河北省卢龙县第二高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“”为全称量词命题，则其否定为：.故选：D2.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可.【详解】双曲线即，故渐近线方程为.故选：B3.若可分解因式为，且，则复数的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，求出、，再根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断.【详解】因为，若，则，所以，不符合题意；若，则，所以，符合题意；所以，，所以，所以复数的虚部为.故选：D4.已知函数，则下列函数为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断即可.【详解】因为，所以，令，定义域为，且，所以为奇函数，故C正确；又，为非奇非偶函数，故A错误；，为非奇非偶函数，故B错误；，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C5.已知是所在平面内一点，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理计算可得.【详解】因为，所以，即，即，又，、不共线，所以，所以.故选：C6.已知异面直线与所成的角为，与所成的角为，则与所成角的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由异面直线的夹角，结合平面的基本性质，讨论的位置研究异面直线与所成角的范围.【详解】作交于点，所有与垂直的直线平移到点组成与垂直的平面，故，如上图：当为与、所成平面的交线或其平行线时，与所成角最小为；当为垂直于、所成平面的线或其平行线时，与所成角最大为，所以与所成角的范围是.故选：B7.如图，和分别为函数图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据四边形的面积为，结合的周期与振幅可得，再根据直线过点，数形结合可得【详解】因为四边形的面积为，且，，梯形的高为2，故，解得，即.又直线过点，由对称性可得过点，即，即.又，可得，故.故.故选：A8.已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解.【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称，当时，，，则，当，，当时，，，则，故为偶函数，又fx为R在上单调递减，在上单调递增，，，即，解得：.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为，且组数据的平均分为97.0，则（）A.组与组数据的极差相等B.组与组数据的中位数相等C.组数据的平均数小于组数据的平均数D.组数据的分位数小于组数据的分位数【答案】BCD【解析】【分析】根据极差、中位数、平均数、百分位数定义一一判断即可.【详解】组数据的极差为，组数据为94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，则组数据的极差为，故A错误；组数据与组数据的中位数，故B正确；组数据的平均数，所以组数据的平均数小于组数据的平均数，故C正确；，所以组数据的分位数为，，所以组数据的分位数为，所以组数据分位数小于组数据的分位数，故D正确.故选：BCD10.如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（）A.球与该正方体的体积之比为B.球与该正方体的表面积之比为C.直线被球截得的线段的长度为D.过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为【答案】BC【解析】【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误.【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切，对于A中，可得正方体的体积为，球的半径为，体积为，球与该正方体的体积之比为，所以A不正确；对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确；对于C中，连接，可得，再连接，在直角中，可得，取中点，连接，则，可得，即点到的距离为，所以直线被球截得的线段的长度为，所以C正确；对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点到平面的距离为，可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心，所以截面交线的周长为，所以D错误.故选：BC.11.已知，直线为原点，点在上，直线与交于点在直线上，且，点的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线，其中是的渐近线，如图所示．设是上一点，则（）A.B.存在异于原点的点，使得关于点的对称点仍在上C.若在第二象限，则的最大值为D.若在第一象限，则直线的斜率大于【答案】AD【解析】【分析】设，，，设得到，即可得到，设，则，再由，则，从而求出曲线的方程，即可判断A、B；利用特殊值判断C，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而判断D.【详解】设，，，由与相交，则不与重合，即，设，则，所以，代入，可得，即，设，则，即，代入，即，即，由，即，所以，当时，从而，整理得；当时，即和重合，，此时方程成立；所以曲线的方程为；由，所以，解得，故A正确；在第一象限的部分对应的方程为①，在第三象限的部分对应的方程为，它关于原点成中心对称的部分对应的方程为，即②，联立①②解得，这样矛盾，所以不存在异于原点的点，使得关于点的对称点仍在上，由对称性可知，二、四象限也不存在关于点的对称点仍在上，故B错误；当时，当时，故C错误；设，则，所以在上单调递减，从而，所以，即，所以，即，即，所以若在第一象限，则直线的斜率大于，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出曲线的方程，D选项关键是构造函数，利用导数证明.