江苏省常州市奔牛高级中学2025届高三上学期第一次质检测数学试题

江苏省奔牛高级中学2025届第一学期期初检测卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据据余弦函数符号的分布情况结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2.已知，，若，则实数m的取值范围（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案.【详解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上单调递减，故，故，即实数m的取值范围为，故选：B3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围.【详解】令，则，因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，所以，解得，故选：B4.若，则（

）A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.【详解】由，得，.故选：B.5.若函数既有极大值也有极小值，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.【详解】因为，所以函数定义域为，，由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，则，解得，即的取值范围为，故选：A.6.已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由在有且仅有2个极值点，可得，解得，又在上单调递增，可得，解得，则可得的取值范围.【详解】因在有且仅有2个极值点，所以，解得，因为在上单调递增，又，所以，解得，所以．故选：A．7.已知函数，对于有四个结论：①为偶函数；②的最小正周期是π：③在上单调递增；④的最小值为．则四个结论正确的是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①④【答案】D【解析】【分析】由偶函数的定义可得①正确；由周期函数的定义可得②错误；由正弦函数的取值范围化简原函数后再结合辅助角公式可得③错误；先求出函数的周期，再结合辅助角公式和正余弦函数的取值可得④正确；【详解】对于①，因为，所以，故①正确；对于②，，所以不是的周期，故②错误；对于③，当时，，所以，又，所以，所以由正弦函数的单调性可得在上不是单调的，故③错误；对于④，由于，所以是的一个周期，又时，，则，又，所以，；当时，，则，又，所以，；综上可得，所以的最小值为，故④正确；故选：D.8.已知，其中e是自然对数的底数，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据的特点构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，从而比较出大小.【详解】对两边取对数得，令，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减.又，且，所以，所以，故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9已知函数则（）A.函数的图象关于点对称B.将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称C.函数在区间上有2个零点D.函数区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等变换易得，采用代入检验法即可判断A项，利用平移变换，求得函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除B项，将看成整体角，求出其范围，利用余弦函数的图象观察分析，易对C,D两项进行判断.【详解】对于当时，而，故A正确；对于将向左平移个单位后可得，奇函数，关于原点对称，故B错；对于当时，，因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确；对于当时，因在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD．10.已知则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，可判定A不正确；由对于的运算性质，可判定B正确；由对数的运算性质，可判定C正确；结合基本不等式和对数的运算性质，可判定D正确.【详解】对于A中，由，可得，所以A不正确；对于B中，由，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，因为，所以，所以C正确；对于D中，由，可得，因为，所以等号不成立，所以，又因为，所以，所以D正确.故选：BCD.11.已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（）A. B.C.的最大值为 D.方程无实数解【答案】ACD【解析】【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD.【详解】对于A：由，可得，将代入原方程，可得，故A正确；对于B：若，可得，将代入原方程，得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；对于C：令，则，令，可得，当时，，所以单调递增，即，当时，，所以单调递减，即，所以当时，，在区间上的值域为，故C正确；对于D：由上可知在区间上的值域为，所以无实数解，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则关于x的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.【详解】当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为，故答案为：.13.设，则的最小值为______________.【答案】##【解析】【分析】先将化简为，再利用基本不等式即可.【详解】因为，为正数，由，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.14.已知函数的零点为，且，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】将已知条件中零点转化成方程的根，从而求出的范围及关系，然后构造函数求出最值即可.【详解】，显然，所以0是函数的零点；当时，由得，由题意方程有两个根，设，由于，所以是偶函数，所以需要在上只有一个根，当时，由于，则，设，则，设，则，所以单调递增，所以，所以，所以单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以上只有一个根，即，则，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．15.在平面四边形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；（2）根据（1）中结果及条件，求得，，再利用正弦定理即可求出结果.【小问1详解】在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.【小问2详解】由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.已知函数.（1）求的最大值;（2）证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用多次求导的方法求得的单调区间，进而求得的最大值.（2）利用导数，首先将要证明的不等式转化为证明，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【小问1详解】，定义域为，则，令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即当时，，令，可得，得在上单调递增，在上单调递减，所以.【小问2详解】要证，即证，

令

令得，即在上单调递减，在上单调递增，，即，即欲证，只需证也就是证明

设，则，令，得

当时，；当时，

当时，取到最小值故式成立，从而成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性、极值、最值时，当一次求导无法解决，可考虑利用多次求导的方法来进行求解.利用导数证明不等式，可先将不等式进行转化，转化为容易证明的形式，然后利用构造函数法，结合导数进行证明.17.已知函数的最小正周期为.（1）求在上的单调递增区间；（2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得继而得到整体代入求函数值的范围即可.【小问1详解】.因为所以故.由解得当时又所以在上的单调递增区间为.【小问2详解】由得（所以.因为所以又所以又三角形为锐角三角形，则，则，所以，又，，则，所以的取值范围为.18.设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）不等式可转化为，解不等式即可得解；（2）分类讨论，去掉绝对值，转化为二次函数的最小值问题，从而利用二次函数的对称轴及单调性即可得解．【小问1详解】若，则，显然，则，即，解得，所以的取值范围为.【小问2详解】当时，，此时开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，此时；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时；当时，，此时开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时；当，即时，在上单调递减，此时；综上：当时，因为，所以；当时，因为，所以；故.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；（2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围；（3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.【小问1详解】的定义域为，当时，时，时，；当时，时，；当时，时，；时；当时，时；时；综上，时，的递减区间是，递增区间是；时，的递增区间是，无递减区间；时，的递增区间是和，递减区间是；时，的递增区间是和，递减区间是.【小问2详解】令得，设，则，当时，在上递减；当时，在上递增，则.又因时，时，作出函数的图象，由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，即，故的取值范围是.【小问3详解】由得，因，即得，（*），易得时，不等式成立，设，，则，当时，，函数在上单调递增，