专题06 解决问题的策略（教师版）五升六数学暑假衔接培优讲义（导图+知识点+易错点+真题卷）苏教版

转化的策略是指把一个有待解决的问题转化成一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。应用转化的策略能够使问题化繁为简，化未知为已知。知识点01：用转化的策略解决图形问题1.有些不规则图形可以转化成熟悉的简单的规则图形。2.图形转化时可以运用平移、旋转等方法。3.转化后的图形与转化前相比，形状变了，大小没有变。4、在进行面积公式推导时，可以把图形转化成已经学过的图形面积来计算。例如把三角形转化成平行四边形，把圆转化成长方形。5、运用转化的策略，从不同的角度灵活的思路分析问题，可以使复杂的问题简单化。知识点02：用转化的策略解决特殊的计算问题1.计算异分母分数相加、减时，把异分母分数转化成同分母分数。计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法。2.有些复杂的算式可以根据算式中数的特点，把原算式转化成简单的算式。3.画图可以帮助找到转化的方法。4.运用转化的策略，借助数形结合从不同的角度灵活地思路分析问题，可以使复杂的计算简单化。►解决问题的策略1、在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1”。2、特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2023春•新邵县期中）已知1×9+2＝11，12×9+3＝111，123×9+4＝1111，那么12345×9+6＝（）A．11111 B．111111 C．11111111【思路引导】已知1×9+2＝11，12×9+3＝111，123×9+4＝1111，发现规律：（12……n）×9+（n+1）＝111……1（n个），据此解答即可。【规范解答】解：已知1×9+2＝11，12×9+3＝111，123×9+4＝1111，1234×9+5＝11111，123456×9+6＝111111。故选：B。【考点评析】解答此类问题，首先应仔细观察给出的特例，从中寻找规律，据规律解答。2．（1分）（2022秋•太原期末）如图各图形中，涂色部分的面积相等的图形是（）；（单位：厘米）A．①和② B．①和③ C．②和③【思路引导】根据三角形的面积公式S＝ah÷2，分别确定出三个三角形的底和高，计算出各自的面积，再看哪两个三角形的面积相等即可。【规范解答】解：①中涂色部分的面积：8×10÷2＝80÷2＝40（平方厘米）②中涂色部分的面积：8×10÷2＝80÷2＝40（平方厘米）③中涂色部分的面积：8×8÷2＝64÷2＝32（平方厘米）答：涂色部分的面积相等的图形是①和②。故选：A。【考点评析】解答本题需准确确定三角形的底和高，熟练使用三角形的面积公式。3．（1分）（2022秋•皇姑区期末）如图，在两个边长相等的正方形内剪圆片。大圆的直径等于正方形的边长，两个小圆的直径之和等于正方形的边长。比较剩下的阴影面积，（）A．一样多 B．甲多 C．乙多 D．无法确定【思路引导】设正方形的边长为4，分别计算出甲、乙两个图形中阴影部分的面积，再比较大小即可。【规范解答】解：设正方形的边长为4。甲图阴影部分的面积：4×4﹣3.14×（4÷2）2＝16﹣12.56＝3.44乙图阴影部分的面积：4×4﹣3.14×（4÷2÷2）2×4＝16﹣12.56＝3.443.44＝3.44答：比较剩下的阴影面积，一样多。故选：A。【考点评析】解答本题需熟练掌握正方形和圆面积公式，准确分析圆的直径与正方形的边长之间的关系是关键。4．（1分）（2022秋•浉河区期末）下面两个长方形完全相同，彩色部分的面积（）A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．无法比较【思路引导】通过观察图形可知，左图中涂色百分点面积是长方形面积的一半，右图中两个涂色部分的面积是除法的面积的一半，所以两个图形中涂色部分的面积相等。据此解答。【规范解答】解：图上图：两个长方形完全相同，彩色部分的面积相等。故选：B。【考点评析】此题主要考查长方形、三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．（1分）（2022秋•天镇县期末）如图，甲、乙是两个完全一样的平行四边形，甲、乙两图中的阴影部分的面积相比较，（）A．甲阴影＝乙阴影 B．甲阴影＞乙阴影 C．甲阴影＜乙阴影 D．无法比较【思路引导】等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，通过观察图形可知，甲图中涂色部分的面积是平行四边形面积的一半，乙图中涂色部分的面积是平行四边形面积的一半。所以甲、乙两图中的阴影部分的面积相等。【规范解答】解：甲图中涂色部分的面积是平行四边形面积的一半，乙图中涂色部分的面积是平行四边形面积的一半。所以甲、乙两图中的阴影部分的面积相等。故选：A。