人教版八年级数学上册章节检测题及参考答案全集2

第11章三角形

一'选择题

1.平行四边形的内角和为（）

A.180°B.270°C.360°D.640°

2.如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角a的度数是（）

A.240°B.120°C.60°D.30°

3.五边形的内角和是（）

A.180°B.360°C.540°D.600°

4.如果一个多边形的内角和是720。，那么这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

5.将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）

A.减少180°B.增加90°C.增加180°D.增加360°

6.一个多边形的每个内角均为108。，则这个多边形是（）

A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形

7.若一个多边形的内角和是900。，则这个多边形的边数是（）

A.5B.6C.7D.8

8.一个多边形的内角和是900。，这个多边形的边数是（）

A.10B.9C.8D.7

9.一个多边形的内角和是360。，这个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.六边形D.不能确定

10.一个多边形的每个外角都等于60°,则这个多边形的边数为（）

A.8B.7C.6D.5

11.如图，在五边形ABCDE中，NA+NB+NE=300°,DP、CP分别平分NEDC、ZBCD,则NP的度数

是（）

A

12.已知正多边形的一个外角等于60°,则该正多边形的边数为（）

A.3B.4C.5D.6

13.如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.6

14.八边形的内角和等于（）

A.360°B.1080°C.1440°D.2160°

15.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形0.六边形D.八边形

二、填空题

16.若一个正多边形的一个内角等于135°,那么这个多边形是正____边形.

17.正多边形一个外角的度数是60°,则该正多边形的边数是.

18.正多边形的一个外角等于20°,则这个正多边形的边数是.

19.n边形的每个外角都等于45°,则呼.

20.一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°,则它的边数是.

21.一个正多边形的一个外角等于30°,则这个正多边形的边数为.

22.五边形的内角和为.

23.四边形的内角和是.

24.若正多边形的一个外角为40°,则这个正多边形是边形.

25.内角和与外角和相等的多边形的边数为.

26.若正n边形的一个外角为45°,则产.

27.四边形的内角和为.

28.如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为.

cD

29.某正n边形的一个内角为108°,则产.

30.正多边形的一个外角是72°,则这个多边形的内角和的度数是

第11章三角形

参考答案

一、选择题（共15小题）

1.C；2.B；3.C；4.C；5.C；6.C；7.C；8.D；9.B；10.C；11.A；12.D；13.D；14.B；

15.C；

二'填空题（共15小题）

16.A;17.A;18.18；19.8；20.9；21.12；22.540°；23.360°；24.九；25.四；26.8；

27.360°；28.720°；29.5；30.540°；

第12章全等三角形

一'选择题

1.如图，在AABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

2.如图，将正方形0ABC放在平面直角坐标系中，。是原点，A的坐标为（1,。，则点C的坐标

为（）

A.(-V3,1)B.(-1,5/3)C.(V3,1)D.(-V3,-1)

3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A

地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）

4.如图，坐标平面上，4ABC与4DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且AB=BC=5.若

A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点至y轴

5.平面上有4ACD与ZiBCE,其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,ZACE=55",

NBCD=155°,则NBPD的度数为()

6.如图，在aABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,

则NACB等于（）

E

BD

A.NEDBB.NBEDC.—ZAFBD.2NABF

2

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=--DB,

作EFLDE并截取EF二DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析

式是（)

63x、8x

c.y=-_1D.y=--77

x1x4

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上,

若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

A.到3B.4叵D.Vs-2

13119

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别

交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A.a2B.-a2C.a2D.4a2

3499

二、解答题（共21小题）

10.如图,已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

（1）若NECF=30°,CF=8,求CE的长；

（2）求证：Z\ABFgZ\DEC；

（3）求证：四边形BCEF是矩形.

11.已知AABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在DC两侧作等

边4DCE和等边4DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF

（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请

直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB

有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

(1)求证：AABE^DCE；

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数？

D

13.如图，在AABC中，Z0=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DEJLAB于点E.

