北师大版九年级数学下册举一反三系列2.7二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练(30道)同步练习(学生版+解析)

专题2.7二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题15题，填空题15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次函数图象与系数的关系的理解！一、单选题1．（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论；①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③b+2a=0；④当y>0时，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点B在0,2与0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc>0；②9a+3b+c>0；③若点M12,y1，点5A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)①abc>0；②3a+c<0；③M−3,y1，N④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5⑤对于任意实数m，总有am其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2023春·广东惠州·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；⑤为图象经过点1A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④6．（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1，下列结论：①abc>0；②a+b+c>7；③当x≥−12时，y随x的增大而增大；④关于x的方程aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023春·山东德州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③3a+c>0；④2a−b=0；⑤方程A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>−3b；（3）7a−3b+2c>0；（4）若点A−3,y1、点B−12,y2、点C7,A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点在−3,0和−2,0之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2−4ac>0；（2）2a=b；（3）点−72,y1、−3A．2 B．3 C．4 D．510．（2023春·湖南常德·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，对称轴为直线x=12且经过点2,0．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若−12,yA．2 B．3 C．4 D．511．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考期末）二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a）下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a-bA．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤12．（2023春·辽宁朝阳·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量xx…−2−1012…y=a…tm−2−2n…且当x=−12时，其对应的函数值①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=−12A．0 B．1 C．2 D．313．（2023春·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，Bm,0（1<m<2），小明得出下列结论：①b>0；②若−1,y1和1,y2都在抛物线上，则yA．4 B．3 C．2 D．114．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期末）已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1A．2a+b=0 B．a>−C．△PAB周长的最小值是5+32 D．x=3是15．（2023春·陕西渭南·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，图像过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点A−3,y1，点B−12,y2、点C72A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题16．（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中：①abc>0；②4a+b>0；③Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，若17．（2023春·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中−1<m<0，抛物线与x①abc>0；②(a+c)2<b2；③−318．（2023春·福建莆田·九年级校考期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①4ac−b2abc>0；②若点P（﹣2﹣t2，y1）19．（2023春·九年级课时练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①当x<1时，y随x增大而减小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④OCDE=3420．（2023春·九年级课时练习）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2=mx+n（m≠0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为1<x<4．其中正确的是．21．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y1),N(n2+2,22．（2023春·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x=1，且与①abc>0；②a−b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c=mx−2m（m是一个常数)的根为23．（2023春·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为（填序号）．24．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②b2−4ac4a