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的值是____________．【答案】2【解析】【分析】根据求解即可.【详解】因为，故，即，故.故答案为：213.已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为____________．【答案】【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得长半轴长，半焦距，且，所以为等边三角形，则直线过，所以，即的周长为.故答案为：14.有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了次球后停止取球”，则____________；____________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据第一次从两个口袋均取出红球，再根据概率的乘法公式求解即可；（2）依题意前三次取球均不为两个红球，再计算单次取球两个口袋不全为红球的概率，再根据概率的乘法公式求解即可.【详解】（1）依题意第一次从两个口袋均取出红球，故；（2）依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球.故.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角转化和二倍角余弦公式得到，再利用辅助角求解即可.（2）根据余弦定理得到，再利用正弦定理面积公式求解即可.【小问1详解】，因为，所以.所以，即.因为，所以，即.【小问2详解】，所以.16.如图，在六棱锥中，底面是边长为1的正六边形，，平面平面，平面平面．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取正六边形的中心，、的中点，再根据面面垂直的性质分别证明，，进而可得平面，即可得；（2）取中点，根据线面垂直的判定与性质可得二面角为，再根据几何关系求解即可得.【小问1详解】取正六边形的中心，、的中点，连接如图.因为平面平面，平面平面，又，平面，故平面.又平面，故.同理可得，又平面，，故平面.又平面，故.【小问2详解】取中点，连接.因为为正六边形，故，，故，又平面，平面，故，.又，，故，故.故，，又平面，，故二面角为.又，故，，.则.故，即二面角的正弦值为.17.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若在处有极小值，求的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）求出的导数，令导数为，根据导数求出函数的单调区间，求出的极值；（2）求出，根据二次函数的性质求出的取值范围，分和两个情况求解.【小问1详解】当时，，，令，解得或，若和时，；若，；可知在内单调递增，在内单调递减，所以的极大值为，的极小值为.【小问2详解】由题意可知：，令，且，解得或，令，解得，若时，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则在处有极小值，符合题意；若时，则，可知在内单调递增，无极值，不合题意；若时，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则处有极小值，不符合题意；若时，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则在处有极小值，符合题意；综上所述：.18.已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，是上一点，且到的距离为的面积为．（1）求的方程；（2）已知过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点．（ⅰ）设直线分别与交于点，证明：；（ⅱ）设与轴的交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，则四点是否在同一个圆上？并说明理由．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）四点共圆，理由见解析【解析】【分析】（1）求出焦点和准线，设，由焦半径公式得到方程，求出，从而得到，由三角形面积得到方程，求出，求出答案；（2）（ⅰ）设直线，与联立，得到两根之和，两根之积，表达出直线，求出，同理得到，计算出，得到答案；（ⅱ）求出直线垂直平分线方程，得到，故，，，再由焦半径公式得到，故，从而得到三角形相似，得到对角互补，得到四点共圆.【小问1详解】由题意得，准线方程为，设，则，解得，故，不妨设，，解得，的方程为；【小问2详解】（ⅰ）F1,0，准线方程为，设直线，与联立得，设Ax1,直线，当时，，故，同理可得，则，，故，故，，证毕；（ⅱ）四点共圆，理由如下：由题意得，，则，则线段的中点坐标为，故直线的垂直平分线方程为，令得，故，则，，，由焦半径公式可得，因为则，故，又，故∽，∽，故，由于，故，即，从而四点共圆.【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19.设集合，记中元素的个数为，数列的前项和为．（1）求的值；（2）当时，从中随机取出一个元素，求以为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；（3）求．参考公式：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据所给条件求出、、、，即可得解；（2）分①当且为偶数，②当且为奇数两种情况讨论，求出及不能构成三角形的个数，再由对立事件及古典概型的概率公式计算可得；（3）利用分组求和法求出，从而求出，即可求出.【小问1详解】因为，所以，当时，所以；当时，所以；所以.【小问2详解】①当且为偶数时，若，则不存在；若，则为，，符合条件，此时有个元素，其中不能构成三角形；若，则为，，，，符合条件，此时有个元素，其中不能构成三角形；，若，则为，，，，，符合条件，此时有个元素，其中不能构成