y−5=0，∴2x−y−4=0或故选C.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及非负数的性质，掌握方程组的解的定义是解题的关键.【题型8二元一次方程有唯一解】【例8】（2023春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程(a−2)x+(a+1)y+8−a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（

）A．x=3y=−2 B．x=2y=−1 C．x=4y=6【答案】A【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0．【详解】解：方程整理为ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．∵无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，∴x+y−1=0−2x+y+8=0解得：x=3y=−2故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键．【变式8-1】（2023春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为．【答案】x=4【分析】根据题意先给a取任意两个值，然后代入，得到关于x、y的二元一次方程组，解之得到x、y的值，再代入原方程验证即可．【详解】∵无论a取何值，方程都有一个固定的解，∴a值可任意取两个值，可取a=0，方程为2x+3y−11=0，取a=1，方程为5x+y−21=0，联立两个方程解得x=4,y=1，将x=4,y=1代入(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，得(3a+2)×4−(2a−3)×1−11−10a=12a+8−2a+3−11−10a=0对任意a值总成立，所以这个固定解是x=4y=1故答案为：x=4y=1【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握带有参数的方程的解法是解答的关键．【变式8-2】（2023春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是．【答案】x=−4【分析】将等式移项，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：∵2x+3y−1−2k∴2x+3y−1=2k∵无论k取何值，等式2x+3y−1−2k∴2x+3y−1=0−4y+x+16=0解得：x=−4y=3故答案为：x=−4y=3【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．【变式8-3】（2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）在关于m，n的方程m+2n−8+λ4m+3n−7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n【答案】3【分析】要使λ无论取何值时，方程恒成立，必须满足m+2n−8=0且4m+3n−7=0联立方程组成方程组，解方程组得出m、n即可．【详解】解：由题意，得：m+2n−8=04m+3n−7=0解得：m=−2n=5∴m＋n＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是掌握方程为0的条件和根据题意正确列出二元一次方程组．【题型9二元一次方程组的错解和遮挡问题】【例9】（2023春·江苏·七年级专题练习）马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x−1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3【答案】28【分析】把方程组的解为x=1y=1代入y=kx+8，求出k，把k的值代入y=kx+b中，再把方程组的解为x=3【详解】解：由题意，方程y=kx+8的解为x=1y=1∴1=k+8，解得k=-7，当k=-7时，方程组y=kx+by=2x+1为y=−7x+b由于该方程组的解为x=3y=7所以7=-21+b∴b=28故答案为：28．【点睛】本题考查方程组的解和解一元一次方程．方程组的解是使方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，故可将所得方程组的解代入其中一个方程，依次求出对应的k和b．【变式9-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）小刚解出了方程组3x−y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为【答案】17，9【分析】把x=4代入3x−y=3中求出y，再把x，y代入另外一个不等式计算即可；【详解】将x=4代入3x−y=3，∴12−y=3，∴y=9，将x=4，y=9代入2x+y=△中，∴△=8+9=17；故答案是：17，9．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．【