北师大版2019选择性必修第一册专题3.2空间向量基本定理(4类必考点)(原卷版+解析)

专题3.2空间向量基本定理TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 1【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 2【考点3：基底的判断】 4【考点4：基底的应用】 6【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】【知识点：空间向量基本定理】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，点M是A1D1的中点，点N是A．12a→+b→+c→ B．2．（2022春•广东月考）在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→=（）A．13AB→+16C．13AB→+13．（2022春•河南月考）如图，在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M、N分别在线段OA、A．13a→+23C．13a→+24．（2022春•安徽月考）在空间四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，点M在AC上，且A．12a→−34C．−12a→−345．（2021秋•三元区校级月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON→=23OM→，设OA→=a→，OB【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】【知识点：空间向量基本定理】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2022春•淮安区期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→+zAA1A．1 B．32 C．2 D．522．（2021秋•丽水期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，若AP→=xAB→+y则x+y+z＝（）A．18 B．1 C．32 D．33．（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD→=6PA→−4PB→+λPC→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣14．（2021秋•衡阳月考）如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，OD→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+5．（2021秋•孝感期中）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设MN→=xAA→1+yAB→+zAC→(x，y，z∈R)，则6．（2021秋•嘉定区校级月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，若A1M→=λCA→+μCB→+υC7．（2021秋•广东期中）如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若OA→=a→，OC→=b→，OO1→=c→，【考点3：基底的判断】【知识点：基底】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底.1．（2022春•涪城区校级期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→A．OA→，OB→，OC→共线B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．OA→+OB→与OCD．O，A，B，C四点共面2．（2021秋•朝阳区校级期末）已知空间向量a→，b→，c→①若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→②若a→，b→，c→③若a→，b→，c→不共面，那么对任意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得④若a→，b→不共线，向量c→=λa→+μb→（λ，A．0 B．1 C．2 D．33．（2021秋•揭西县期末）若{a→，A．b→+c→，b→，b→−c→ B．a→+b→，a→−b→，4．（2021秋•荔湾区期末）若{a→，b→，c→A．b→+c→，b→，b→−c→ B．a→，a→+b→，a→5．（2021秋•重庆月考）已知{a→，b→，cA．a→−c→ B．a→+c6．（2021秋•贵池区校级期中）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若p→=2a→−b→，qA．a→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，q7．（2021秋•黑龙江期中）已知{a→，b→，c→}是空间一个基底，p→=a→+bA．a→ B．b→ C．c→ D．138．（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（）A．AA1→，ABC．AA1→，A9．（2021秋•朝阳区校级月考）已知{a→，b→A．a→，p→B．b→，p→C．c→，p→D．p→，q→与【考点4：基底的应用】【知识点：基底】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底.1．（2021秋•皇姑区校级期中）已知向量a→，b→，c→可作为空间的一组基底{a→，b→，c→}，若d→=3a→+4b→+c→，且d→在基底{（a→+2b→），（b→+3c→），（c→+a2．（2021秋•石景山区期中）已知单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为B1D1中点．设AD1→=a→，AB1→=b（1）AE→=；（2）AC1→=3．（2021秋•珠海期末）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→专题3.2空间向量基本定理TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 1【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 4【考点3：基底的判断】 8【考点4：基底的应用】 14【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】【知识点：空间向量基本定理】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，点M是A1DA．12a→+b→+c→【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解．【解答】解：因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4，所以MN→=−12AD故选：D．2．（2022春•广东月考）在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→A．13AB→+C．13AB→【分析】延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，由题意得出S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，P为△B【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△PB1C1所以P为△B1C1D的重心，所以PD→+PB1→即PD→+2PB→+3PC→所以（AD→−AP→）+2（AB→−AP→）+3（所以AP→=13AB故选：C．3．（2022春•河南月考）如图，在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M、A．13a→+C．13a→【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答】解：∵点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，∴OM→=13OA→，CN→∴ON→=OC→+CN→=OC∴MN→=ON→−故选：D．4．（2022春•安徽月考）在空间四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，点A．12a→−C．−12a【分析】根据题意用向量AB→、AC→和AD→作基底，表示向量MN→即可．【解答】解：空间四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b因为AC→=4MC→，N为BD=14AC→+（AB→−AC→=12AB=12a→−故选：A．