教案：人教B版高中数学选择性必修第一册25

2.5.2椭圆的几何性质（1）

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课

主要学习椭圆的几何性质

教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研

究椭圆的简单几何性质及简单应用.本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性

质。作用：提高学生的数学素质，培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此,

内容在解析几何中占有非常重要的地位。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.掌握椭圆的几何性质，掌握a,b,c,e的几1.数学抽象：椭圆的几何性质

何意义及a,b,c,e之间的相互关系.

2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

B.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

3.数学运算：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

质.

C.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题

题.5.直观想象：离心率的几何意义

重点难点

重点：椭圆的几何性质

难点：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、创设问题情境，探究新知

下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质

已知椭圆c的方程为亍+y2=1,根据这个方程完成下列任务：

(1)已观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆C在通过特例，通过

椭圆的标准方程，运

平面直角坐标系中的位置特征；

用方程与函数的思

(2)指出椭圆C是否关于久轴、y轴、原点对称；想，获得椭圆的几何

(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.性质，进而推广到一

般。帮助学生进一步

K体会数形结合的思

想方法。发展学生数

x=-2x=2学运算，数学抽象和

椭圆的几何性质

数学建模的核心素

焦点的养。

焦点在X轴上焦点在y轴上

位置

图形

JBA0\LBx

也2

标准2222

1-1-3，—1_i_x一i、

2I,oJL<Qv/yo1joJL〈N。U/

方程abab

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

范围-a<x<a且-b〈y〈b-b<x<b_0_-a<y<a

A(-a,0),A(a,0),A(0,-a),A(0,a),

1212

顶点

B(0,-b),B(0,b)B(-b,0),B(b,0)

1212

轴长长轴长为短轴长为2b

隹占F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

，、'、八、、1212

焦距2c

对称性对称轴:X轴、y轴，对称中心:坐标原点

2

离心率e=£e(0,1),其中c=A/<22—b

a

1.已知椭圆C:?+Y=l的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()

解析:•.,层=4+22=8,；.a=2a.；.e=：=蠢=当故选C.

答案:C

2.判断

⑴椭圆a+患=1(。>6>0)的长轴长是a.()

(2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的

方程为言+告L()

(3)设F为椭圆捺+誉=1(心6>0)的一个焦点，川为其上任一点，则

的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).()

答案:(l)x(2)x(3)4

(1)根据椭圆离心率的定义判断椭圆离心率的取值范围；

(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证

明。

思考1.离心率对椭圆扁圆程度的影响？

提示:如图所示，在RtA5FO中,cos/3F2O=£，记e=£，则0<e<l,e越大,

2aa

NB&O越小，椭圆越扁;e越小尸2。越大，椭圆越接近于圆.

二、典例解析

22

例1已知椭圆C1%+5=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长

1UU64

分别相等,且椭圆c的焦点在y轴上.

(1)求椭圆q的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C的方程，并研究其性质.

2

22

解:(1)由椭圆。:3+2=1，可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点

10064

坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=|.

22

(2)椭圆C2：三+5=1.性质如下：

①范围:-8WxW8且-10姿10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶

点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤

通过典型例题，

离心率：e=『

掌握根据椭圆的基

讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程，标准方程

222本几何性质及其简

能将参数的几何意义凸显出来，另外要抓住椭圆中a-b=c这一核心

单运用，提升学生数

关系式.

2222学建模，数形结合，

跟踪训练1求椭圆wzX+4"Z>=1(相>0)的长轴长、短轴长、焦点坐

及方程思想，发展学

标、顶点坐标和离心率.

生逻辑推理，直观想

解:由己知得三+^^=1(优>0),因为0<"於<4"72所以上>

24M2

7n象、数学抽象和数学

所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=^,

运算的核心素养。

半短轴长6=白泮焦距°=二,所以椭圆的长轴长2a=2短轴长26」,

2m2mmm

焦点坐标为(吟,。),(东。)，顶点坐标为(力),G，o),(o,一

例2椭圆[+[=1伍>6>0)的两焦点为厂尸，以为边作正三角

a2b21212

形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率

为.

解析:方法-一:如图,•・・△。分/2为正三角形,N为。尸2的中点，

9

:,F\NLFzN.：\NF2\=\OF2\=C,

&尸2『-囚?2『=V4c2-c2=V3c.

由椭圆的自三义可知|NFi|+|NF2|=2a,

、,（V3+1）C.C2Et

V3c+c=.2凡..“一2•••e，=B+i=V3-l.

方法二:注意到焦点三角形NF\Fz中，/酒\尸2=30。,/即2Fi=60。,/

，则由离心率的焦点三角形公式，可得

FI7VF2=90°

sinzF1NF2_sin90。_1一后、

nnz.NFF+sinz.NFF-sin30o+sin60°-工+在一'"；

122122

―

0\Fyx.

答案:遮-1

变式1若例2改为如下:椭圆真+3=1（46>0）的两焦点尸1,尸2,以

尸1后为底边作等腰直角三角形，其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处，

则椭圆的离心率为__________.

