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专题24.2垂径定理及其推论【十大题型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1由垂径定理及其推论判断正误】 1【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】 2【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】 3【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 5【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 6【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 7【题型7垂径定理的实际应用】 8【题型8垂径定理在格点中的运用】 9【题型9利用垂径定理求整点】 11【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 12【知识点1垂径定理及其推论】(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】(2023春·九年级单元测试)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确的是()A.AE=BE B.AD=BD C.OE=DE 【变式1-1】(2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习)在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错【变式1-2】(2023春·全国·九年级专题练习)下列命题正确的是(
)A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线经过圆心C.平分弦的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【变式1-3】(2023·福建三明·泰安模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是()A.DE=BE B.BCC.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】(2023·贵州遵义·统考三模)在半径为r的圆中,弦BC垂直平分OA,若BC=6,则r的值是(
)
A.3 B.33 C.23 【变式2-1】(2023春·浙江·九年级统考阶段练习)如图,已知⊙O的半径为5,弦AB=8,点E在AB上运动,连结OE,过点E作EF⊥OE交⊙O于点F,当EF最大时,OE+EF的值为.【变式2-2】(2023·湖北孝感·校联考一模)如图,△ABC内接于⊙O,OC⊥OB,OD⊥AB于D交AC于E点,已知⊙O的半径为1,则AE2+CA.1 B.2 C.3 D.4【变式2-3】(2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)如图,在⊙O中,AB是直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,∠NPB=45°.(1)若AP=2,BP=6,求MN的长;(2)若MP=3,NP=5,求AB的长;(3)当P在AB上运动时(∠NPB=45°不变),PM【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】(2023春·江苏·九年级专题练习)如图,⊙O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE.若AE=1,AB=CD=6,则
A.22 B.32 C.42【变式3-1】(2023春·全国·九年级专题练习)如图,AB为圆O直径,F点在圆上,E点为AF中点,连接EO,作CO⊥EO交圆O于点C,作CD⊥AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.【变式3-2】(2023·上海·统考中考真题)已知:在圆O内,弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点,联结MN,OG.(1)求证:OG⊥MN;(2)联结AC,AM,CN,当CN//OG时,求证:四边形ACNM为矩形.【变式3-3】(2023春·江西赣州·九年级统考期末)按要求作图(1)如图1,已知AB是⊙O的直径,四边形ACDE为平行四边形,请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP;(2)如图2,已知AB是⊙O的直径,点C是BD的中点,AB∥CD,请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P,使四边形ABPD是平行四边形.【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】(2023春·九年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42,则aA.4 B.3+2 C.32 【变式4-1】(2023·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标是(8,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,求点C的坐标.【变式4-2】(2023·江苏南京·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.已知A(6,0),B(﹣2,0),C(0,3),则点D的坐标为.【变式4-3】(2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末)如图,在平面直角坐标系中,⊙O经过点0,10,直线y=kx+2k−4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的最小值是(
)A.62 B.103 C.8【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中,弦AB=12,弦CD=16,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离是【变式5-1】(2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习)如图,矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G,B,F,E,GB=5,EF=4,那么AD=.【变式5-2】(2023春·九年级课时练习)如图,AB,CD是半径为15的⊙O的两条弦,AB=24,CD=18,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,则PA+PC的最小值为.【变式5-3】(2023·全国·九年级专题练习)如图,A,B,C,D在⊙O上,AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与CD交于点E,已知⊙O半径为5.(1)若AB=6,CD=8,求EF的长;(2)若CD=46,且EF=BF,求弦AB【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】(2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)如图,两个圆都是以O为圆心.(1)求证:AC=BD;(2)若AB=10,BD=2,小圆的半径为5,求大圆的半径R的值.【变式6-1】(2023春·浙江台州·九年级统考期末)如图,一人口的弧形台阶,从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧.已知每个台阶宽度为32cm(即相邻两弧半径相差32cm),测得AB=200cm,AC=BD=40cm,则弧AB所在的圆的半径为cm【变式6-2】(2023春·九年级课时练习)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水面AB的宽度是()cm.A.6 B.42 C.43 【变式6-3】(2023·浙江杭州·九年级)如图,两个同心圆的半径分别为2和4,矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦,则矩形ABCD面积的最大值是.【题型7垂径定理的实际应用】【例7】(2023·浙江温州·校联考二模)如图,是某隧道的入口,它的截面如图所示,是由APB和直角∠ACB围成,且点C也在APB所在的圆上,已知AC=4m,隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m,则该道路的路面宽BC=m;在APB上,离地面相同高度的两点E,F装有两排照明灯,若E是AP的中点,则这两排照明灯离地面的高度是【变式7-1】(2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹);(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm,水面最深地方的高度为2【变式7-2】(2023春·河北邢台·九年级校联考期末)“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦AB为6米时,水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径;(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时,则水面下盛水筒的最大深度为多少米?【变式7-3】(2023·湖南·统考中考真题)问题情境:筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时120秒.问题设置:把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②,OM始终垂直于水平面,设筒车半径为2米.当t=0时,某盛水筒恰好位于水面A处,此时∠AOM=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.(参考数据,2≈1.414