(1)求证：△ACDgZkAED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的长.

14.如图，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.

15.已知:如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB〃CD.

求证：AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB

边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,延长CF与DG交于点

H.

(1)求证：CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

E

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC/7FD,求证：AC=DF.

18.如图，AABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求

证:BD=CE.

19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB〃DE,NA=ND.求证：AB=DE.

20.已知4ABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点P在4ABC

内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°,

得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在4ABC内部时，

①OA=OB是否成立？请说明理由；

②直接写出ZBPC为多少度时，AB=DE.

£

匕g-1

CpBcB

图a图b

21.(1)如图1,在ZkABC和ADCE中,AB//DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.求

证：NA=ND.

(2)如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4ZA0D=120°,求AC的长.

/D>D

八八X

BCE----------------0c

图1图2

22.(1)如图，AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

(2)列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，

这个班有多少学生？

D

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

C

AB

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判

定方法(即"HL")后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进

行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，对NB

进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，Z\ABC丝4DEF.

(1)如图①，在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE=90°,根据,可以知道RtZXABC

丝RtZXDEF.

第二种情况：当NB是钝角时，ZXABC^^DEF.

(2)如图②，在AABC和aDEF,AC二DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是钝角，求证：AABCg

△DEF.

第三种情况：当NB是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规在图③中作出

△DEF,使4DEF和4ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使△ABC^^DEF?请直接写出结论：在△ABC和4DEF中，AC=DF,

BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，若,则aABC会4DEF.

25.问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=120°,NB=NADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且

NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABEgZiADG,再证明

△AEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是______;

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF*N

BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南

偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60

海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥

中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的

距离.

26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于0点，0C=0A,若E是CD上任意一点,

连接BE交AC于点F,连接DF.

(1)证明：△CBFgZXCDF；

(2)若AC=2j5,BD=2,求四边形ABCD的周长；

(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.

27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.

28.(1)如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD±,NEAF=45°,延长CD到点G,使

DG=BE,连结EF,AG.求证：EF=FG.

(2)如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且NMAN=45°,若

BM=1,CN=3,求MN的长.

29.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD_LAB交BE的延长线于

点D,CG平分NACB交BD于点G,F为AB边上一点，连接CF,且NACF=NCBG.求证：

(1)AF=CG；

30.如图，在△ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180°,ZiABC不动，Z\ADE绕点A旋

转，连接BE、CD,F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①,当NBAE=90°时，求证：CD=2AF；

(2)当NBAE丰90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由.

第12章全等三角形

参考答案

一、选择题（共9小题）

1.如图，在AABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：・.下是高AD和BE的交点,

NADC二ZADB=NAEF=90°,

ZCAD+ZAFE=90°,NDBF+NBFD=90°,

---ZAFE=ZBFD,

ZCAD=ZFBD,

VZADB=90°,NABC=45°,

/.ZBAD=45°=ZABD,

.'.AD=BD,

在△DBF和ADAC中

rZFBD=ZCAD

<DB=AD

LZFDB=ZCDA

/.△DBF^ADAC(ASA),

*'•BF—AC-Scmy

故选c.

2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,,则点C的坐标

为（）

A.(-V3.1)B.(-1,V3)C.(5/3,1)D.(-^3.-1)

【解答】解：如图，过点A作AD_Lx轴于D,过点C作CE，x轴于E,

,•・四边形OABC是正方形，

.,.OA=OC,ZA0C=90°,

ZC0E+ZA0D=90°,

又；N0AD+NA0D=90°,

Z0AD=ZC0E,

在AAOD和△OCE中，

rZOAD=ZCOE

•ZADO=ZOEC=90°,

,OA=OC

.,.△AOD^AOCE(AAS),

.,.0E=AD=A/3，CE=OD=1,

•・•点C在第二象限，

•••点C的坐标为(-弧,1).

故选：A.

3.（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分

别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）

•・•NCAB=NEDB=45°,

/.AS/7ED,则SC〃DE.

