【幂级数和函数的应用6900字（论文）】

幂级数和函数的应用目录TOC\o"1-2"\h\u154721前言 167051.1研究背景 1297071.2研究意义 2119911.3研究现状 2852相关理论 4136702.1幂级数 4194622.2幂级数和函数 439333幂级数和函数的应用研究 5301103.1函数展开成幂级数 582493.2幂级数和函数的方法探究 9321883.3幂级数和函数的几点应用介绍 12114954结论与展望 1626941参考文献 181前言1.1研究背景幂级数理论起源于18世纪，是数学的几个领域之一．欧拉以及拉朗贝尔是先驱者，为建立幂级数论做了很多方面的工作．1774年，欧拉对幂级数的积分具有的一些性质进行了考量，同时发表于论文中．达朗贝尔，法国的一位数学家，在他所著的与流体力学相关的文章中提及了上述性质，比欧拉还要更早一些．所以，人们将这两个方程称为了“达朗贝尔一欧拉方程”．19世纪，黎曼以及柯西对流体力学展开分析时，在以上方程的基础上进行了更加深入地探讨，从这时候开始，幂级数就是针对基于复数域符合上述条件的构建的一类解析函数展开探究．19世纪，幂级数论实现了全面发展，就好比微积分在18世纪的数学中占据了统治地位，幂级数同样在19世纪的数学中占据了统计地位．黎曼、柯西以及魏尔斯特拉斯等人在复变量函数论的研究上应用到了很多技术，对于这门学科来说，正式特征他们也已经提出了．20世纪初期，历经较长时间的发展，幂级数论的理论越发完善，技巧也更加精湛，作为数学的组成部分之一起到了至关重要的作用．它对部分学科如数论、微分方程以及概率论等的发展起到了积极地推动作用，诸多现代理论均基于当时的数学研究才得以发展，幂级数论也会被用作有力工具之一让现实生活中面临地复杂计算问题得到了很好的解决，如计算稳定场等等，也已普遍用于航空力学以及流体力学等多个领域，众多理工科专业都将该理论的基础内容列入到了必修课程的范畴．许多数学家也进行了非常多的研究工作，如法国的阿达玛、瑞典的米塔-列夫勒等，幂级数论也涉及到了越来越多的研究领域，他们在发展、拓展并且壮大这门学科上所作的贡献是非常之大的．所以，本文围绕着幂级数理论展开，对其思想方法的具体演变进程展开分析，不单单理论价值比较大，现实意义也是极为深远的．幂级数在研究函数方面是一个很有力的工具．作为函数级数中的一种，幂级数的形式比较简单，应用也极为广泛，基础初等函数在一定范围内都可展开成幂级．当前对幂级数和函数研究在不断发展，幂级数的性质日益完善．在数学分析中，幂级数是至关重要的内容之一，且从复变函数论来看，从理论与应用这两个层面来看，函数幂级数展开均起到了重要作用，而从复变函数来看，也被当作了一种重要工具．运用幂级数和函数的性质进行分析，可以解决很多数学难题．用幂级数表示的力学方程可以解决很多工程力学问题，在应用内容上非常丰富．目前幂级数对其他领域，如非线性椭圆型方程、循环码等，的研究含不够完善，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系．1.2研究意义当前，对幂级数和函数的研究已经较为全面，但在其应用方面的总结和研究还有一定的缺陷和不足，但这个内容对幂级数和函数能否在实际工作和生活中得到发展至关重要，所以要通过这个研究对幂级数和函数应用建立完整体系，为一线工作人员提供理论的参考．本研究是基于幂级数和函数的理论性质的概述和应用相关文献的总结，这对在线性递归数列、三角级数求和以及组合问题等多个方面对函数幂级数的应用展开探讨起到了极大地帮助，为以后的研究提供参考依据．1.3研究现状函数和幂函数的应用在数学领域的研究不断深化，对数学教学中的研究也在不断发展．在微积分学中，无穷级数是其中的一个重要部分，数学理论研究也好，工程实际应用也罢，都起到了非常重要的作用．作为与无穷级数相关的最为常用的函数项级数之一，从大学数学教学来看，对幂级数问题展开分析是有着极为深远的现实意义的．在多个实例的基础上，方艳等人[1]总结了求幂级数和函数的具体思路，并且对详细解题过程进行了列示．在对函数进行表示时，幂级数通过的是幂函数的和也就是多项式，作为函数项级数中的一种，具有形式简单的优点，应用也极为广泛．在范围一定的情况下，对基本初等函数进行展开是能够得到幂级数的．幂级数是符合四则运算法则的，提供了加减乘除这四种运算，无论是积分还是求导都极为方便，所以，在对函数性质进行探讨的过程中，幂级数无疑是一种有力工具，理论证明也好，工程计算也罢，应用都是极为广泛的．