问题解决:(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时,∠BOM的度数;(2)求该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离.(结果精确到0.1米)【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】(2023春·湖北武汉·九年级校联考期末)如图是由小正方形组成的7×6网格,每个小正方形的顶点叫做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.(1)在图(1)中,A,B,C三点是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使AD=BC;(2)在图(2)中,A,E,F三点是格点,⊙I经过点A.先过点F画AE的平行线交⊙I于M,N两点,再画弦MN的中点G.【变式8-1】(2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习)如图,平面直角坐标系中有一段弧经过格点(正方形网格交点)A、B、C,其中B2,3,则圆弧所在圆的圆心坐标为【变式8-2】(2023春·河南驻马店·九年级统考期末)小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图(网格中的每个小正方形边长为1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是.【变式8-3】(2023·北京·九年级专题练习)如图,在每个小正方形的边长为1cm的网格中,画出了一个过格点A,B的圆,通过测量、计算,求得该圆的周长是cm.(结果保留一位小数)【题型9利用垂径定理求整点】【例9】(2023春·九年级课时练习)如图,AB是⊙C的弦,直径MN⊥AB于点O,MN=10,AB=8,如图以O为原点建立坐标系.我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,则线段OC长是,⊙C上的整数点有个.【变式9-1】(2023春·全国·九年级统考期中)⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置.【变式9-2】(2023春·九年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).注:把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepoint(1)若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M,则点M的坐标为;(2)若画出该圆弧所在的圆,则在整个平面坐标系网格中该圆共经过格点.【变式9-3】(2023·湖南邵阳·校联考一模)⊙O的直径为10,弦AB=8,点P为AB上一动点,若OP的值为整数,则满足条件的P点有个.【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】【例10】(2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图,矩形ABCD的顶点A,C在半径为5的⊙O上,D2,1,当点A在⊙O上运动时,点C也随之运动,则矩形ABCD的对角线AC的最小值为(
A.25 B.10−5 C.10+5【变式10-1】(2023·广东佛山·统考二模)如图,⊙O的半径为5cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,则OP的长度范围是(A.8≤OP≤10 B.5≤OP≤8 C.4≤OP≤5 D.3≤OP≤5【变式10-2】(2023春·浙江金华·九年级统考期中)如图,⊙O的半径OF⊥弦AB于点E,C是⊙O上一点,EF=2,AB=12,CE的长的最大值为.【变式10-3】(2023春·全国·九年级专题练习)如图,以G0,1为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,则弦AB的长度为;当点E在⊙G的运动过程中,线段FG的长度的最小值为专题24.2垂径定理及其推论【十大题型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【题型1由垂径定理及其推论判断正误】 1【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】 3【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】 8【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 14【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 19【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 23【题型7垂径定理的实际应用】 27【题型8垂径定理在格点中的运用】 33【题型9利用垂径定理求整点】 38【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 41【知识点1垂径定理及其推论】(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
推论3:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】(2023春·九年级单元测试)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确的是()A.AE=BE B.AD=BD C.OE=DE 【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可;【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E,则由垂径定理可得,AE=BE,AD=BD,AC=BC,故选项A,B,D正确;故选C.【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用,准确分析判断是解题的关键.【变式1-1】(2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习)在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也相等,可判断甲命题;由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦;故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中,弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式1-2】(2023春·全国·九年级专题练习)下列命题正确的是(
)A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线经过圆心C.平分弦的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可.【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧,正确;B、弦的垂直平分线经过圆心,正确;C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误;D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦,正确;故选ABD.【点睛】本题考查了垂径定理:熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键.【变式1-3】(2023·福建三明·泰安模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论正确的是()A.DE=BE B.BCC.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形【答案】B【详解】试题分析:∵AB⊥CD,AB过O,∴DE=CE,BC=根据已知不能推出DE=BE,△BOC是等边三角形,四边形ODBC是菱形.故选B.【考点】垂径定理.【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】(2023·贵州遵义·统考三模)在半径为r的圆中,弦BC垂直平分OA,若BC=6,则r的值是(
)
A.3 B.33 C.23 【答案】C【分析】设BC、OA交于D,根据题意和垂径定理得到OD=12r,BD=3【详解】解:设BC、OA交于D,∵弦BC垂直平分OA,BC=6,∴OD=1在Rt△OBD中,由勾股定理得O∴r2解得r=23故选C.
