江苏省如东县2024-2025学年高三上学期开学期初测试数学试卷

2024~2025学年度第一学期期初学情检测

高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~11，填空题（第12题~第14题，共73分）、解答题（第15~19题，共77分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，则（）A． B． C． D．2．已知，则“”的充要条件是（）A．a，b都不为1 B．a，b不都为1 C．a，b不都为0 D．3．函数的值域是（）A． B． C． D．4．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（）A． B． C． D．5．已知，则（）A． B． C． D．6．已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．7．已知直角的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将沿CD折起，使得二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上的值域为，若，则k的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知，则（）A． B． C． D．10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）

A．该正八面体结构的外接球表面积为 B．该正八面体结构的内切球表面积为C．该正八面体结构的表面积为 D．该正八面体结构的体积为11．已知函数的定义域为，且，若，则（）A． B．C．是奇函数 D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．若存在满足，则a的取值范围是__________．13．对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为__________．14．已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知，函数．（1）若是奇函数，求a的值；（2）若函数的图像过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围．16．（15分）在直四棱柱中，，，，，．（1）求证：平面；（2）若为直角三角形，求四棱柱的体积．17．（15分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当时，比较与的大小；（2）当时，求；（3）函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域．18．（17分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．19．（17分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若，求实数a的值；（3）若，证明：．2024-2025学年度第一学期期初学情检测高三数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．B 7．B 8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．ABD 10．ABC 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【解】（1）因为的定义域为，且为奇函数，所以，即．此时，的定义域为，且，为奇函数，所以．（2）因为的图像过点，则，解得．令，得．因为函数与x轴负半轴有两个不同交点，所以方程有两个不相等的负根，所以解得．因为，所以，所以．16．解：（1）因为，平面，平面，故平面．在四棱柱中，，又因为平面，平面，所以平面．因为，平面，故平面平面，平面，所以平面．（2）设四棱柱的高为h。在直四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以，同理可得，．因为，，，，，所以，．因为，所以，．在直四棱柱中，，，所以四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，为直角三角形，所以或，解得．因为四棱柱的底面积为，所以四棱柱的底面积为．17．解：（1）当时，，，所以．（2）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为，所以．当时，，解得．此时．（2）当时，．当时，．因为，所以在区间的最小值为0.02．又因为，，所以在区间上的值域是．18．解：（1）因为平面ABC，平面ABC，所以．因为，，，所以，又因为，所以，所以．同理可得：．又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交于D．因为，所以．因为，，所以，．以O为原点，以OB，OC，OD所在直线．为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，．令可得．．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成的角的正弦值为．19．解：（1）．因为，所以，所以．所以函数在处的切线方程为．（2）设，则．因为，所以单调通增．当时，