25．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有．26．（2023春·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是．27．（2023春·九年级课时练习）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．28．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1,y1),    N(x2,y专题2.7二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题15题，填空题15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次函数图象与系数的关系的理解！一、单选题1．（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，判定a＞0；对称轴的位置，判定b＞0；抛物线与y轴的交点，判定c＜0，从而判定abc＜0；根据对称轴是直线x=−2=−b2a，确定b=4a；根据OA=5OB，得OE=2OB，求出点【详解】解：因为抛物线的开口方向，所以a>0；因为对称轴是直线x=−2，所以x=−2=−b2a，因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以c＜所以abc＜故①错误；因为OA=5OB，

所以，OE=2OB，所以OB=1，即B1,0所以a+b+c=0，所以c=−5a，所以(a+c)2所以9a+4c=9a−20a=−11a＜根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：y=4ac−b2所以am所以am所以am故选B．【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．2．（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论；①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③b+2a=0；④当y>0时，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为3，0由此即可判断①②；根据−b【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=1，与∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为3，∴b2−4ac>0，即4ac<b2，方程ax故①②正确；∵−b∴b=−2a，即b+2a=0，故③正确；由函数图象可知当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，当x<0时，y随x增大而增大，故④错误，⑤正确；∴正确的一共有4个，【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．3．（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点B在0,2与0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc>0；②9a+3b+c>0；③若点M12,y1，点5A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】结合图象，可得a<0，b>0，c>0，可得abc<0，即可判断①；根据对称轴，可得二次函数与x轴另一个交点为5,0，将x=3代入二次函数，可得9a+3b+c>0，即可判断②；根据二次函数的性质，因为12−2>52−2，故y1<y2，即可判断③；根据二次函数与y轴的交点B在0,2与0,3之间，可得2<c<3，用a表示出【详解】解：根据图象可得，a<0，c>0，∵对称轴为x=2，∴−b2a=2∴abc<0，故①错误，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x可得二次函数y=ax2+bx+c的图象与x当x=3时，9a+3b+c>0，故②正确；∵12∴y根据二次函数与y轴的交点B在0,2与0,3之间，可得2<c<3，当x=−1时，a−b+c=a+4a+c=5a+c=0，即c=−5a，∴2<−5a<3，解得−3∴c−3a=−5a−3a=−8a>0，故⑤正确，综上所述，②④⑤正确，正确结论有3个．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)①abc>0；②3a+c<0；③M−3,y1，N④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5⑤对于任意实数m，总有am其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，则a>0，对称轴x=−b2a=1，则b=−2a<0，c<0所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，联立4a−2b+c=0b=−2a，解得c=−8a3a+c=3a−8a=−5a<0，所以②正确；抛物线的解析式为y=axM−3,y1∴y∴y1−所以③错误；若关于x的一元二次方程axaxax∴Δ∵a>0，∴0<a<1所以④正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0对于任意实数m，总有a故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．5．（2023春·广东惠州·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；⑤为图象经过点1A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④【答案】A【分析】利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可对③进行判断；利用二次函数当x=−1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为12,2，利用对称性得到二次函数y=ax【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴为直线x=即−b∴b=2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc<∵抛物线与x轴交于两点，∴b故②正确；∵x=1时，y>0，∴a+b+c>0，而b=2a，∴3a+c>0，∵a>0，∴4a+c>0，所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=∴当x=−1∴a−b+c≤at即a−bt≤at所以④正确；∵图象经过点12,2时，方程ax∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2∵抛物线的对称轴为直线x=∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2即x1=−5∴x∴正确的有②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)6．