【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理,利用方程的思想求解是解题的关键.【变式2-1】(2023春·浙江·九年级统考阶段练习)如图,已知⊙O的半径为5,弦AB=8,点E在AB上运动,连结OE,过点E作EF⊥OE交⊙O于点F,当EF最大时,OE+EF的值为.【答案】7【分析】当OE⊥AB,EF最大,即点F与点B重合,过O作OE⊥AB于E,连接OB,根据垂径定理得到BE=4,根据勾股定理得到OE=OB【详解】解:当OE⊥AB,EF最大,即点F与点B重合,过O作OE⊥AB于E,连接OB,∵AB=8,∴BE=4,∵OB=5,∴OE=OB∴OE+EF=OE+OB=7,故答案为7.【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】(2023·湖北孝感·校联考一模)如图,△ABC内接于⊙O,OC⊥OB,OD⊥AB于D交AC于E点,已知⊙O的半径为1,则AE2+CA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】连接BE,根据垂径定理得到AD=DB,得到EA=EB,∠EAO=∠EBO=∠ACO,根据勾股定理计算即可.【详解】解:连接BE,如图,∵OD⊥AB,∴AD=DB,∴EA=EB,∠EAO=∠EBO=∠ACO,∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°,∴∠BEC=90°,在直角△BEC中,BE2+CE2=BC2,∵OC⊥OB,且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2,∴BE2+CE2=2,即AE2+CE2=2.故选:B.【变式2-3】(2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习)如图,在⊙O中,AB是直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,∠NPB=45°.(1)若AP=2,BP=6,求MN的长;(2)若MP=3,NP=5,求AB的长;(3)当P在AB上运动时(∠NPB=45°不变),PM【答案】(1)214;(2)217【分析】(1)作OH⊥MN于H,连接ON,先计算出OA=4,OP=2,在Rt△POH中,由于∠OPH=45°,则OH=22OP=2,再在Rt△OHN中,利用勾股定理计算出NH=14,然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN,所以MN=2NH=214(2)作OH⊥MN于H,连接ON,先计算出HM=HN=4,PH=1,在Rt△POH中,由∠OPH=45°得到OH=1,再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=17,所AB=2ON=217;(3)作OH⊥MN于H,连接ON,根据垂定理得HM=HN,设圆的半径为R,在Rt△OHN中,利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2,在Rt△POH中,由∠OPH=45°得OH=PH,则PH2+NH2=R2,然后变形PM2+PN2可得到2(PH2+NH2),所以PM2+PN2的值为2R2,又AB=2R,代入计算即可求出答案.【详解】解:(1)作OH⊥MN于H,连接ON,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,OP=2,在Rt△POH中,∵∠OPH=45°,∴OH=22OP=2在Rt△OHN中,∵ON=4,OH=2,∴NH=NO2-OH2∵OH⊥MN,∴HM=HN,∴MN=2NH=214;(2)作OH⊥MN于H,连接ON,则HM=HN,∵MP=3,NP=5,∴MN=8,∴HM=HN=4,∴PH=1,在Rt△POH中,∵∠OPH=45°,∴OH=1,在Rt△OHN中,∵HN=4,OH=1,∴ON=OH2+N∴AB=2ON=217;(3)PM2+P作OH⊥MN于H,连接ON,则HM=HN,设圆的半径为R,在Rt△OHN中,OH2+NH2=ON2=R2,在Rt△POH中,∵∠OPH=45°,∴OH=PH,∴PH2+NH2=R2,∵PM2+PN2=(HM-PH)2+(NH+PH)2=(NH-PH)2+(NH+PH)2=2(PH2+NH2)=2R2.又AB2=4R2,∴PM2+PN∴PM2+P【点睛】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】(2023春·江苏·九年级专题练习)如图,⊙O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE.若AE=1,AB=CD=6,则
A.22 B.32 C.42【答案】A【分析】如图所示,过O点作OH⊥AB于H点,OF⊥CD于F点,连接OB、OC,根据垂径定理可求出EH的值,再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)【详解】解:如图所示,过O点作OH⊥AB于H点,OF⊥CD于F点,连接OB、OC,
∴根据垂径定理得,DF=CF=12CD=∵AE=1,∴EH=AH−AE=3−1=2,在Rt△OBH和RtOB=OCBH=CF∴Rt△OBH≌∴OH=OF,∵CD⊥AB,∴∠HEF=90°,∵∠OHE=∠OFE=90°,∴四边形OHEF为正方形,OE是正方形的对角线,∴OE=2故选:A.【点睛】本题考查圆与三角形的综合,掌握圆的基础值,垂径定理,全等三角形的判定和性质,正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键.【变式3-1】(2023春·全国·九年级专题练习)如图,AB为圆O直径,F点在圆上,E点为AF中点,连接EO,作CO⊥EO交圆O于点C,作CD⊥AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF,由CO⊥EO,得到OC∥AF,即可得到∠OAE=∠COD,然后通过证得△AEO≌△ODC,证得CD=OE=4,然后根据勾股定理即可求得OD.【详解】解:∵E点为AF中点,∴OE⊥AF,∵CO⊥EO,∴OC∥AF,∴∠OAE=∠COD,∵CD⊥AB,∴∠AEO=∠ODC,在△AEO和△ODC中,∠OAE=∠COD∠AEO=∠ODC∴△AEO≌△ODC(AAS),∴CD=OE=4,∵OC=5,∴OD=OC2−CD【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式3-2】(2023·上海·统考中考真题)已知:在圆O内,弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点,联结MN,OG.