陈芳芳[2]以函数的幂级数展开式为中心，着重对其在欧拉公式证明、近似计算、电场计算、微分方程求解以及累积分布函数计算等多个方面的应用进行了介绍，目的是深化知识的理解．对任何概率分布参数的估计都是至关重要的，因为不精确和有偏的估计可能会产生误导．Muhammad等人[3]研究了一种柔性幂函数分布，提出了两种新的参数加权方法，即概率加权矩法和广义概率加权法．ZakaA等人[4]研究了两参数幂函数分布的极大似然估计、矩估计和百分位估计的修正．用蒙特卡罗模拟方法表明了估计量的抽样行为．对于某些参数值组合，在偏差、均方误差和总偏差方面，一些修正的估计量比传统的极大似然估计量、矩估计量和百分位数估计量更好．同时，将函数和幂级数应用到科研结果的验证，同时它们的应用已经发展到了各行各业，不在局限于理论的研究．密码学是近年来发展最为迅速的非交换密码学，其主要原因是对量子密码分析的抵制．SakalauskasE等人[5]提出了一种基于矩阵幂函数的非对称密码算法．Akimenko等人[6]研究了两种具有非线性死亡率和多循环繁殖条件的年龄结构种群动力学模型的行波解的显式递归算法和数值性质．递归公式使在研究中能够建立精确的数值算法，并通过一组参数化代数函数对种群动态的不同场景进行大量模拟．从复变函数来看，主要通过下述方法来对解析函数展开了探究：1、Cauchy提出的积分表达方法。2.Weierstrass提出的幂级数方法。在分析解析函数时，幂级数方法是重要的方法之一，并且在复杂的功能理论中起着重要的作用。金帅等[7]针对单个复变量的分析功能，将幂级数展开扩展到多个复变量的乘积域，并成为进行多复变量全纯分析的重要工具之一。功能。．Zhou等人[8]对土壤异养呼吸的动态变化及其与气候因子的经验关系进行研究，用三种模型，即对数线性模型、指数模型和幂模型，进行拟合和评价．结果表明，幂函数模型比指数衰减模型更准确地描述了亚热带森林矿质土壤有机碳的分解动态．Rajat等人[9]在研究含水层物质颗粒粒度分布对其渗透性的影响时建立了幂函数模型，所建立的幂函数模型为估算井的产量、土工结构下的渗流和合理精度的过滤器设计提供了一个有效的工具．Goans[10]利用伤口保留度的幂函数描述，不同伤口类别在对数尺度上呈直线，不同坡度对应不同保留度类别．2相关理论2.1幂级数具有下列形式的函数项级数称为在点处的幂级数．称为在点处的幂级数．若对幂级数中的每一个，都有，则称为幂级数的和函数．简单来说，对于幂级数，求和函数是通过将几个幂函数相加而获得的。所以，以让幂函数存在和函数为前提，自变量的取值范围就可以叫做幂级数的收敛区间或者是收敛域．其中，收敛域的二分之一就可以叫做收敛半径[11]．2.2幂级数和函数由幂级数可知，可以把幂级数的部分和记为：且部分和的极限就是和函数．即涉幂函数的和函数为，收连半径为，则：(1)连续性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是具有连续性的；也就是收敛区间中的所有点都是存在极限值的，和函数值是相等的．即．(2)可导性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是存在连续的导数的，能够逐项求导，也就是对于任取的一个，有，通过逐项求导可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的；(3)可积性对于一个幂级数而言，若其和函数为，那么属于收敛区间的情况下，该函数是可积的，还可逐项积分，也就是对于任取的一个，那么有通过逐项积分可以得到一个幂级数，与原级数一样，它们的收敛半径是一致的[12]．3幂级数和函数的应用研究3.1函数展开成幂级数3.1.1泰勒级数对于一个确定的函数，需要考虑能不能找出一个幂级数，不单单在某一区间表现出了收敛性，而且相加得到的刚好是该函数．假使可以找出这种幂级数，那么我们就能够说，在这一收敛区间内，函数可以展开得到幂级数．泰勒中值定理如下：存在一个函数，如果有这么一个将包括在内的开区间，一直到都存在阶导数，那么在属于区间的情况下，就能够表示成两个部分的和，其一是的次多项式，其二是余项：其中这里是与之间的某个值．泰勒级数定义为：存在点的一个邻域，假使在其内存在各阶导数，，，，，则当时，点处的泰勒多项式如下：成为幂函数该幂函数就是的泰勒级数．显而易见的是，在的情况下，的泰勒级数是收敛的，且收敛于．除了外，的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛于？