解析根据等腰直角三角形的特征可知层+°2=402,即（e=¥

答案］

22

例3已知椭圆京+也=1（心6>0）尸1,尸2分别是椭圆的左、右焦点桶

圆上总存在点P使得PHLP尸2,则椭圆的离心率的取值范围

为___________.

解析:由小」勿2,知△尸1尸尸2是直角三角形，

所以\OP\=c>b,即c2>a2-c2,^S以tz<V2c.

因为e=1Ove<1,所以，1.

答案卷,1）

求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法

（3）方程法:若a,c的值不可求，则可根据条件建立关于a,b,c的关系式，

222

借助于a=b+c，转化为关于a,c的齐次方程（或不等式），再将方程（或

不等式）两边同除以a的最高次募，得到关于e的方程（或不等式），即可

求得e的值（或取值范围）.

⑴直接法:若已知a,c,可直接利用e=（求解.若已知”力（或6,c）可借助

于q2=62+c2求出c（或a）,再代入公式e=:求解.

⑵几何法:若借助数形结合，可挖掘涉及几何图形的性质,再借助

次=62+02找到a与c的关系或求出a与c,代入e,即可得到.

a

22__

跟踪训练2⑴已知椭圆器+竟=13>6>0）过点（1,回,其离心率的取值

范围是原基,则椭圆短轴长的最大值是（）

A.4B.3C.V1TD.2V3

22

⑵设尸陷分别是椭圆£:京+a=1（。>6>0）的左、右焦点,P为直线

上一点，△尸2PB是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率

为.

解析:⑴由题意，可得*+真=1,即层=言.

济2

因为层=62+02,所以摄=袈=号一3花离心率的取值范围是

b2-2

[1，9所以汐一"号解得6噜?]）

所以椭圆短轴长的最大值是VH.

⑵由题意，知/FFiP=Z/2尸尸1=30°,，ZPF^c=60°.：.

|PF2|=2x（|a-c）=3a-2c.*.,甲1尸2|=2。,斗/2|=|尸「2|,，3a-2c=2c,；.e=（=

J答案:⑴C（2）|

（3）已知椭圆喧+*1（心人>0）的左、右焦点分别为尸1匹,右顶点为

）,上顶点为8,若椭圆C的中心到直线AB的距离为9尸1月|,求椭圆C

的离心率.

解:由题意知/（a,0）,8（0,6）,从而直线AB的方程为:+r=1,即bx+ay-

°6=0,又尸1/2|=20,庐=曰.c'/b2=a2-c2,3a4-7a2c2+2c4=0,

解得〃=2c2或3a2=,2（舍去）,.，.e考.

例4.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人

民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为

椭圆的一个焦点，如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为

d，最远距离为d，地球的半径为凡我们想象存在一个镜像地球，其中

12

心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面发射某种神秘信号，需

要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到，则传送神秘信号的

最短距离为()

A.d+d+HB.d-d+2RC.d+d-27?D.d+d

12212112

22

解析:设椭圆的方程为京+a=1(心6>0),半焦距为c,

两焦点分别为尸1尸2,飞行中的航天员为点P,

由已知可得。。“则2a=di+d2+2R,

故传送神秘信号的最短距离为|P尸11+|巴切-27?=2a-2R=4+力

答案:D

三、达标检测

22

1.已知点(3,2)在椭圆a+色=1上，则()

A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上

通过练习巩固本

C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上

节所学知识，通过

解析:由椭圆以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心可知，点在椭

(-3,2)学生解决问题，发

圆上，故选C.

展学生的数学运

答案:C

算、逻辑推理、直

2.设AB是椭圆5+真=l(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，

观想象、数学建模

过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P,P,F

12991的核心素养。

为椭圆的左焦点，则|FA|+|FP|+|FP|+...+|FP|+尸引的值是

111121991

()

A.98”B.99。CAOOaD.101。

解析:由椭圆的定义及其对称性可知

\FP\+\FP\=\FP|+|FP\=..=\FP|+|FP\=\FA\+\FB\=2a,\F

111991219814915111

P|=a,故结果应为50x2a+尸尸|=101a.

150150

答案:D

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆

的离心率为()

A.iB.-C.-D.-

2244

解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F,F,B为椭圆的上顶点.依题

12

意可知,△8尸尸是正三角形.：在RtZ\03/中,[0P|=c,|BF|=a,N

12222

OFB-60°,cos60°=-=工.即椭圆的离心率e=3故选A.

2a22

答案:A

4.已知椭圆?+?=1左、右焦点分别为尸1,尸2,上、下顶点分别为B"B2,

则四边形BiFiBJh的面积为.

解析:根据题意，设四边形BlFlB2F2的面积为£椭圆的标准方程为低+

y=1,其中a=V3,b=/，贝！jc=V3^2=1,贝ljQ(-

1,0),^2(1,0),51(0,72),52(0,-72),

即|0尸i|二|O尸2|=1,|O31|=|O2|=让,

5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年

北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在

手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其

俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭

圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小

椭圆的长