(1)求证:OG⊥MN;(2)联结AC,AM,CN,当CN//OG时,求证:四边形ACNM为矩形.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)连结OM,ON,由M、N分别是CB和AD的中点,可得OM⊥BC,ON⊥AD,由AB=CD,可得OM=ON,可证RtΔEOP≌RtΔFOPHL,MG=NG,∠MGO=∠NGO,根据等腰三角形三线合一性质OG⊥MN(2)设OG交MN于E,由RtΔEOP≌RtΔFOP,可得MG=NG,可得∠CMN=∠ANM,CM=12CB=12AD=AN,可证△CMN≌△ANM可得AM=CN,由CN∥OG,可得∠AMN=∠CNM=90°,由∠AMN+∠CNM=180°可得【详解】证明:(1)连结OM,ON,∵M、N分别是CB和AD的中点,∴OM,ON为弦心距,∴OM⊥BC,ON⊥AD,∴∠GMO=∠GNO=90°,在⊙O中,AB=CD,∴OM=ON,在Rt△OMG和Rt△ONG中,OM=ONOG=OG∴RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG,∠MGO=∠NGO,∴OG⊥MN;(2)设OG交MN于E,∵RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG,∴∠GMN=∠GNM,即∠CMN=∠ANM,∵CM=1在△CMN和△ANM中CM=AN∠CMN=∠ANM∴△CMN≌△ANM,∴AM=CN,∠AMN=∠CNM,∵CN∥OG,∴∠CNM=∠GEM=90°,∴∠AMN=∠CNM=90°,∴∠AMN+∴AM∥CN,∴ACNM是平行四边形,∵∠AMN=90°,∴四边形ACNM是矩形.【点睛】本题考查垂径定理,三角形全等判定与性质,等腰三角形判定与性质,平行线判定与性质,矩形的判定,掌握垂径定理,三角形全等判定与性质,等腰三角形判定与性质,平行线判定与性质,矩形的判定是解题关键.【变式3-3】(2023春·江西赣州·九年级统考期末)按要求作图(1)如图1,已知AB是⊙O的直径,四边形ACDE为平行四边形,请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP;(2)如图2,已知AB是⊙O的直径,点C是BD的中点,AB∥CD,请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P,使四边形ABPD是平行四边形.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)连接AD,EC交于点F,作射线OF交⊙O于点P,OP即为所求;(2)连接DB,OC交于点E,作射线AE交DC于点P,四边形ABPD即为所求.【详解】(1)解:如图1,连接AD,EC交于点F,作射线OF交⊙O于点P,OP即为所求;∵四边形ACDE为平行四边形,∴AF=DF,∵OA=OD,∴OP是∠AOD的角平分线;(2)如图2,连接OD,连接DB,OC交于点E,作射线AE交射线DC于点P,四边形ABPD即为所求;∵点C是BD的中点,∴OC⊥DB,∵OD=OB,∴DE=EB,∵AB∥∴∠ABE=∠PDE,在△ABE与△PDE中,∠ABE=∠PDE∠AEB=∠PED∴△ABE≌△PDE,∴AB=DP,∵AB∥∴四边形ABPD是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定,垂径定理,三线合一,掌握以上知识是解题的关键.【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】(2023春·九年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42,则aA.4 B.3+2 C.32 【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连接PB,求出D点坐标为(3,3),可得△OCD为等腰直角三角形,从而△PED也为等腰直角三角形.根据垂径定理得AE=BE=22,在Rt△PBE中,利用勾股定理求出PE=1,再求出【详解】解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连接PB,如图,∵⊙P的圆心坐标是(3,a),∴OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3,∴D点坐标为(3,3),∴CD=3,∴△OCD为等腰直角三角形,∴∠PDE=∠ODC=45°,∵PE⊥AB,∴△PED为等腰直角三角形,AE=BE=1在Rt△PBE中,PB=3∴PE=3∴PD=2∴a=3+2故选B.【点睛】本题考查了一次函数的性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质,以及垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.正确作出辅助线是解答本题的关键.【变式4-1】(2023·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标是(8,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(1,3)【分析】连接CM,作MN⊥CD于N,CH⊥OA于H,根据题意得CD=OB=8,CN=MH,CH=MN,根据垂径定理得出CN=DN=12CD=4.MO=MC=5,在Rt△MNC中,勾股定理得出MN=3,进而得出C的纵坐标为3,又【详解】解:如图,连接CM,作MN⊥CD于N,CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形,B点的坐标是(8,0),∴CD=OB=8,CN=MH,CH=MN.又∵MN⊥CD,∴CN=DN=12CD=4∵点A的坐标是(10,0),∴OA=10,∴MO=MC=5.在Rt△MNC中,MN=CM2−CN2∴CH=3.又OH=OM−MH=5−4=1.∴点C的坐标为(1,3).【点睛】本题考查了平行四边形的性质,坐标与图形,垂径定理,勾股定理,掌握垂径定理是解题的关键.【变式4-2】(2023·江苏南京·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.