同理SE〃CD,

・•・四边形SCDE是平行四边形，

.'.SE=CD,DE=CS,

即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延长AF、BH交于S”作FK〃GH与BH的延长线交于点K,

YNSAB二NS〔AB=45°,NSBA=NS】BA=70°,AB=AB,

/.△SAB^AS^B,

.•・AS=ASi,BS=BS1,

VZFGH=180°-70°-43°=67°=ZGHB,

.,.FG/7KH,

VFK//GH,

二四边形FGHK是平行四边形，

.'.FK=GH,FG=KH,

AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

,

.,FS1+S1K>FK,

.,.AS+BS>AF+FK+KH+HB,

即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB,

C、D、同理可证得AI+IK+KM+MBVASz+BSzVAN+NQ+QP+PB.

综上所述，D选项的所走的线路最长.

故选：D.

4.如图，坐标平面上，Z\ABC与4DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且AB=BC=5.若

A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴

的距离为何？（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P.

ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

,.,AB=BC,

ZBAC=ZBCA.

在AAKC和△CHA中

rZAKC=ZCHA

,AC=CA,

LZBAC=ZBCA

.,.△AKC^ACHA(ASA),

.,.KC=HA.

••・B、C两点在方程式y=-3的图形上，且A点的坐标为(-3,1),

；.AH=4.

；.KC=4.

•/△ABC^ADEF,

ZBAC=ZEDF,AC=DF.

在aAKC和aDPE中，

rZAKC=ZDPF

'NBACFEDF,

AC=DF

.,.△AKC^ADPF(AAS),

.-.KC=PF=4.

故选：C.

5.平面上有AACD与Z\BCE,其中AD与BE相交于P点,如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,NACE=55°,

ZBCD=155°,则NBPD的度数为()

【解答】解：在4ACD和4BCE中,

AC=BC

■CD=CE,

,AD=BE

/.△ACD^ABCE(SSS),

ZA=ZB,ZBCE=ZACD,

NBCA=NECD,

■.,ZACE=55°,NBCD=155°,

ZBCA+ZECD=100°,

ZBCA=ZECD=50°,

•.,ZACE=55°,

ZACD=105°

NA+ND=75°,

ZB+ZD=75°,

---ZBCD=155°,

ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故选：C.

6.如图，在△ABC和ABDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC二BD,AB=ED,BC=BE,

则NACB等于（）

A.ZEDBB.NBEDC.—ZAFBD.2NABF

2

【解答】解：在4ABC和4DEB中，

rAC=BD

■AB=ED,

,BC=BE

.'.△ABC^ADEB(SSS),

NACB=NDBE.

•••NAFB是ABFC的外角,

/.ZACB+ZDBE=ZAFB,

ZACB=—ZAFB,

2

故选：c.

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE==DB,

作EFLDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析

式是（）

_3x八8x

C.y=-RD.y=--

【解答】解：作FG_LBC于G,

NDEB+NFEC=90°,ZDEB+ZBDE=90°；

ZBDE=ZFEG,

在aDBE与AEGF中

rZB=ZFGE

<ZBDE=ZFEG

DE=EF

.'.△DBE^AEGF,

.'.EG=DB,FG=BE=x,

/.EG=DB=2BE=2x,

GC-y-3x,

VFG±BC,AB±BC,

・・・FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

12x

故选:A.

D

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°,点M、N分别在AB、AD边上,

若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

A3、丐2A/5R273Q)

13119v

【解答】解：：AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,

.,.AM=AN=2,BM=DN=4,

连接MN,连接AC,

,.,ABXBC,AD±CD,ZBAD=60°

在RtZ\ABC与RtZ\ADC中，

(AB=AD

1AC=AC'

.,.RtAABC^RtAADC(HL)

ZBAC=ZDAC—ZBAD=30°,MC=NC,

2

.,.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

，BC=2历

在RSBMC中，CM=7B12+BC42+（2>/3）2=2V7-

,■,AN=AM,ZMAN=60",

.'.△MAN是等边三角形,

.,.MN=AM=AN=2,

过M点作MELCN于E,设NE=x,则CE=2jV-x,

.,.MN2-NE2=MC2-EC2,EP4-x2=（277）2（2/7-x）2,

解得：,

32斤近生口

N77

2

•■•ME=4N2-NE^^，

.,.tanNMCN我二叵

EC13

故选：A.

