平面向量的应用

平面向量的应用

知识剖析

1平面几何中的向量方法

①由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长

度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方

法加以解决.

②用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

Eg点4B、C、D不在同一直线上

(1)证明直线平行或共线：AB//CD«AB//CD

(2)证明直线垂直：4B1CD=四•而=0

(3)求线段比值：言=|用且4B〃CD=AB=ACD

(4)证明线段相等：AB2=CD2AB=CD

2向量在物理中的应用

①速度、力是向量，都可以转化为向量问题；

②力的合成与分解符合平行四边形法则.

经典例题

【题型一】平面向量在几何中的应用

【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【典题2】已知平行四边形ZBCD的对角线为4C、BD,求证AC?+=2(4加+4。2)(即对角线的平方

和等于邻边平方和的2倍).

D.

【典题3】用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

【典题4】证明三角形三条中线交于一点.

巩固练习

1(★★)如图，E,F分另ij是四边形ABCO的边4D,BC的中点，AB=1,CD=2,^ABC=75°,乙BCD45°,

则线段EF的长是

2(★★)证明勾股定理，在RtAZIBC中，AC1BC,AC=b,BC=a,AB=c,则c?=a?+〃.

3(**)用向量方法证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

4(★★)用向量方法证明设平面上4,B,C,。四点满足条件AD_LBC,BDA.AC,则4B1CD.

§(★★)用向量方法证明对角线相等的平行四边形是矩形.

,

6(***)已知向量0%、。为、0%3满足。4+。&+=0，|OPil=|oAl=|Of3l=l.求证△HQ8是正

三角形.

【题型二】平面向量在物理中的应用

【典题11如图，已知河水自西向东流速为|%|=lm/s,设某人在静水中游泳的速度为％,在流水中实

际速度为。2.

(1)若此人朝正南方向游去，且|%|=百巾/5,求他实际前进方向与水流方向的夹角a和火的大小；

(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|以|=V5m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角夕和火的大小.

【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,

作用在行李包上的两个拉力分别为瓦，瓦，且瓦1=1引，元与瓦的夹角为0.给出以下结论

①。越大越费力，。越小越省力；②。的范围为［0,71］：

③当。=1时，|可=向；④当。=等时，国=|G|.

其中正确结论的序号是

【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm,放在墙与均匀的4B木板之间，4端锁定并能转动，B端

用水平绳索BC拉住，板长AB=20c7n,与墙夹角为a,如果不计木板的重量，则a为何值时，绳子拉力最

小?最小值是多少？

巩固练习

1(★★)一条渔船以6k?n//i的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km",则这条渔船实际航

行的速度大小为.

2(**)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是心,尸2,

且F1,『2与水平夹角均为45。，同=1引=10/N,则物体的重力大小为.

3(**)已知一艘船以5km"的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30。角，求水流

速度和船实际速度.

4(★★)一个物体受到同一平面内三个力尸2、％的作用，沿北偏东45。的方向移动了8m.已知|&|=2N,

方向为北偏东30。；\F2\=4N,方向为东偏北30。；|F3|=6N