已知A(6,0),B(﹣2,0),C(0,3),则点D的坐标为.【答案】(0,−4)【详解】设圆心为P,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于点F,先根据垂径定理可得EA=EB=4,FC=FD,进而可求出OE=2,再设P(2,m),即可利用勾股定理表示出PC2,PA2,最后利用PA=PA列方程即可求出m值,进而可得点D坐标.【解答】解:设圆心为P,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于点F,则EA=EB=AB2=4,FC=FD∴OE=EB﹣OB=4﹣2=2,∴E(2,0),设P(2,m),则F(0,m),连接PC、PA,在Rt△CPF中,PC2=(3﹣m)2+22,在Rt△APE中,PA2=m2+42,∵PA=PC,∴(3﹣m)2+22=m2+42,∴m=±1∴F(0,−1∴CF=DF=3−(−12)∴OD=OF+DF=12∴D(0,﹣4),故答案为:(0,﹣4).【点睛】本题考查垂径定理,涉及到平面直角坐标系,勾股定理等,解题关键是利用半径相等列方程.【变式4-3】(2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末)如图,在平面直角坐标系中,⊙O经过点0,10,直线y=kx+2k−4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的最小值是(
)A.62 B.103 C.8【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k−4过定点D(−2,−4),运用勾股定理可求出OD,由⊙O经过点0,10,可求出半径OB=10,由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题.【详解】解:对于直线y=kx+2k−4,当x=−2时,y=−4,故直线y=kx+2k−4恒经过点(−2,−4),记为点D.由于过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短,即当OD⊥BC时,BC最短,连接OB,如图所示,∵D(−2,−4),∴OD=−2∵⊙O经过点0,10,∴OB=10,∴BD=O∵OB⊥BC,∴BC=2BD=85∴弦BC的最小值是85故选:C.【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识,发现直线恒经过点(−2,−4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中,与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键.【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中,弦AB=12,弦CD=16,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离是【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定,故应分两种情况进行讨论:①弦AB与CD在圆心同侧;②弦AB与CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】解:①当弦AB与CD在圆心同侧时,如图①,
过点O作OF⊥AB,垂足为F,交CD于点E,连接OA,∵AB∥∴OE⊥CD,∵AB=12,∴CE=8,∵OA=OC=10,∴由勾股定理得:EO=102−∴EF=OF−OE=2;②当弦AB与CD在圆心异侧时,如图,
过点O作OE⊥CD于点E,反向延长OE交AB于点F,连接OA,同理EO=102−EF=OF+OE=14,所以AB与CD之间的距离是2或14.故答案为:2或14.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理,解答此题时要注意进行分类讨论,不要漏解.【变式5-1】(2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习)如图,矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G,B,F,E,GB=5,EF=4,那么AD=.【答案】3【分析】连接OF,过点O作OH⊥EF,垂足为H,根据垂径定理,在△OHF中,勾股定理计算.【详解】如图,连接OF,过点O作OH⊥EF,垂足为H,则EH=FH=12EF∵GB=5,∴OF=OB=52在△OHF中,勾股定理,得OH=(5∵四边形ABCD是矩形,∴四边形OADH也是矩形,∴AD=OH=32故答案为:32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理,熟练掌握两个定理是解题的关键.【变式5-2】(2023春·九年级课时练习)如图,AB,CD是半径为15的⊙O的两条弦,AB=24,CD=18,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,则PA+PC的最小值为.【答案】21【分析】由于A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的值最小,即BC的值就是PA+PC的最小值.【详解】解:连接BC,OB,OC,作CH垂直于AB于H.∵AB=24,CD=18,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,∴BE=12AB=12,CF=1∴OE=OB2∴CH=OE+OF=9+12=21,BH=BE+EH=BE+CF=12+9=21,在Rt△BCH中,根据勾股定理得:BC=B即PA+PC的最小值为212故答案为:212【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题,灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键.【变式5-3】(2023·全国·九年级专题练习)如图,A,B,C,D在⊙O上,AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与CD交于点E,已知⊙O半径为5.(1)若AB=6,CD=8,求EF的长;(2)若CD=46,且EF=BF,求弦AB【答案】(1)7;(2)8【分析】(1)连接AO和DO,由垂径定理得AF=1(2)连接BO和DO,先由垂径定理和勾股定理求出OE的长,设EF=BF=x,在Rt△OBF中,利用勾股定理列式求出x的值,得到BF的长,即可求出AB的长.