【考点评析】此题主要根据等底等高的三角形的面积相等，来解决这个问题。二．认真填空（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2023春•无棣县期中）1+3＝4；1+3+5＝9；1+3+5+7＝16；1+3+5+7+9＝25观察以上算式，根据你发现的规律写出下列算式的得数：（1）1+3+5+7+9+11＝36（2）1+3+5+7+9+……+15＝64【思路引导】观察式子的规律都是从1开始的奇数的和，结果都等于奇数的个数的平方。据此解答。【规范解答】解：（1）1+3+5+7+9+11＝6²＝361+3+5+7+9+……+15＝[（1+15）÷2]²＝8²＝64故答案为：36；64。【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，找到规律是解题的关键。7．（2分）（2022秋•黔东南州期末）已知123456789×9＝1111111101，123456789×18＝2222222202，123456789×27＝3333333303，那么123456789×36＝4444444404，123456789×54＝6666666606。【思路引导】与123456789相乘的因数是几个9，这个式子的结果就是9个几和一个0，并且0都在倒数第二位上．也就是0前面有8个几，后面有一个几．【规范解答】解：123456789×9＝1111111101，123456789×18＝123456789×9×2＝222222202，123456789×27＝123456789×9×3＝333333303，所以123456789×36＝123456789×9×4＝4444444404，123456789×54＝123456789×9×6＝6666666606，9×6＝54。故答案为：4444444404，54。【考点评析】探索规律时要注意：（1）先分析题目特点；（2）再分析结果；（3）最后得出规律，运用规律解题。8．（2分）（2022秋•寻乌县期末）如图（单位：cm），阴影部分的面积为54cm2。【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积通过平移转化为一个长是（6+3）厘米，宽是6厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（6+3）×6＝9×6＝54（平方厘米）答：应用部分的面积是54平方厘米。故答案为：54。【考点评析】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。9．（2分）（2022秋•中山市期末）一种可以折叠的圆形餐桌，桌面直径2米，把四周折叠后就是一个正方形餐桌（如图）。这个餐桌的折叠部分（阴影部分）的面积是1.14平方米。【思路引导】阴影部分的面积＝圆的面积﹣正方形面积，把正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，每个三角形的高等于圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×（2÷2）2﹣2×（2÷2）÷2×2＝3.14×12﹣2×1÷2×2＝3.14×1﹣2＝3.14﹣2＝1.14（平方米）答：这个餐桌的折叠部分（阴影部分）的面积是1.14平方米。故答案为：1.14。【考点评析】此题主要考查圆的面积公式、正方形的面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．（2分）（2022秋•河东区期末）图中，半圆的直径是4cm，求图中阴影部分的面积是2.28cm2。【思路引导】根据图形的特点，可以通过“割补”把阴影部分的面积拼在一起，阴影部分的面积＝扇形面积﹣三角形面积，根据扇形的面积＝πr2×，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。【规范解答】解：如图：3.14×42×﹣4×（4÷2）÷2＝3.14×16×﹣4×2÷2＝6.28﹣4＝2.28（cm2）答：阴影部分的面积是2.28cm2。故答案为：2.28。【考点评析】此题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（2分）（2022秋•崇川区期末）一张长7.9厘米，宽3.8厘米的长方形纸，沿对角线对折后，得到如图所示的图形，涂色部分的周长是23.4厘米，其中甲部分的面积等于乙部分的面积。（填大于、小于或等于）【思路引导】如图，对折后阴影部分的周长就是原长方形的周长；甲、乙部分的面积是同底等高的三角形面积减去同一个三角形的面积；据此判断即可。【规范解答】解：涂色部分的周长：（7.9+3.8）×2＝11.7×2＝23.4（厘米）甲、乙部分的面积是同底等高的三角形面积减去同一个三角形的面积，二者相等。答：涂色部分的周长是23.4厘米，其中甲部分的面积等于乙部分的面积．故答案为：23.4；等于。