5．（2021秋•三元区校级月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON→=23OM→，设OA→=a→【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加法、加法以及数乘运算求解即可．【解答】解：因为M是四面体OABC的棱BC的中点，所以OM→=12b因为ON→=23OM所以AN→=AO→+ON→=AO因为AP＝3PN，所以AP→=34AN所以OP→=OA→+故答案为：14a→+1【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】【知识点：空间向量基本定理】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2022春•淮安区期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→A．1 B．32 C．2 D．【分析】利用空间向量的加减法运算用AD→，AB→，AA【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，AF→=AD→+∵AF→=xAD→+yAB→+zAA1→∴x+y+z＝2．故选：C．2．（2021秋•丽水期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，若AP→则x+y+z＝（）A．18 B．1 C．32【分析】利用向量运算法则直接求解．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，AP→=AB=AB→+∵AP→=xAB→+yAD→+zAA1→则x+y+z=32．故选：C．3．（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD→=6PA→−4PB→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决．【解答】解：BD→=6PA→−4即PD→−PB→=6整理得PD→=6PA→−3由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2，故选：B．4．（2021秋•衡阳月考）如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，OD→=xOA→+yOB→+zOC【分析】利用向量运算法则直接求解．【解答】解：如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，则OD→=OA→+∵OD→=xOA→+y∴x+y+z＝1﹣1+1＝1．故答案为：1．5．（2021秋•孝感期中）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设MN→=xAA→1+yAB→+z【分析】把三个向量AB→，AA1→，【解答】解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，则MN→==14B=−14AB=512AB∵MN→=xAA→1∴x+y+z=512+14故答案为：1．6．（2021秋•嘉定区校级月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，若A1M→=λCA→+μCB→【分析】由题意画出图形，把A1M→用CA→、CB→、CC1【解答】解：如图，∵M是BB1中点，∴A1M=−CA→−又A1M→=λCA→+μCB→+υCC则λ+μ+υ=−12．故答案为：−12．7．（2021秋•广东期中）如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若OA→=a→，OC→=b→，OO1→【分析】由正方体的结构特征可知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，可得点G在线段O1M上，且满足O1G→=2GM→，利用向量的线性运算求得OG【解答】解：易知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足O1G→=2GM→有OG→−OO1→=2（OM有OG→=23×12（OA可得x+y+z＝1．故答案为：1．【考点3：基底的判断】【知识点：基底】如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底.1．（2022春•涪城区校级期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三点共线 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四点共面【分析】根据空间向量基本定理即可判断．【解答】解：由于向量OA→，OB→，所以O，A，B，C四点共面，故选：D．2．（2021秋•朝阳区校级期末）已知空间向量a→，b→，①若a→与b→共线，b→与c→共线，则②若a→，b→，③若a→，b→，c→不共面，那么对任意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，④若a→，b→不共线，向量c→=λa→+μb→（A．0 B．1 C．2 D．3【分析】举反例，判断①；根据共面向量的定义判断②；利用空间向量基本定理判断③④．【解答】解：对于①，若a→与b→共线，b→与c→共线，则当b→=0→时，对于②，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，∴a→，b→，c→非零且共面，则表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故②对于③，由空间向量基本定理可知：若a→，b→，c→不共面，那么对任意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得p=xa④若a→，b→不共线，向量c→则c→，a→，b→故选：B．3．（2021秋•揭西县期末）若{aA．b→+c→，b→，b→−c→ B．a→+b→，a→−b【分析】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．【解答】解：对于A，若向量b→+c→，b→则b→+c→=λ(b→−c故向量b→+c→，b→，b对于B，若向量a→+b→，a→则a→+b→=λ(a→故向量a→+b→，a→−b对于C，若向量a→，a→+b→则a→+b→=λa→+μ(a故向量a→，a→+b→，a对于D，若向量a→+b→，a→则a→+b→+c→故向量a→+b→，a→+b故选：B．4．（2021秋•荔湾区期末）若{a→，b→，A．b→+c→，b→，b→−c→ B．a→，a→+b→，a【分析】由平面向量基本定理判断．【解答】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，b→=12（b→+c→）+12（对于B选项，同理：a→，a→+b→对于D选项，a→+b故选：C．5．（2021秋•重庆月考）已知{a→，b→A．a→−c→ B．a→+【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．【解答】解：由m→=a→−b→，n→=b→所以得a→−c→与m→故a→−c→不能与m→故选：A．6．（2021秋•贵池区校级期中）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若p→=2a→−b→A．a→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，【分析】利用共面向量定理以及空间向量的线性运算，判断三个向量是否是共面向量，即可判断得到答案．【解答】解：对于A，由题意可得2p→+所以a→=2故a→，p故选项A错误；对于B，由题意可得，p→+2q所以b→=1故b→，p故选项B错误；对于C，由题意可得，p→+q故r→，p故选项C错误；对于D，假设s→，p→，q→共面，则存在实数λ即a→+b所以c→=(2λ−μ−1)a故a→，b→，c→共面，这与{a所以假设不成立，则s→，p故选项D正确．故选：D．7．（2021秋•黑龙江期中）已知{a→，b→，c→}是空间一个基底，p→=a→A．a→ B．b→ C．c→ D．【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合向量p→+q→=（a→+得a→与p→，同理b→与p→，所以a→与b→不能与p→、q又c→与a→和b→所以c→与p→、q→故选：C．8．（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（）A．AA1→，C．AA1→【分析】不共面的向量才能组成一组基底，由此能求出结果．【解答】解：对于A，∵AA1→，AB→，对于B，∵AB→，AO→，AC1→共面于平面对于C，∵AA1→，A1C1→，AC→对于D，∵AB1→，AO→，AC→共面于平面AB故选：A．9．（2021秋•朝阳区校级月考）已知{a→，A．a→，B．b→，C．c→，D．p→，q【分析】根据空间向量的共线定理、共面定理，对选项中的