（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1，下列结论：①abc>0；②a+b+c>7；③当x≥−12时，y随x的增大而增大；④关于x的方程aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，表示出c=1，a=b−2，当x=−2时，与其对应的函数值y>1，表示出b>4，从而判断abc>0；②a+b+c=b−2+b+1=2b−1，根据b>4，即可求出a+b+c>7；③表示出对称轴x=−b2b−2=−121−2b=【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)∴c=1，a−b+c=−1，∴a=b−2，∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1，∴4a−2b+1>1，∴4b−2−2b+1>1，解得：∴a=b−2>0，∴abc>0，故①正确；②∵a=b−2，c=1，∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1，由（1）得：b>4∴2b−1>7，∴a+b+c>7故②正确；③由（1）得：a=b−2，c=1，∴y=a∴对称轴是x=−由（1）得：b>4，∴0<∴−2<∴−1<由（1）得：a=b−2>0，∴抛物线y=ax∵抛物线y=ax2∴当x≥−12时，y随故③正确④∵关于x的方程a∴x1=由（1）得：a=b−2，c=1，∴x==故④正确故选：D【点睛】本题考查二次函数系数的取值范围，对称轴，一元二次方程的解，解题的关键是表示出a，b，c之间的关系．7．（2023春·山东德州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③3a+c>0；④2a−b=0；⑤方程A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据二次函数的图象与性质求出a<0，b>0，c>0进而可判断①；根据根的二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线【详解】①抛物线的开口向下：a<0，对称轴为直线x=−b∵抛物线与y轴交于正半轴：c>0；∴abc<②∵抛物线与x轴有两个交点：b2③∵对称轴为直线x=1，∴x=−1与x=3∵x=1时，y<0，∴x=3时，9a+3b+c<0，∵b=−2a，∴9a−6a+c<0，∴3a+c<0，故③错误；④对称轴为直线x=−b2a=1⑤∵顶点坐标：1,3，∴当且仅当x=1时，ax²+bx+c=3，∴ax²+bx+c−3=0有两个相等的实数根．故⑤正确；⑥由图可知：a+b+c>0,a−b+c<0，∴a+c²−b²=∴a+c²<b²综上：正确的是②⑤⑥，共3个．故选C．【点睛】本题考查根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>−3b；（3）7a−3b+2c>0；（4）若点A−3,y1、点B−12,y2、点C7,A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=3时，函数值大于0，则9a+3b+c>0，即9a+c>−3b；由图象过点−1,0，知a−b+c=0，易得c=−5a，再根据抛物线开口向下得a<0，可得7a−3b+2c=9a<0；利用抛物线的对称性得到C'−3,y【详解】解：∵x=−b∴4a+b=0，故①正确；由函数图象可知，当x=3时，y>0，即：9a+3b+c>0，∴9a+c>−3b，故②正确；∵图象过点−1,0，∴a−b+c=0又∵4a+b=0∴b=−4a，∴a+4a+c=0，即：c=−5a∴7a−3b+2c=7a+12a−10a=9a∵抛物线开口向下，∴a<0，∴7a−3b+2c=9a<0，故③错误，∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴C7,y∵A∴y而−3＜∴y随x的增大而增大，∴y1y=a则：方程a(x+1)(x−5)=0的两根为x=−1或x=5，交抛物线与x的两交点的横坐标，过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：x1【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．9．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点在−3,0和−2,0之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2−4ac>0；（2）2a=b；（3）点−72,y1、−3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根据抛物线的对称轴为x=−1，即可得出b=2a，即（2）正确；根据抛物线的对称性找出点(−134,y3)在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由x=−3时，y<0，即可得出3a+c<0，结合b=2a，即可得出（4）正确；由方程at2+bt+a=0中Δ=b2−4a⋅a=0【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程ax∴Δ=∴（1）正确；∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)∴−b∴2a=b，∴（2）正确；∵抛物线的对称轴为x=−1，点(5∴(−13∵−72<−134∴y1∴（3）错误；∵当x=−3时，y=9a−3b+c<0，且b=2a，∴9a−3×2a+c=3a+c<0，∴6a+2c=3b+2c<0，∴（4）正确；∵b=2a，∴方程at2+bt+a=0∴抛物线y=at2+bt+a∵图中抛物线开口向下，∴a<0，∴y=at即at∴（5）正确．∵a+c2−b2∴a+c2−b由图象可知：c>0，∵a<0，∴c−a>0，∵3a+c<0，∴3a+cc−a∴a+c2即a+c∴（6）错误．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析6条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但过程较为繁琐，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．10．（2023春·湖南常德·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，对称轴为直线x=12且经过点2,0．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若−12,yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a<0,c>0，再根据对称轴可得b=−a>0，由此可判断结论①；将点2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，∴a<0,c>0，∵抛物线的对称轴为x=−b∴b=−a>0，∴abc<0，则结论①正确；将点2,0代入二次函数的解析式得：4a+2b+c=0，则结论③错误；将a=−b代入4a+2b+c=0得：−2b+c=0，则结论②正确；∵抛物线的对称轴为x=1∴x=32和x=−1又∵当x≥12时，y随x的增大而减小，且∴y由函数图像可知，当x=12时，y取得最大值，最大值为∵m≠1∴14b+c>a综上，正确的结论有①②⑤，共3个．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．11．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考期末）二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a）下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a-bA．