山东省聊城市莘县第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度62级高三开学考试题数学注意事项：本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.3.已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（）A2 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】根据圆台侧面积公式计算即可．【详解】因为该圆台的侧面积为，母线长，所以，解得，则，故选：C．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：C.5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可.【详解】由正弦定理得，即，或．若，结合，有，故舍去．．，，故选：D．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.7.记A，B为随机事件，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【详解】记，由全概率公式有，代入数据有，解得，，故选：D．8.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.【详解】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递减的，则，解得.故选：A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷､李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为，则（）A.该组数据的极差为25B.该组数据的分位数为19C.该组数据的平均数为17D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可.【详解】对于A项，极差等于，故A正确；对于B项，，故分位数为20，故B错误；对于C项，平均数等于，故C正确；对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.故选：ACD.10.已知数列bn满足，，记数列bn的前项积为，前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知计算数列的前几项得出数列的周期性，利用周期性求解判断．【详解】已知数列满足，则，所以数列是以3为一个周期的周期数列．对于A项，，A项正确；对于B项，，B项错误；对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误；对于D项，，所以，D项正确．故选：AD．11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（）A. B.函数是减函数C.点B可能在以为直径的圆上 D.h的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A，利用导数判断B，利用圆的性质判断C，利用不等式的取等条件判断D即可.【详解】对于A选项，由是偶函数得到，则，解得，故A正确；对于B选项，，故，且恒成立，故得为减函数，故B正确；对于C选项，由B知，即，由对称性，可设，则．若点B在以为直径的圆上，则有，带入即，即．若，则，不满足题意；若，，而，，故B不可能在以为直径的圆上，故C错误；对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等），而，记，则，当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，故h的最大值为，故D正确．故答案选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式的取等条件，然后得到参数值，得到所要求的最值即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】【解析】【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________.①不是常函数②的最小正周期为2③不存在对称中心【答案】（不唯一）【解析】【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案.【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数，即可取，其图象为：结合图象可知满足题意，故答案为：（不唯一）14.已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程.【详解】设点Ax1,y1,Bx将两点代入椭圆方程，得，两式作差得，整理得得直线的斜率为，直线的方程为，即.经检验符合题意.A故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆过点和.（1）求的离心率；（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率；（2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.【小问1详解】因为椭圆过点和，所以，解得，由，得，所以的离心率.【小问2详解】由（1）可得的方程为，，联立，得，由，得，直线的一般式方程为：.16.已知在中，A+B=3C,2sinA−C（1）求；（2）设，求边上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【小问1详解】，，即，又，，，，即，所以，.【小问2详解】由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.17.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面平面（3）若，求二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）取的中点，由中位线定理可得，，推出四边形是平行四边形，进而可得，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案．（3）取的中点，连接，先找到二面角的平面角为，再计算余弦值，即可得出答案．【小问1详解】证明：取中点，连接，因为为棱的中点，所以，，又，，为的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，【小问3详解】取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值为．18.设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数．【答案】（1）（2）答案见解析（3）3个【解析】【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.【小问1详解】因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.【小问3详解】由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.19.若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为（1）若，求集合；（2）若，求集合；（3）设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）配方得到当且仅当时，取得最大值，得到；（2）求导，得到函数单调性，求出当或2时，取得最大值，故；（3）求导，得到函数单调性，并得到，得到，结合，得到为定值，故所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．【小问1详解】,当且仅当时，在R上取得最大值，故；【小问2详解】定义域为R，，令，则，令得，-0+极小值其中，故，，可以看出，故有且仅有2个零点，分别为1和2，令得或1或2，12+0-0+0-极大值极小值极大值其中，故当或2时，取得最大值，故；【小问3详解】，，，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增，…