定理一：存在一个函数，若其在点处存在一个邻域，在其内存在各阶导数，那么在这个邻域内可以展开并得到泰勒级数是下述条件为充要条件的：在的情况下，的泰勒余项趋近于零，即证明：必要性证明：设在内能展开为泰勒级数，即：因为的阶泰勒公式可写成，其中是的泰勒级数的前项的和，又在内有．于是．由此，可证明条件的必要性．充分性证明：设对一切成立．因为的阶泰勒公式可写成，于是，即的泰勒级数在内收敛，并且收敛于．3.1.2麦克劳林级数在泰勒级数中取，得，此级数称为的麦克劳林级数．假使可以展开得到的幂函数，此时该展示式具有唯一性，和的麦克劳林级数之间是具有完全一致性的．事实上，如果在点的某领域内有幂级数展开式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...假定可以展开并得到的幂级数，此时该幂级数也为的麦克劳林级数．然而，反之并不成立，假使存在点的某一个邻域，在其中是收敛的，但是有可能不会一致收敛于．所以，假使处存在各阶导数，那么尽管可以作出的麦克劳林级数，但是在某一区间内该级数存不存在收敛性，会不会一致收敛于还是有待考察的．3.1.3幂级数和函数的应用的步骤第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步写出幂级数，并求出收敛半径．第四步考察当在区间内时余项的极限是否为零．若为零，则在区间内有3.2幂级数和函数的方法探究3.2.1定义法存在一个幂级数，用来表示其前项和函数列，如果其存在极限，也就是存在，那么这个幂级数就是具有收敛性的，且和函数［13］．例3.2-1:求幂级数的和函数，其中，．解:当时，该法简单、方便而且容易操作，仅需对求解得到前项和进行求极限操作即可，所以不论幂级数求和是以何种形式出现，该法均可适用．但是应当从实际问题出发来分析，如果幂级数的通项公式较为复杂，如等，对定义法进行适用并不具有可操作性．3.2.2逐项求导法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是1除以自然数，另一种是1除以两相邻自然数，也就是分母中包括了，那么先进行求导、后进行积分这种方法会较为可行．例3.2-2:求幂级数的和函数．解:根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是［－1，1］当时，不妨设先上式两边求导得:再求导得:只需2次求导操作就能够得到一个特殊幂级数，系数是与无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：上式两边积分得:再积分得:于是就得到当时的和函数为当时，综上所述3.2.3逐项积分法在幂级数通项中，如果系数为下述两种情况，一种是自然数，另一种是两相邻自然数的乘积，即在分子上时，那么先进行积分、后进行求导这种方法会较为可行［14］．例3.2-3:求幂级数的和函数．解:根据题意不难发现，对这一幂级数而言，收敛区间是(－1，+1)．设两边除以令则将上式两边积分得:再积分得:再积分得:只需3次求积分操作就能够得到一个特殊幂级数，通项公式是与无关的，相当于一个无穷递缩等比数列，根据求和公式可以得到：在上式的基础上第1次求导，可知:第2次求导得:第3次求导得:而可得所求和函数3.2.4其他方法例3.2-4:存在一个幂级数，试求其和函数以及收敛域．解:因为故当时级数收敛．可知在的情况下级数是收敛的，的情况下级数是发散的，因而收敛区间为［－1，1)．又由于所以，令则不难求出:故当时，时，因为故有3.3幂级数和函数的几点应用介绍3.3.1求无穷级数的和构建一个幂级数法，将转换为求某一个幂级数的总和，对幂级数求和以得到一个和函数，并使用逐项积分和逐项求导，将该级数作为已知的展式求总和，最后替换相应的点。例1求无穷级数点的和分析：解决无限级数的困难在于它有一个分母。没有分母，就是一个熟悉的等比级数，并且总和很容易得，怎样利用计算消除系数中的是解决这一问题的关键．因此，构造适当的和函数非常重要。要清除分母中，该函数包含一个项，然后求导。恢复方程式的两边以获得包含x的变量上限整数，由此可以建立一个幂级数，应该注意，积分总是从级数的收敛中心到的积分，然后，根据无穷级数和的特征，得到收敛区域的值。常规步骤如下：找出幂级数的收敛区域之后构造和函数然后求导求积分。解设，易知该幂级数收敛域为(-1，1]，且从而故3.3.2计算圆周率π的近似值π是用于精确计算圆的圆周，面积和球体积的几何测量结果的关键值。