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0②x=2时，y③5a④y=ax⑤若方程|ax2+bx+c【详解】解：∵顶点为（-2，-9a），设二次函数表达式为：y①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc②函数在y轴右侧与x轴的交点（1，0），当x=2时，y③5a④y=ax+5x-1+1，相当于由原抛物线y=a⑤若方程|ax2+bx根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为-ba=同理当ax2+bx+c+1=0故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．12．（2023春·辽宁朝阳·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量xx…−2−1012…y=a…tm−2−2n…且当x=−12时，其对应的函数值①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=−12A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用待定系数法将点(0,−2)，(1,−2)代入解析式求出a+b=0，c=−2，再结合二次函数图象与已知信息当x=−12时，y>0得出a>0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴x=−b2a进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点(−1,m)，(2,n)代入解析式得出【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c当x=0时，y=c=−2，当x=1时，y=a+b+c=−2，∴a+b=0．∵当x=−12时，其对应的函数值∴二次函数开口向下，a<0．∵a<0，b>0，c<0，∴abc>0．（①结论符合题意）∵x=−2时，y=t，∴−2是关于x的方程ax∵对称轴x=−b2a=−∴−2和3是关于x的方程ax∵x=−1时，y=a−b−2=m，x=2时，y=4a+2b−2=n，∴m+n=a−b−2+4a+2b−2=5a+b−4=4(a−1)．∴m+n<−4．（④结论不符合题意）∴正确的结论有2个．【点睛】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形．对称轴x=−b2a．二次项系数a决定抛物线的开口方向与大小．如果a>0，当x<−b2a时，y随x的增大而减小，当x>−b2a时，y随x的增大而增大．如果a<0，当x<−b2a13．（2023春·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，Bm,0（1<m<2），小明得出下列结论：①b>0；②若−1,y1和1,y2都在抛物线上，则yA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为ax2+bx+c【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，∴对称轴为直线x=m−12，又对称轴为x=−b∴∵1<m<2∴1−m<0∵a>0∴b=故①不正确，②∵对称轴为直线x=m−12，∵1−m−12−1,y1和∴y故②正确，∵对称轴为直线x=m−12，∴0<m−1∴0<−b∴a>−b>0，由抛物线过点A−1,0，则a−b+c=0∴a−b+c<a+a+c=2a+c，∴2a+c>0，故③正确，∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，设抛物线y=ax2+bx+c若方程ax−m即ax2+bx+c∴Δ=即b2故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．14．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期末）已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1A．2a+b=0 B．a>−C．△PAB周长的最小值是5+32 D．x=3是【答案】A【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-b2a=1，则b=-2a，即2a+bB．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴x=3时，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∴2a+3=-a，∵抛物线开口向下，则a<0，∴2a+3=-a＞0，∴a>-32C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BA´与直线x=1的交点即为点P，则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，∴AB=10，BA´=32即△PAB周长的最小值为10+32D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以x=3是ax故选C．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．15．（2023春·陕西渭南·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，图像过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点A−3,y1，点B−12,y2、点C72A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线经过(-1，0)和(5，0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【详解】①正确：∵-b所以4a+b=0．故①正确．②错误：∵x=-3时，y<0，∴9a-3b+c<0，∴9a+c<3b，故②错误．③正确，由图像可知抛物线经过(-1，0)和(5，0)，∴a-b+c=025a+5b+c=0解得b=-4a，c=-5a，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，∵a<0，∴8a+7b+2c>0，故③正确．④错误，∵点A(-3，y1)、点B(-12，y2)、点C(72，y∵3.5-2=1.5，2-(-0.5)=2.5，∴1.5<2.5点C离对称轴的距离近，∴y3>y2，∵a<0，-3<-0.5<2，∴y1<y2∴y1<y2<y3，故④错误．⑤正确．∵a<0，∴(x+1)(x-5)=-3a即(x+1)(x-5)>0，故x<-1或x>5，故⑤正确．∴正确的有三个，故选B．【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型．二、填空题16．