【考点评析】解答此题关键一是弄清两阴影部分的周长正好是原长方形四条边之和；二是明白甲、乙的面积是同底等高的三角形面积减去同一个三角形的面积。12．（2分）（2022秋•漳平市期末）如图中ABCD为正方形，E为AB的中点，阴影部分的面积是21cm2，正方形ABCD的面积是56cm2。【思路引导】假设正方形ABCD中心点为F，根据图示可知，因为BE：BA＝1：2，所以S△BEF：S△BAD＝1：4，因为阴影部分的面积是21平方厘米，所以S△BAD＝21÷（4﹣1）×4＝28（平方厘米），所以正方形ABCD的面积为：28×2＝56（平方厘米）。【规范解答】解：假设正方形ABCD中心点为F。如图：根据图示可知，因为BE：BA＝1：2所以s△BEF：s△BAD＝1：4因为阴影部分的面积是21平方厘米所以s△BAD＝21÷（4﹣1）×4＝7×4＝28（平方厘米）正方形ABCD的面积为：28×2＝56（平方厘米）答：正方形ABCD的面积是56平方厘米。故答案为：56。【考点评析】本题主要考查长方形、正方形的面积，注意灵活运用。13．（2分）（2022秋•城固县期末）根据下面算式的规律，可以推算出2+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝4×52+4+6+8+……+16＝8×9。【思路引导】首先观察并发现规律，然后结合规律写出最终结果，结合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5发现规律：有几个数相加，则结果的第一个乘数就为几，第二个乘数为几加1；2+4+6+……+16一共有8个数相加，据此求解即可。【规范解答】解：2+4+6+8+……+16＝8×9故答案为：8×9。【考点评析】本题主要考查的是找规律，解题的关键是熟练运用数据中的规律，锻炼概括归纳能力。三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2022秋•沈丘县期末）三根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形、圆形，围成的圆面积最大．√．（判断对错）【思路引导】（1）当周长一定时，长方形的长和宽相等时面积最大，所以在周长相等的长方形和正方形中，正方形的面积最大．（2）根据题意可设铁丝的长为12.56米，根据正方形、圆形的周长公式分别计算出它们的边长、半径，然后再利用它们的面积公式分别计算出各自的面积，比较即可得到答案．【规范解答】解：（1）当周长一定时，长方形的长和宽相等时面积最大，所以在周长相等的长方形和正方形中，正方形的面积最大．（2）设铁丝的长为12.56米，正方形的边长是：12.56÷4＝3.14（米），正方形的面积是：3.14×3.14＝9.8596（平方米）；圆的半径是：12.56÷2÷3.14＝2（米），圆的面积是：2×2×3.14＝12.56（平方米）；9.8596＜12.56；所以围成的圆的面积最大．故答案为：√．【考点评析】本题考查了圆，正方形以及长方形的周长与面积公式的灵活应用．结论：当长方形、正方形、圆的周长相等时，圆的面积最大．15．（1分）（2021秋•郧阳区期末）如图，梯形中两个涂色三角形甲、乙面积是相等的。√（判断对错）【思路引导】由图可知，甲乙两个三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以甲乙两个三角形的面积是相等的；据此即可判断。【规范解答】解：甲乙两个三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，这两个新三角形是等底等高，面积相等，空白部分是公共部分，所以甲、乙两个三角形的面积相等；故原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此类题目可借助“等底等高的三角形面积相等”来解答。16．（1分）（2022春•应城市期末）用20厘米长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，正方形的面积比较大。√（判断对错）【思路引导】周长相等的正方形和长方形，正方形的面积大于长方形的面积。据此判断。【规范解答】解：用20厘米长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，也就是正方形和长方形的周长相等，所以正方形的面积大于长方形的面积。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正方形、长方形的周长、面积的意义及应用。17．（1分）（2022春•天门期末）长方形和正方形的周长相等时，正方形的面积大于长方形的面积。√（判断对错）【思路引导】周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积，可以通过举例证明。