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别

交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

—aB.—aC.—aD.—

3499

【解答】解：过E作EP_LBC于点P,EQ_LCD于点Q,

,•・四边形ABCD是正方形，

...NBCD=90°,

又：NEPM=NEQN=90°,

ZPEQ=90°,

ZPEM+ZMEQ=90°,

••.三角形FEG是直角三角形,

NNEF=NNEQ+NMEQ=90°,

ZPEM=ZNEQ,

「AC是NBCD的角平分线，NEPC=NEQC=90°,

.■.EP=EQ,四边形PCQE是正方形，

在AEPM和△EQN中，

rZPEl=ZNEQ

'EP=EQ,

,ZEPI=ZEQN

.'.△EPM^AEQN(ASA)

•.S/XEQN=S^EPM，

.二四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,

;正方形ABCD的边长为a,

AC=

,/EC=2AE,

,,,EC=2^a,

3

9

・・.EP二PC士a,

3

正方形PCQE的面积=X"^a三

...四边形EMCN的面积［a*

故选：D.

二'解答题(共21小题)

10.如图，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的长;

(2)求证：AABF^ADEC；

(3)求证：四边形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：：NCEF=90°.

J.cosNECF*".

CF

ZECF=30°,CF=8.

.•.CF=CF»cos30°=8X2<2=ZL/3：

(2)证明：：AB〃DE,

J.ZA=ZD,

•.,SAABF和4DEC中

，曲DE

,ZA=ZD

AF=DC

.,.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)证明：由(2)可知：AABF丝△口£(!,

.".BF=CE,NAFB=NDCE,

ZAFB+ZBFC=180°,ZDCE+ZECF=180°,

ZBFC=ZECF,

「.BF〃EC,

「•四边形BCEF是平行四边形,

ZCEF=90°,

四边形BCEF是矩形.

11.已知AABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在DC两侧作等

边4DCE和等边4DCF(点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧)，连接AE、BF

(1)如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

(2)如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请

直接写出结论(不需要证明)；

(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB

有怎样的数量关系，并直接写出结论(不需要证明)

【解答】解：(1)AE+BF=AB,如图1,

,.•△ABC和4DCF是等边三角形，

.,.CA=CB,CD=CF,NACB=NDCF=60°.

NACD=NBCF,

在4ACD和4BCF中

'CA=CB

<ZACD=ZBCF

CD=CF

.,.△ACD^ABCF(SAS)

.,.AD=BF

同理：ZXCBDgZ\CAE(SAS)

；.BD=AE

.,.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如图2,易证△CBFgZ\CAD和4CBD丝ZXCAE,

.,.AD=BF,BD=AE,

.,.BF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如图3,易证4CBFgZXCAD和ACBD丝ZXCAE,

.-.AD=BF,BD=AE,

.,.BF-AE=AD-BD=AB.

12.(2013•舟山)如图，Z^ABC与4DCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求证：AABE^DCE；

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数？

D

【解答】(1)证明：・.,在4ABE和4DCE中

2A=ND

,ZAEB=ZDEC

心DC

.,.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：,■•△ABE^ADCE,

；.BE=EC,

r.ZEBC=ZECB,

---NEBC+NECB=NAEB=50°,

ZEBC=25°.

13.如图，在aABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DE,AB于点E.

(1)求证：Z\ACDgZXAED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的长.

【解答】(1)证明：；AD平分NCAB,DE±AB,NC=90°,

.,.CD=ED,ZDEA=ZC=90°,

:在RtZ\ACD和RtAAED中

fAD=AD

(CD=DE

.■.RtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解：,■"DC=DE=1,DE±AB,

ZDEB=90°,

VZB=30°,

.,.BD=2DE=2.