π对数学的发展过程有很大的影响，为数学和科学研究提供了重要的方法和途径，并且具有无限的吸引力。过去，数学家为此付出了生命和精力，以实现π精度。直到17世纪，借助于数学分析中反正切函数表达式的强大工具，π的计算进入了一个新阶段，切线函数构造一个幂级数，并通过微分积分获得幂级数之和，然后获得π的近似值。易知级数两边对积分得到于是，令得3.3.3在积分中的应用如果积分是超越函数，则无法获得直接积分的结果。此时，可以将积分扩展为幂级数和幂，然后根据积分的特性通过逐项积分获得。这将幂级数和函数直接应用到积分计算和最重要的应用中。例2计算不定积分分析：如果积分符合现有的积分方法，则不会得到结果，但是您熟悉可以表示为函数的幂级数和表达式。然后，使用幂级数的属性在收敛区间上逐项对项进行积分以获得不定积分解根据公式从而例3计算二重积分分析:通常，求二重积分的常用方法是将其转换为X型或Y型形式以获得结果．但是，此问题使用X类型来计算在末尾包含积分变量的定积分．根据常规的公式，由于不能获得原始函数并且不能获得最终结果，因此认为可以通过变换以幂级数的形式表示被积函数，从而得到结果，简洁明了．解先对计算定积分，得将被积函数按幂级数展开，且，有当时级数的和函数连续，它的每一项都连续且大于0，逐项积分得到级数收敛，因此这里等重要结论可由Fourier级数求得．3.3.4证明不等式反过来，和函数表示为幂级数，并且幂级数是表达函数的重要工具，因此幂级数也可以用来证明不等式．例4证明不等式分析:在证明不等式的常用方法中，综合，比较，分析和导数方法显然不适用于此问题．主要原因是变量无法完全统一在一起，并且无法判断结果．但是，我们知道函数很容易表示为幂级数，然后通过幂级数比较大小，得到不等式加以证明，拓宽了思路并培养了能力．证明因为而故3.3.5求数列的极限使用一系列函数项级数的和函数来找到极限是数学思维的一种重要方法．对于一般公式中包含的公式之和的极限问题，可以将级数的极限转化为级数的总和，根据级数的特性，构造相应的幂级数，求得幂级数的和函数，并通过和函数在收敛点的函数值得到数列的极限的值．例5求极限分析:这个题是找到无限多项式之和的极限．因此，不能使用“和的极限等于极限的和”的算法．前面的示例启发我们构造了幂级数．求和是在求和函数中对所得的结果．另外，处理此问题时有一个技巧，即，为了消除，可以将幂级数的两边乘以．解因为构造幂级数，易知其收敛域为，设且对两边进行求导，得对上式两边从0到积分，得因此，当时，有即显然故必须仔细分析幂级数和函数在解决问题中的应用．选择合适的幂级数是解决此类题的核心．求和函数可以通过逐项积分，逐项微分等方法解决．在计算过程中需要灵活变形，并对具体问题进行详细分析．掌握幂级数和函数的应用方法，对培养学生的数学素养和思维习惯，提高解决问题和处理能力的重要帮助．4结论与展望幂级数在赋值过程中存在截断误差，且很多无穷级数收敛速度慢，需要较大的展开项数才能获得可靠的逼近效果．此外，这些逼近方法在自变量区间内效果不稳定，例如幂级数展开在零点附近时有较好的逼近效果，而渐近级数展开通常在自变量取值较大时才能很好地逼近原函数．在计算机技术持续发展的同时，计算能力的提高，出现了许多数学软件，例如Matlab、Maple等，这些数学软件由算法标准程序发展而来，可以对函数进行赋值和操作．但是这些数学软件中对特殊函数的赋值算法还是不够丰富、高效．因此，探索更精确高效的赋值算法，具有重要意义．参考文献方艳,程航.幂级数和函数的几种常见解法[J].海峡科学,2018(02):87-88.陈芳芳.函数的幂级数展开式的应用[J].科技资讯,2018,16(14):118-119.MuhammadS,UlH,IjazH,etal.ComparisonofTwoNewRobustParameterEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].PlosOne,2016,11(8):e0160692.ZakaA,AkhterAS.ModifiedMoment,MaximumLikelihoodandPercentileEstimatorsfortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNon-CommutingCryptographyClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2013,24(2):283-298.AkimenkoVV.No