（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中：①abc>0；②4a+b>0；③Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，若【答案】4【分析】根据图象得出a<0，c<0，b>0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x=2右侧，可得−b2a>2，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出b=−6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出当x=1时，a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，变形为a=4b+c−16【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a<0，∴b>0，∴abc>0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A∴对称轴在直线x=2右侧，即−b∴2+b∵a<0，∴4a+b>0，故②正确；∵Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，由图象可得抛物线y=ax2+bx+c∴y1>y若抛物线的对称轴是直线x=3，∴−b2a=3∴am−3∴a(m−3)(m+3)≤b(3−m)，故④正确；由AB≥3得，0<x当x=1时，a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=4b+c∴4b+c整理得4b+5c≥0，∴4b+3c≥−2c，∵c<0，−2c>0，∴4b+3c>0，故⑤正确；综上所述，正确的有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图象得出二次函数表达式各项系数的符号．17．（2023春·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中−1<m<0，抛物线与x①abc>0；②(a+c)2<b2；③−3【答案】①②③【分析】画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可．【详解】∵y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中∴函数图像大致如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c∴a>0，y=ax∴b=−23a<0∴abc>0，故①正确；∵抛物线与x轴交于点x1∴当x=1时，y=a+b+c<0；当x=−1∴(a+c)2∴(a+c)2故②正确；∵m=19∴−1<∵a+b+c<0∴0<−a−b−c∴−1<整理得：8a+6b<9∵b=−∴a=−∴8×(−32∴−故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c的最低点为∴直线y=−1与y=ax∴关于x的方程ax故④错误．综上所述，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．18．（2023春·福建莆田·九年级校考期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①4ac−b2abc>0；②若点P（﹣2﹣t2，y1）【答案】②③/③②【分析】本题只需逐个判断；①需要先判断Δ，a，b，c的符号，然后确定4ac−b②可以先找到点P关于抛物线的对称轴对称的点，再利用二次函数增减性比较函数值；③可以利用对称轴和点A坐标找到a，b，c之间的关系，从而简化不等式cx④假设存在这样的点B，取AC的中点D，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BD=12AC，设出点B【详解】解：①由图可知二次函数y＝ax∴Δ=∴4ac−b又∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，∴a<0,b<0．又∵抛物线与y轴交点在原点上方，∴c>0，∴4ac−b∴①错误，不符合题意；②因为对称轴是直线x＝﹣1，∴P(−2−t2，y1又∵a<0,b<0，∴当x>﹣1时，y随着x的增大而减小．又∵−1<t∴y1∴②正确，符合题意；③∵二次函数y＝ax2+bx+c∴a+b+c=0，−b2a∴b=2a,c=−3a，又∵cx∴−3ax又∵a<0，∴−3x∴(3x+1)(x−1)<0，∴3x+1>0x−1<0，解得−或3x+1<0x−1>0∴cx2+bx+a∴③正确，符合题意；④取AC的中点D，由③可知b=2a,c=−3a，∴二次函数解析式可化为y=ax∴点C坐标为(0,−3a)．又∵A（1，∴D(12,假设在对称轴上存在一点B(−1,m)，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则有BD=(−1−12∴(−1−整理得：m2+3am+2=0，其中∴当Δ=9a2−8≥0，即a≤−2∴当−223当a≤−223∴④不一定存在这样的点B，不符合题意．综上所述：一定正确的是：②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了二次函数a，b，c，Δ的符号判定，二次函数的图像与性质，一元二次不等式的解集，直角三角形存在性问题，掌握转化思想是本题解题的关键．19．（2023春·九年级课时练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①当x<1时，y随x增大而减小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④OCDE=34【答案】③④⑤【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，−b2a=1，得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据−b2a>0，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，推出OCDE=c4ac−b24a=cc−a=−3a−3a−a=34；⑤根据抛物线y=a【详解】①当x<1时，y随x增大而减小，∵抛物线顶点D的横坐标为1，∴对称轴为直线x=1，∵抛物线开口向下，∴当x<1时，y随x增大而增大，∴不正确；②a+b<0，∵−b∴b=-2a>0，∴a+b=a-2a=-a>0，∴不正确；③3a+b+c>0，∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,∵b>0，∴3a+b+c>0，∴正确；④OCDE∵b=-2a，3a+c=0，∴c=-3a，OC=====3∴正确；⑤当a<−23时，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B∴A(-1,0)∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax当a<−23时，-3∴正确．故答案为，③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征．20．（2023春·九年级课时练习）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2=mx+n（m≠0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为1<x<4．其中正确的是．【答案】①④/④①【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可．【详解】解：①由抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，从而b=-2a，则2a+b②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③错误；④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④正确；⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤错误；⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥错误．故答案为：①④．【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答．