14.如图，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.

【解答】证明：；AB=AC,

ZB=ZC,

在4ABD与4ACE中，

rAB=AC

•••-ZB=ZC,

,BD=EC

.,.△ABD^AACE(SAS),

.-.AD=AE.

15.已知：如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB〃CD.

求证：AB=CD.

【解答】证明：：AB〃CD,

二NB=NC,NA=ND,

'.'itAAOB和aDOC中，

rZB=ZC

NA-zlD>

,OA=OD

.'.△AOB^ADOC(AAS),

.,.AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB

边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,延长CF与DG交于点

H.

(1)求证:CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

【解答】(1)证明：J.在4CBF和4DBG中,

rBC=BD

ZCBF=ZDBG,

BF=BG

.-.△CBF^ADBG(SAS),

.-.CF=DG；

(2)解：•,■△CBF^ADBG,

/.NBCF=NBDG,

又；ZCFB=ZDFH,

又..,△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-ZCFB,

△DHF中，ZDHF=1800-NBDG-NDFH,

ZDHF=ZCBF=60°,

.,.ZFHG=180°-ZDHF=180°-60°=120°.

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,求证：AC=DF.

.,.FB+FC=CE+FC,

.,.BC=EF,

•；AB〃ED,AC〃FD,

ZB=ZE,NACB=NDFE,

•.•在aABC和4DEF中，

'/B=NE

BC=EF,

ZACB=ZDFE

.,.△ABC^ADEF(ASA),

/.AC=DF.

18.如图，AABC和AADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求

证：BD=CE.

【解答】证明：・•.△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

.,.AD=AE,AB=AC,

又；NEAC=90°+ZCAD,ZDAB=90°+ZCAD,

ZDAB=ZEAC,

•.,在AADB和4AEC中

融AC

-ZBAD=ZCAE

,AD=AE

.,.△ADB^AAEC(SAS),

.-.BD=CE.

19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB〃DE,ZA=ZD.求证：AB=DE.

AD

【解答】证明：；BE=CF,；.BC=EF.

；AB〃DE,ZB=ZDEF.

在4ABC与4DEF中，

2A=ND

<ZB=ZDEF,

,BC=EF

.,.△ABC^ADEF(AAS),

.,.AB=DE.

20.已知AABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点P在4ABC

内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°,

得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在△ABC内部时，

①0A=0B是否成立？请说明理由；

②直接写出NBPC为多少度时，AB=DE.

A

D

【解答】(1)证明：:.△ABC为等腰直角三角形，

.,.CA=CB,ZA=ZABC=45°,

由旋转可知：CP=CE,BP=BD,

；.CA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

.,.AE=BD.

X,.-ZCBD=90°,Z0BD=45°,

在aAEO和aBDO中，

，ZA0E=ZB0D

•NA=NOBD=45°,

,AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB；

(2)成立，理由如下：

连接AE,则aAEC丝Z\BCP,

；.AE=BP,NCAE=NBPC,

■.,BP=BD,

.,.BD=AE,

Z0AE=45°+NCAE,Z0BD=900-Z0BP=90°-(45°-NBPC)=45°+NPBC,

Z0AE=Z0BD,

在aAEO和aBDO中，

rZAOE=ZBOD

•ZOAE=ZOBD，

AE=BD

.'.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB,

②当NBPC=135°时,AB=DE,理由如下：

解法一：

当AB=DE时，由①知OA=OB,.,.OA=OB=OE=OD.

设NPCB=a,由旋转可知，NACE=a.

连接0C,则OC=OA=OB,.,.OC=OE,

ZDEC=Z0CE=45°+a.

设NPBC=B,则NABP=45°-0,Z0BD=90°-ZABP=45°+|3.

■.'OB=OD,ND=N0BD=45°+B.