【详解】解:(1)连接AO和DO,∵EF⊥AB,且EF过圆心,∴AF=1∵AO=5,∴OF=A∵AB//CD,∴EF⊥CD,同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7;(2)如图,连接BO和DO,∵CD=46∴DE=26∴OE=O设EF=BF=x,则OF=x−1,在Rt△OBF中,OFx−12+x2=25∴BF=4,∴AB=2BF=8.【点睛】本题考查垂径定理,解题的关键是熟练掌握垂径定理,并能够结合勾股定理进行运用求解.【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】(2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)如图,两个圆都是以O为圆心.(1)求证:AC=BD;(2)若AB=10,BD=2,小圆的半径为5,求大圆的半径R的值.【答案】(1)见解析;(2)41【分析】(1)作OE⊥AB,由垂径定理得AE=BE,CE=DE,即可得到AC=BD;(2)连接OB,OD,由AB=10,则BE=5,由勾股定理,得OE2=OD2【详解】解:(1)如图:作OE⊥AB于E,由垂径定理,得:AE=BE,CE=DE,∴BE−DE=AE−CE,即AC=BD;(2)如图,连接OD,OB,∵AB=10,∴BE=AE=5,DE=5-2=3,在Rt△OBE和Rt△ODE中,由勾股定理,得:OE2=O∴OD2−D即52解得:OB=41∴大圆的半径为41.【点睛】本题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式6-1】(2023春·浙江台州·九年级统考期末)如图,一人口的弧形台阶,从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧.已知每个台阶宽度为32cm(即相邻两弧半径相差32cm),测得AB=200cm,AC=BD=40cm,则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆,画出同心圆圆心,设弧AB所在的圆的半径为r,利用勾股定理列出方程即可解答.【详解】解:设弧AB所在的圆的半径为r,如图.作OE⊥AB于E,连接OA,OC,则OA=r,OC=r+32,∵OE⊥AB,∴AE=EB=100cm,在RT△OAE中OE在RT△OCE中,OE则r2解得:r=134.故答案为:134.【点睛】本题考查垂径定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.【变式6-2】(2023春·九年级课时练习)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底有水面AB的宽度是()cm.A.6 B.42 C.43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C,交小圆于D,可得CD=2,AC=BC,由AO、BO为半径,则OA=OD=4;然后运用勾股定理即可求得AC的长,即可求得AB的长.【详解】解:作OD⊥AB于C,交小圆于D,则CD=2,AC=BC,∵OA=OD=4,CD=2,∴OC=2,∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式6-3】(2023·浙江杭州·九年级)如图,两个同心圆的半径分别为2和4,矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦,则矩形ABCD面积的最大值是.【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N,作OM⊥AD于点M,连接OA、OD,根据面积之间的关系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD,从而得出S矩形ABCD最大时,S△AOD也最大,过点D作AO边上的高h,根据垂线段最短可得h≤OD,利用三角形的面积公式即可求出S△【详解】解:过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N,作OM⊥AD于点M,连接OA、OD∴AO=2,OD=4,四边形APND和四边形PBCN为矩形,PN⊥CD,∴OM=AP根据垂径定理可得:点P和点N分别为AB和CD的中点,∴S矩形APND=12S∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽,△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=12S矩形APND=14∴S矩形ABCD最大时,S△AOD也最大过点D作AO边上的高h,根据垂线段最短可得h≤OD(当且仅当OD⊥OA时,取等号)∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷14故答案为:16.【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题,掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键.【题型7垂径定理的实际应用】【例7】(2023·浙江温州·校联考二模)如图,是某隧道的入口,它的截面如图所示,是由APB和直角∠ACB围成,且点C也在APB所在的圆上,已知AC=4m,隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m,则该道路的路面宽BC=m;在APB上,离地面相同高度的两点E,F装有两排照明灯,若E是AP的中点,则这两排照明灯离地面的高度是【答案】221【分析】先求得圆心的位置,根据垂径定理得到AM=CM=2,即可求得半径为5,根据勾股定理即可求得CD,进而求得BC,根据勾股定理求得PA,从而以及垂径定理求得PN,利用勾股定理求得ON,通过证得△EOK≅△OPN求得EK=ON,进一步即可求得EQ.【详解】作AC的垂直平分线OM,交PD于O,交AC于M,则O是圆心,连接OC,∴OD=MC=1∵PD=7,∴圆的半径为7−2=5,∴CD=O∴BC=2CD=221连接PA、OE交于N,作AH⊥PD于H,EQ⊥BC于Q,∵PD=7,DH=AC=4,∴PH=7−4=3,∵AH=CD=21∴PA=A∵E是AP的中点,∴OE垂直平分PA,∴PN=30∴ON=O∵EQ∥∴∠OEK=∠EOP,在△EOK和△OPN中,∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK≅△OPN(AAS∴EK=ON=70∴EQ=EK+KQ=70故答案为221,70【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,三角形全等的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.