【规范解答】解：比如：正方形和正方形的周长都是16厘米，正方形的边长是4厘米，面积是：4×4＝16（平方厘米）；长方形的长是5厘米，宽是3厘米，面积是：5×3＝15（平方厘米）；因此，周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积。这种说法是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方形、正方形的周长、面积的意义及应用。18．（1分）（2020秋•隆德县期末）如图中，阴影A和阴影B的面积相比较A＝B。√（判断对错）【思路引导】根据等底等高的三角形的面积相等，利用等量代换的方法解答。【规范解答】解：如图：三角形A＝三角形CDF﹣三角形OCF，三角形B＝三角形CEF﹣三角形OCF，三角形CDF和三角形CEF等底等高，面积相同，阴影A和阴影B相当于从面积相等的两个三角形中减去同一个三角形的面积，剩余面积相等，所以A＝B。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是明确：等底等高的三角形的面积相等。四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）19．（4分）（2022秋•渑池县期末）求阴影部分面积。【思路引导】阴影部分的面积等于一个上底为4分米，下底为9分米，高为4分米的梯形的面积减去个圆的面积，圆的半径为4分米，根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（4+9）×4÷2﹣3.14×42×＝13×4÷2﹣3.14×16×＝26﹣12.56＝13.44（平方分米）答：阴影部分的面积是13.44平方分米。【考点评析】此题主要考查梯形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。20．（4分）（2022秋•增城区期末）（1）计算如图1平行四边形的面积。（2）计算如图2组合图形的面积【思路引导】（1）图1是一个底6分米、高4.2分米的平行四边形，根据平行四边形面积公式S＝ah直接计算即可；（2）图2由一个底5米、高4米的三角形和一个长5米、宽3米的长方形组成，利用三角形面积公式S＝ah÷2和长方形面积公式S＝ab，分别计算出三角形和长方形的面积，求和即可。【规范解答】解：（1）6×4.2＝25.2（平方分米）答：平行四边形的面积是25.2平方分米。（2）5×4÷2+5×3＝10+15＝25（平方米）答：组合图形的面积是25平方米。【考点评析】解答本题需熟练掌握三角形、平行四边形和长方形面积公式。五．实际应用（共5小题，满分25分，每小题5分）21．（5分）（2022秋•武昌区期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？【思路引导】在圆形上剪的最大正方形的对角线，就是圆的直径，并且正方形的对角线互相垂直，所以就把正方形分成了四个小的直角三角形；小的直角三角形的直角边相等都是圆的半径，所以可求出正方形的面积；用圆的面积减去正方形的面积，就是剩下的面积。【规范解答】解：10÷2＝5（厘米）3.14×52＝78.5（平方厘米）5×5÷2×4＝25÷2×4＝12.5×4＝50（平方厘米）78.5﹣50＝28.5（平方厘米）答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。【考点评析】此题考查圆的面积与正方形的面积公式的实际应用，理解圆中剪出一个最大的正方形，圆的直径是正方形的对角线是关键。22．（5分）（2022秋•惠阳区期末）王老师家要盖一间新房，新房一面墙的平面图如图。如果每平方米要用80块砖，砌这面墙至少要用多少块砖？【思路引导】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式求出这面墙的面积，然后再乘每平方米用砖的块数即可。【规范解答】解：（6×2÷2+6×7.5）×80＝（6+45）×80＝51×80＝4080（块）答：砌这面墙至少要用4080块砖。【考点评析】此题主要考查三角形、长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．（5分）（2022秋•秀屿区期末）广州市开展城中村改造工程。某村新建了一个梯形花坛，并在其中修了一条平行四边形的小路（如图），这时种花部分（阴影部分）的面积是多少平方米？【思路引导】阴影部分的面积等于梯形面积减去平行四边形的面积。利用梯形面积公式：S＝（a+b）h÷2，平行四边形的面积：S＝ah计算即可。【规范解答】解：（8+15）×6÷2﹣1×6＝69﹣6＝63（平方米）答：这时种花部分（阴影部分）的面积是63平方米。【考点评析】本题主要考查组合图形的面积，关键利用规则图形的面积公式计算。24．（5分）（2022秋•渑池县期末）某农庄将一块长600米，宽200米的长方形山地划分成如如图所示的三个花园．如果山地的上边被3个花园三等分，哪个花园面积最大？最大花园的面积是多少公顷？