在四边形BCED中，ZDEC+ZD+ZDBC+ZBCE=360",

即：(45°+a)+(45°+p)+(90°+p)+(90°+a)=360°,

解得：a+P=45°,

AZBPC=180°-(a+3)=135°.

解法二(本溪赵老师提供，更为简洁)：

当AB=DE时，四边形AEBD为矩形

则NDBE=90°=NDBP,

•••点P落在线段BE上.

1.•△ECP为等腰直角三角形，

二NEPC=45°,

AZBPC=1800-ZEPC=135°.

21.(1)如图1,在AABC和4DCE中，AB//DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.求

证：NA=ND.

(2)如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的长.

【解答】(1)证明：；AB〃DC,

ZB=ZDCE,

'AB=DC

在aABC和4DCE中，ZB=ZDCE,

,CB=CE

.,.△ABC^ADCE(SAS),

NA=ND；

(2)解：；四边形ABCD是矩形，

.,.AO=BO=CO=DO,

VZA0D=120°,

ZA0B=60°,

•■.△AOB是等边三角形，

.-.A0=AB=4,

.-.AC=2A0=8.

22.(1)如图，AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

(2)列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本,

这个班有多少学生？

【解答】(1)证明：平分NCAD,

NCAB=NDAB,

在4ABC和4ABD中

'AC=AD

ZCAB=ZDAB

,AB=AB

/.△ABC^AABD(SAS),

.,.BC=BD.

(2)解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：这个班有45名学生.

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE/7AB,ZB=ZDAE,求证：BC=AE.

【解答】证明：；DE〃AB,

r.ZCAB=ZADE,

•■,i5EAABC?nADAE中，

fZCAB=ZADE

•AB=DA,

1ZB=ZDAE

.,.△ABC^ADAE(ASA),

.,.BC=AE.

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判

定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进

行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在aABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,然后，对NB

进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，^ABC丝Z\DEF.

(1)如图①，在AABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90",根据HL,可以知道RtZXABC

^RtADEF.

第二种情况：当NB是钝角时，ZXABC&Z\DEF.

(2)如图②，在aABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是钝角，求证：Z^ABC会

△DEF.

第三种情况：当NB是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在AABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规在图③中作出

△DEF,使4DEF和AABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使AABC^4DEF?请直接写出结论：在4ABC和4DEF中，AC=DF,

BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，若NB2NA,则△ABC@Z\DEF.

【解答】(1)解：HL；

(2)证明：如图，过点C作CG_LAB交AB的延长线于G,过点F作FHLDE交DE的延长线于H,

■.,ZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是钝角,

.-.1800-ZABC=180°-ZDEF,

即NCBG=NFEH,

在4CBG和△FEH中，

2CBG=NFEH

-ZG=ZH=90°,

,BC=EF

.,.△CBG^AFEH(AAS),

.,.CG=FH,

在RtZkACG和RtZ\DFH中，

件DF

lCG=FH'

/.RtAACG^RtADFH(HL),

/.NA=ND,

在4ABC和ADEF中，

rZA=ZD

•ZABOZDEF,

,AC=DF

.,.△ABC^ADEF(AAS)；

(4)解：若NB》NA,则△ABCg/kDEF.

25.（2014-德州）问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=NADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且

NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE丝Z\ADG,再证明

△AEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=£N

BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南

偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60

海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥

中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的

距离.

【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

证明如下：如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,

---ZB+ZADC=180°,NADC+NADG=180°,

ZB=ZADG,

在4ABE和AADG中，

'DG=BE

'ZB=ZADG,

,AB=AD

.'.△ABE^AADG(SAS),

；.AE=AG,NBAE=NDAG,

---ZEAF—ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=NEAF,

ZEAF=ZGAF,

在AAEF和4GAF中，

'AE=AG

,NEAF=NGAF,

,AF=AF

.,.△AEF^AGAF(SAS),

.,.EF=FG,

；FG=DG+DF=BE+DF,

.'.EF=BE+DF；

实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,

-.,ZA0B=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZE0F=70",

ZEOF^ZAO