【变式7-1】(2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹);(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm,水面最深地方的高度为2【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)运用尺规作图的步骤和方法即可解答;(2)作OD⊥AB于D,并延长交⊙O于C,则D为AB的中点,则AD=4cm,设这个圆形截面的半径为xcm,在Rt△AOD【详解】(1)如图所示;
(2)作OD⊥AB于D,并延长交⊙O于C,则D为AB的中点,∵AB=8cm∴AD=1设这个圆形截面的半径为xcm又∵CD=2cm∴OD=x−2在Rt△AOD∵OD2+A解得x=5cm∴圆形截面的半径为5cm【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理,根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键.【变式7-2】(2023春·河北邢台·九年级校联考期末)“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦AB为6米时,水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径;(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时,则水面下盛水筒的最大深度为多少米?【答案】(1)5米(2)2米【分析】(1)作OD⊥AB于点E,交⊙O于点D,由垂径定理可得AE=12AB=3(2)当AB=8米时,AE=12AB=4米.在Rt△AOE中,由勾股定理可得,AE【详解】(1)解:如图,作OD⊥AB于点E,交⊙O于点D.则AE=12AB=3设圆的半径为r米,在Rt△AOE中,A∴32解得r=5,∴该圆的半径为5米;
(2)解:当AB=8米时,AE=1在Rt△AOE中,A∴42∴OE=3米,∴DE=5−3=2(米).答:水面下盛水筒的最大深度为2米.【点睛】本题考查垂径定理,熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键.【变式7-3】(2023·湖南·统考中考真题)问题情境:筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时120秒.问题设置:把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②,OM始终垂直于水平面,设筒车半径为2米.当t=0时,某盛水筒恰好位于水面A处,此时∠AOM=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.(参考数据,2≈1.414
问题解决:(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时,∠BOM的度数;(2)求该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离.(结果精确到0.1米)【答案】(1)∠BOM=45°;(2)该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离为0.3米.【分析】(1)先求得该盛水筒的运动速度,再利用周角的定义即可求解;(2)作BC⊥OM于点C,在Rt△OAD中,利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长,在Rt△OBC中,利用勾股定理求得【详解】(1)解:∵旋转一周用时120秒,∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时,∠AOB=360°−3°×95=75°,∵∠AOM=30°,∴∠BOM=75°−30°=45°;(2)解:作BC⊥OM于点C,设OM与水平面交于点D,则OD⊥AD,
在Rt△OAD中,∠AOD=30°,OA=2∴AD=12OA=1在Rt△OBC中,∠BOC=45°,OB=2∴BC=OC=2∴CD=OD−OC=3答:该盛水筒旋转至B处时,它到水面的距离为0.3米.【点睛】本题考查了圆的性质,含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】(2023春·湖北武汉·九年级校联考期末)如图是由小正方形组成的7×6网格,每个小正方形的顶点叫做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.(1)在图(1)中,A,B,C三点是格点,画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D,使AD=BC;(2)在图(2)中,A,E,F三点是格点,⊙I经过点A.先过点F画AE的平行线交⊙I于M,N两点,再画弦MN的中点G.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)首先根据网格的特点和圆的性质求得点D,然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可;(2)设AE与⊙I的交点为C,根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M,N两点,然后连接AN,CM交于点D,连接DI并延长交MN与点G即可求解.【详解】(1)如图所示,连接AD,BC相交于点O,由网格可得,AD由网格的特点可得,D∵点A,C,B,D2∴A∴点D1和D2即为所要求作的∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∴点O即为经过A,B,C三点的圆的圆心,∴点O即为所求作的点;‘(2)如图所示,∵AC∥MN,点A,C,N,M在⊙I上∴AM=CN∴四边形AMNC是等腰梯形,∴AN=CM,AD=CD,MD=ND∴DG⊥MN,且DG平分MN,∴点G即为所求作的点.