【思路引导】从右向左，竹园是三角形，上面的底边长a＝600÷3＝200米，高h＝200米，面积是S＝ah；桃花圆是平行四边形，上面的底边长是a＝200米，高是h＝200米，面积是S＝ah；下面的底边长根据平行四边形的对边相等是200米，樱花园是梯形，上底长a＝600÷3＝200米，下底长b＝600﹣200＝400米，高h是200米，面积是S＝（a+b）h；代入公式计算，即可得解．【规范解答】解：根据以上分析，三角形面积：×200×200＝20000（平方米）＝2（公顷）平行四边形的面积：200×200＝40000（平方米）＝4（公顷）梯形的面积：（200+400）×200÷2＝60000（平方米）＝6（公顷）2公顷＜4公顷＜6公顷最左边的梯形面积最大；答：梯形花园面积最大；最大花园的面积是6公顷．【考点评析】认真观察图形，得出三个图形的形状和底及对应的高，以及熟记梯形、平行四边形和三角形的面积公式是解决此题的关键．25．（5分）（2021秋•揭阳期末）一块长方形空地因建房子被占掉一部分，剩下部分的面积（如图阴影所示）是多少平方米？【思路引导】根据阴影部分的面积＝长方形的面积﹣三角形的面积，据此求解即可。【规范解答】解：50×（12+18）﹣50×12÷2＝50×30﹣600÷2＝1500﹣300＝1200（平方米）答：剩下部分的面积（如图阴影所示）是1200平方米。【考点评析】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积。六．动手操作（共2小题，满分10分，每小题5分）26．（5分）（2021秋•潍城区期末）求图中涂色部分的面积。（把你的想法在图上画一画、标一标：单位cm）.【思路引导】由图可知，涂色部分的面积等于底（5﹣2）厘米、高6厘米的三角形的面积加上底2厘米、高4厘米的三角形底面积。【规范解答】解：（5﹣2）×6÷2+2×4÷2＝9+4＝13（平方厘米）答：涂色部分的面积为13平方厘米。【考点评析】解答本题的关键是准确分析出图形的组成，熟练掌握三角形面积公式。27．（5分）（2022•凉山州）如图，等腰直角三角形ABC的腰长10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？【思路引导】根据题意图中甲乙两部分的面积相等，所以三角形ABC的面积等于扇形CEF的面积，三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠ACB的度数是45°，用45°除以360°即可得到扇形在圆中所占的比，再用扇形的面积除以比即可得到圆的面积。【规范解答】解：10×10÷2÷＝100÷2÷＝50÷＝50×8＝400（平方厘米）答：扇形所在的圆的面积是400平方厘米。【考点评析】此题考查了扇形的面积和圆的面积之间的关系，关键是分析出扇形CEF的面积与三角形ABC的面积相等。七．解决问题（共6小题，满分31分）28．（6分）（2022秋•婺城区期末）图形计算：（1）求图1阴影部分的周长。（2）求出图2中阴影部分的面积。【思路引导】（1）用直径为6米的圆周长加上2条长10米的线段长，即可求出图1阴影部分的周长；（2）用直径为16厘米的圆面积的一半减去直径为（16÷2）厘米的圆面积，即可求出图2中阴影部分的面积。【规范解答】解：（1）3.14×6+10×2＝18.84+20＝38.84（米）答：图1阴影部分的周长为38.84米。（2）3.14×（16÷2）2÷2﹣3.14×（16÷2÷2）2＝3.14×64÷2﹣3.14×16＝3.14×（32﹣16）＝3.14×16＝50.24（平方厘米）答：图2中阴影部分的面积50.24平方厘米。【考点评析】解答本题需准确分析阴影部分的组成，灵活使用圆周长和圆面积公式。29．（5分）（2023春•沁县期中）如图是某小区内的一块绿化地的示意图，这块地的面积是多少平方米？​【思路引导】根据这块地的形状，可以分成两个长方形，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【规范解答】解：如图：（17+40）×40+40×（53﹣40）＝57×40+40×13＝40×（57+13）＝40×70＝2800（平方米）答：这块地的面积是2800平方米。【考点评析】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。30．（5分）（2022秋•上虞区期末）有一块面积是192平方米的菜地，正好可以分割成一块平行四边形和一块直角三角形（如图）。已知直角三角形菜地的两条直角边都是12米，那么，平行四边形菜地的高（h）是多少米？【思路引导】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出三角形的面积，用总面积减去三角形的面积就是平行四边形的面积，再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，把数据代入公式解答。【规范解答】解：12×12÷2＝144÷2＝72（平方米）（192﹣72）÷12＝12