21．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y1),N(n2+2,【答案】①②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴方程可判断b与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当x=1时，函数取最大值，可判断②，由n2+2＞n2+1≥1，可得M(n2+1,【详解】解：∵抛物线开口向下，a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x=−b∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax∵n2+2∴M(n2+1,y1∴y1＞y∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），把（3，0）代入y=ax∵抛物线的对称轴为直线x=−b∴b=−2a，∴9a−6a+c=0，解得，c=−3a．∴y=ax∴顶点坐标为(1,−4a)，由图像得当0＜y≤−4a时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．所以p值可以有2个．故④正确；故答案为①②④．【点睛】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．22．（2023春·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x=1，且与①abc>0；②a−b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c=mx−2m（m是一个常数)的根为【答案】②③④【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点来判断a、b、c的正负情况即可；②由图像可知，当x=−1时，y<0，即可求出a−b+c<0；③比较x=1和x=m时y的大小，即可得出结论；④将方程的解转化为抛物线y=ax2+bx+cy【详解】①因为抛物线开口向下，所以a<0；因为抛物线对称轴为1，所以−b2a>0，所以b>0；因为抛物线对称轴为1，且抛物线与x轴的一个交点在点（-1，0）和（0，0）之间，所以抛物线与y轴的交点在y的正半轴，所以c>0②由图像可知，当x=−1时，y<0，所以a−b+c<0，故②正确；③当x=1时，y=a+b+c；当x=m时，y=am∵x=1为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下∴当x=1，y取最大值即a+b+c≥a∴a+b≥m(am+b)，故③正确；④设直线y=mx−2m，其过固定点（2，0），方程ax2+bx+c=mx−2m的根即为抛物线y=a由图像可知，抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx−2m故答案为：②③④【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，二次函数与方程之间的转换，利用特殊值代入法求特殊的式子等知识点．23．（2023春·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为（填序号）．【答案】①②⑥．【分析】由抛物线的开口向上可知a>0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上可得c>0，由此判定①正确；由4a-b和对称轴为x=-−b2a=-2，则a、b同号，即b>0，然后即可判定⑤错误；由抛物线与x轴有两个交点得到b【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴①正确；∵对称轴为x＝−b2a＝﹣1，得2a＝∴a、b同号，即b＞0，∴abc＞0，∴⑤错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④错误；当x＝1时，y＝a+b+C＞0，∴②正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴③错误；∵a﹣b+c＜0，4a＝b，∴c＜3a，∴4a＞c，∴⑥正确．故填空答案：①②⑥．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定以及灵活运用数形结合思想是解答本题的关键.24．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②b2−4ac4a

【答案】①③④【详解】（1）∵抛物线开口向下，∴a<0，又∵对称轴在y轴的右侧，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，即①正确；（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2又∵a<0，∴b2（3）∵点C的坐标为(0，c)，且OA=OC，∴点A的坐标为(−c，0)，把点A的坐标代入解析式得：ac∵c>0，∴ac−b+1=0，即③正确；（4）设点A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴x1，x∴x1∴OA·OB=−x综上所述，正确的结论是：①③④.25．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有．【答案】①②③④【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=−b∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵4ac−b∴4ac-b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a-b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，上面两个相加得到6a＜-6，∴a＜-1．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．26．（2023春·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是．【答案】①④⑤．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【详解】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．∴x＝−b2a＝2，与即，4a+b＝0，故①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，∴25a+7b+2c＞0，又∵a＜0，∴8a+7b+c＞0，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤，故答案为：①④⑤．【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.27．（2023春·九年级课时练习）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．【答案】3【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b∴b=2a，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax∴方程ax综上所述，共有3个正确结论，故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口