【点睛】本题考查了复杂作图,利用了垂径定理的推论,矩形的性质,作轴对称图形,轴对称的性质等知识,灵活运用所学知识,将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键.【变式8-1】(2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习)如图,平面直角坐标系中有一段弧经过格点(正方形网格交点)A、B、C,其中B2,3,则圆弧所在圆的圆心坐标为【答案】(【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.【详解】解:根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可知弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心是(1故答案是:(【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理,熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键.【变式8-2】(2023春·河南驻马店·九年级统考期末)小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图(网格中的每个小正方形边长为1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是.【答案】5【详解】解:如图所示,作AB,BD的中垂线,交点O就是圆心.连接OA、OB,∵OC⊥AB,∵AC=1,OC=2,∴OA=AC【点睛】考点:1.垂径定理的应用;2.勾股定理.【变式8-3】(2023·北京·九年级专题练习)如图,在每个小正方形的边长为1cm的网格中,画出了一个过格点A,B的圆,通过测量、计算,求得该圆的周长是cm.(结果保留一位小数)【答案】8.9【分析】根据垂径定理确定圆的圆心,根据勾股定理求出圆的半径,根据圆的周长公式计算,得到答案.【详解】由垂径定理可知,圆的圆心在点O处,连接OA,由勾股定理得,OA=1圆的周长为:22故答案为:8.9.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用,掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.【题型9利用垂径定理求整点】【例9】(2023春·九年级课时练习)如图,AB是⊙C的弦,直径MN⊥AB于点O,MN=10,AB=8,如图以O为原点建立坐标系.我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,则线段OC长是,⊙C上的整数点有个.【答案】312【分析】过C作直径UL∥x轴,连接AC,根据垂径定理求出AO=BO=4,根据勾股定理求出OC,再得出答案即可.【详解】解:过C作直径UL∥x轴,连接CA,则AC=12∵MN过圆心C,MN⊥AB,AB=8,∴AO=BO=4,∠AOC=90°,由勾股定理得:CO=AC∴ON=5-3=2,OM=5+3=8,即A(-4,0),B(4,0),M(0,8),N(0,-2),同理还有弦QR=AB=8,弦WE=TS=6,且WE、TS、QR都平行于x轴,Q(-4,6),R(4,6),W(-3,7),E(3,7),T(-3,-1),S(3,-1),U(-5,3),L(5,3),即共12个点,故答案为:3;12.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质,能找出符合条件的所有点是解此题的关键.【变式9-1】(2023春·全国·九年级统考期中)⊙O的直径为10,弦AB=6,P是弦AB上一动点,满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置.【答案】3【分析】当P为AB的中点时OP最短,利用垂径定理得到OP垂直于AB,在RT△AOP中,由OA与AP的长,利用勾股定理求出OP的长,当P与A或B重台时,OP最长,求出OP的范围,由OP为整数,即可得到OP所有可能的长.【详解】解:当P为AB的中点时,利用垂径定理得到OP⊥AB,此时OP最短,如图所示:∵AB=6,∴AP=PB=3,在RT△AOP中,∵OA=5,AP=3,∴OP=即OP的最小值为3,当P与A或B重合时,OP最长,此时0P=5,∴4≤OP≤5,则使线段OP的长度为整数的点P有4,5,共3个.故答案为:3.【点睛】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键.【变式9-2】(2023春·九年级单元测试)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).注:把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latt
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